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第一章 二次根式
1. 二次根式的定义：非负数算术平方根，叫做二次根式，即。
2. 二次根式的二个非负特征：在中； a≥0, ≥0。
3. 二次根式的性质：
¨ ( a≥0)；一个非负数算术平方根的平方等于这个非负数。
¨ 一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
¨ ( a≥0，b≥0)；两个非负数积的算术平方根等于这两个非负数算术平方根的积。
¨ ( a≥0，b＞0)；商的算术平方根等于算术平方根的商。
4. 最简二次根式：被开方数中不含完全平方因式与分母的二次根式，叫做最简二次根式。
5. 同类二次根式：把被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。
6. 二次根式的加减可以归结为：① 先把各二次根式化简成最简二次根式；
② 合并同类二次根式（把系数相加，根式不变）。
7. 二次根式相乘,只要把被开方数相乘，根式不变。
即 ( a≥0，b≥0)
8. 二次根式相除,只要把被开方数相除，根式不变。
即( a≥0，b＞0)
9．斜坡的铅直高h与水平长度l的比叫做坡比即：坡比 i=
10．分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算。
分母有理化的依据：平方差公式。
分母有理化有如下两种基本类型：
（1） 或
（2） 或
★本章重点：
1、二次根式的混合运算、化简求值
2、二次根式的应用：勾股定理（折叠问题）、坡比问题。
第二章 一元二次方程
1. 基本知识、解法：
(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。
(2) 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)。其中，a称为二次项系数，ax2称为二次项；b称为一次项系数，bx称为一次项；c称为常数项。（确定a,b，c必须先化为一般式）
（3）四种解法 ：
直接开平方法两个类型：
（如果b < 0，方程就没有实数解。）
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
用公式法的关键在于：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
2. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，
即 .
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程 实数根.
3．一元二次方程根与系数的关系：
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，
那么 ， .
（1）若方程的两根互为相反数，则 .
（2）若方程的两根互为倒数，则 .
（3）若方程其中一个根为0，则 .
（4）若方程有两个正实根，则 .
（5）若方程有两个负实根，则 .
（6）若方程有两根异号，则 .
推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0
4．补充知识：
(1)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。
(2)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2； ②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
5．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上“二次项系数”这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意两个前提：
① 根的判别式；② 二次项系数。
即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
6．应用题：
（1）握手、送礼、流感问题
例：参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会。列方程得 。
例：某初中毕业班的每一名同学都将自己的相片向其他同学各送一张作为留念，全班共送了2550张相片，设全班有名同学，则列出方程： ；
例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人？则列出方程： 。
（2）增长率问题
例：某厂一月份生产化肥500吨，接下去每各月的增长率相同，到三月份生产化肥为720吨，那么该厂第一季度平均月增长率为多少？
例：某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则有题意列方程为（ ）
（3）面积问题
例：用长为35的篱笆围成一个一边靠墙，面积为150的长方形养鸡场，
求这个长方形的长和宽。
例：用一块长为60，宽为40的长方形铁板，在四个角上截去四个相同的小正方形，
然后做成底面是1000的没有盖子的长方体盒子，求小正方形的边长。
（4）利润问题
例：将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价0.5元，其销售量就减少5个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
（5）动点问题
例：已知：如图所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？
例：如图，AO=BO=50厘米,OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁从点A以
2厘米/秒的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁从点O以3厘米/秒的速度沿
OC方向爬行，问经过几秒两只蚂蚁所在的点与点O组成的三角形的面积为
450平方厘米？
（6）勾股定理问题
例：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，
台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里
的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心
移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度
继续航行，在途中是否会遇到台风？若会,则求出轮船最初遇到台风的时间；
若不会，请说明理由。
（7）数字问题
例：一个两位数的两个数字之和为10，且两个数字的乘积为24，这个两位数为多少？
第三章 频数及其分布
1、频数：我们称数据分组后落在各小组内的数据个数为频数；（结合表中数据）
2、频率：每一组频数与数据总数(或实验总次数)的比，叫做这一组数据(或事件)的频率。
(1) (2) 频数=频率×数据总数 (3)；
3、频数分布直方图的特点：
(1)计算极差 —— 一组数据的最大值与最小值的差。
(2)确定组距与组数；
(3)确定分点；（边界值，组中值）
(4)绘制频数分布表；
4、画频数分布折线图的主要步骤：
①计算极差，确定组距、组数，并将数据分组；
②列出频数分布表，并确定组中值；
③根据组中值所在的组的频数在坐标系中描点，依次用线段把它们连成折线。
◆ 注意：①画频数分布折线图，并不一定要先画出频数分布直方图。
②画频数分布折线图时，在两侧各加一个虚设的附加组，这两个组都是零频数，所以不会对统计量造成影响，它的作用是使折线与横轴组成封闭折线，给进一步的研究带来方便。
5、各对象的频数之和等于____________,各频率之和等于 ________。
典型例题：
（1）被测身高的学生有多少人?组距是多少？
（2）自左至右最后一组的频数、频率分别是多少？
（3）频数最大的是哪一组？
并说明该组的值中值和边界值.
