惠州市高三4月模拟考试文科数学4月.doc

惠州市2018届高三模拟考试(文科数学) 2018.04
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，则集合（　 ）
(A) (B) (C) (D)
2．已知复数，则（　 ）
(A) (B) (C) (D)
3．甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中
选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（　 ）
(A) 　　 (B) 　 (C) 　 (D)
图2
是
否
4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?
意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风
折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断
处离地面的高为（ ）尺.
(A) (B) (C) (D)
5．执行图2所示的程序框图,若输入的，
则输出的（　 ）
(A) (B) (C) (D)
6．将函数的图象上各点的横坐标变为原
来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图
象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）
(A) (B)
(C) (D)
7．设函数，若，则的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
8．已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
9．某四面体的三视图如图3所示，正视图、俯视图都是
腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的
正方形，则此四面体的体积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
10．已知数列的前项和为，且，
则（　 ）
(A) (B) (C) (D)
11．在中，，点为边上一点，且，
则（　 ）
(A) (B) (C) (D)
12．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则
的最小值是（　　）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．曲线在处的切线方程为_______．
14．若变量，满足约束条件，则点到点的最小距离为 .
15．已知数列对任意的有，若,则 .
16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，
当时，，则方程在区间内的所有零点之和
为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知,,分别为△三个内角,,的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若,且△的面积为,求的值.
18．（本小题满分12分）如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至，且.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：平面⊥平面．

19．（本小题满分12分）
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“均不小于25”的概率；
（2） 若由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出关于的线性回归方程，并判定所得的线性回归方程是否可靠？
参考公式: ，
参考数据:

20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，点满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.

21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为．
（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；
（2），为曲线上的两点，且，求△的面积最大值．

惠州市2018届高三模拟考试
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
B
C
D
C
A
A
D
C
1.【解析】因为，所以，∴选C．
2.【解析】 , ，∴选B．
3.【解析】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为，∴选A．
4.【解析】如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺）， ，
所以，解得 ，
因此，解得 ，
故折断后的竹干高为4.55尺，∴选B.

5.【解析】第一次执行循环体后：;第二次执行循环体后：;第三次执行循环体后：输出选B.
6.【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得的图象，再往上平移个单位，得函数的图象，其单调区间与函数相同，令,解得：
，当时，为， ∴选C
另：用五点画出的函数图象（如下），可直接观察出单调区间。

7.【解析】令不符合题意，排除A，B；时，，不符合题意，排除C，∴选D. （另：画出的大致图象如下，也可观察出答案为D.）

8.【解析】 如右图所示，由题意可知△≌△，
∴∠=∠=∠，∴
∴选C.

9. 【解析】由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,此三棱锥的
体积,∴选A．
10. 【解析】由得 ， ，∴选A．
11. 【解析】因为，∴，∴选D.（另：本小题也可以建立坐标系去计算）
12. 【解析】由题意可得，抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
则==sin∠PAM，∠PAM为锐角．故当∠PAM最小时，最小，
故当PA和抛物线相切时，最小．设切点P（2，a），由y=x2的导数为y′=x，
则PA的斜率为•2==，求得a=1，可得P（2，1），∴|PM|=2，|PA|=2，
∴sin∠PAM==．故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 4036 16. 4
13.【解析】由，得， ，切线的斜率
为，故切线方程为.
14.【解析】：由约束条件作出可行域如图，
点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）
到直线x+y﹣4=0的距离．为．
.15.【解析】令m=1,则可知 ∴为等差数列，首项和公差均为2。
∴，∴
16.【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点)对称，则，又因为，所以，从而，再用替换可得，所以，即函数的周期为2，且图象关于直线对称，如图所示，区间内有8个零点，所有零点之和为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得： …………2分
由于 ，∴ ，∴
即 …………4分
∵，∴
∴
∴ …………6分
（Ⅱ）由： 可得 ∴ …………8分
由余弦定理得： …………10分
∴ …………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵分别是边的中点，
∴平行且等于的一半， …………1分
依题意，
于是有
…………3分
∵，
∴ …………4分
过点作于，则
， …………5分
∵，∴
∴梯形的面积
四棱锥的体积 …………6分
（Ⅱ）（法一）如图．设线段的中点分别为，连
接，则，于是

又
是等边三角形，∴EQ⊥FC， ………8分
由（1）知，∴，∴，
于是
………10分
∴，
又，
∴平面⊥平面 ………12分

（法二）连接，∵，∴△是边长为2等边三角形…
∵∴，∴， ………8分
又∥∴ ，
∵，∴ ………10分
又∵，
∴，又∵，
∴∴平面⊥平面 ………12分

19．（本小题满分12分）
【解析】 (Ⅰ)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个． ………2分
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，故由古典概型概率公式得P(A)＝. ………5分
(Ⅱ) 由题意得
且
所以 ，
所以关于的线性回归方程 ………9分
且 当时， ；
当时， ；
当时， ；
当时， ；
当时， .
所以所得到的线性回归方程是可靠的. ………12分

20. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由条件易知在抛物线上， ………1分
， ………3分
故，即抛物线的方程为； ………4分
（Ⅱ）易知直线斜率必存在，设，，， ………5分
①， ………6分
联立得即， ………8分
由得， ………9分
且②， ③， ………10分
由①②③得，即直线. ………12分

21. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题知： , ………1分
当时,在时恒成立
∴在上是增函数. ………2分
当时, ,
令，得 ；令,得 .
∴在上为增函数，在上为减函数. ………5分
（Ⅱ）法一：由题知： 在上恒成立，
即在上恒成立。 ………7分
令，所以 ………8分
令得；令得. ………9分
∴在上单调递增，在上单调递减. ………10分∴ , ………11分
∴. ………12分
法二：要使恒成立，只需, ………6分
（1）当时，在上单调递增，所以 ,
即，这与矛盾，此时不成立. ………7分
（2）当时,
① 若即时，在上单调递增，