（4）估计样本的中位数是多少？
（5）估计样本的平均数是多少？(精确到0.1cm)
（6）身高在160cm以上的有多少人？
占总人数的百分之几？(精确到0.1%)
第五章 平行四边形
1． 复习概念，理清关系
矩形
有一个角是直角，
平行四边形 且有一组邻边相等 正方形
菱形
2．集合表示，突出关系
3．性质判定列表归纳
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·两组对边分别平行；
·两组对边分别相等；
·一组对边平行且相等;
·两组对角分别相等；
·两条对角线互相平分.
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角;
·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且有一组邻边相等；
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S= ah
S=ab
S== ah
S= a2
巩固知识要点
1．填空：对角线 的矩形是正方形；
对角线 的菱形是正方形。
2．填空：对角线 的平行四边形是矩形；
对角线 的平行四边形是菱形；
对角线 的平行四边形是正方形。
3．填空：对角线 的四边形是平行四边形；
对角线 的四边形是矩形；
对角线 的四边形是菱形；
对角线 的四边形是正方形。
4、三角形中位线：
三角形中位线的定义： 。
三角形中位线的性质： 。
5、三角形中位线适用范围：
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
6、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系： 。
三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积的关系： 。
7、顺次连接四边形各边中点所组成的四边形称为中点四边形。
中点四边形的规律1：中点四边形的面积是原四边形面积的一半。
中点四边形的规律2：
原四边形两条对角线
中点四边形
相等
互相垂直
互相垂直且相等
即不互相垂直也不相等
第六章 特殊的平行四边形
一、各种特殊四边形的定义和性质
名 称
定 义
性质
判定
边
角
对角线
梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
1、
2、
等腰
梯形
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
上、下底平行且不相等，两腰相等不平行。
同一底上的两个底角相等，不同底上的两个底角互补。
相 等
1、
2、
二、各种特殊四边形之间的关系
三、梯形中位线
1、梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
2、梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，且等于两底边和的一半。
四、梯形中常见的添辅助线的技巧
1.延长两腰交于一点 2.平移一腰
作用：使梯形问题转化为三角形问题。 作用：使梯形问题转化为平行四边形
若是等腰梯形则得到两个等腰三角形 及三角形问题，CE等于上、下底的差。
若是等腰梯形则得到一个等腰三角形
3.作高 4.平移一条对角线
作用：使梯形问题转化为直角三角 作用：得到平行四边形ACED，则CE=AD，
形及矩形问题。 BE等于上、下底的和.
若是等腰梯形则得到两个全等的直角三角形。 若是等腰梯形则△DBE是等腰三角形
5. 当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中 6. 当有一腰中点时，过中点作另一腰
点并延长与一个底的延长线相交。 的平行线。
作用：可得△ADE≌△FCE, 作用：可得到平行四边形和全等三角形.
BF等于上、下底的和.
7.当有一腰中点时，取另一腰的中点 8.上下底边有中点时，过上底中点
并连结两腰中点。 作两腰的平行线
作用：构造梯形的中位线 作用：可得到两个平行四边形和三角形.
若是等腰梯形，则得到一个等腰三角形
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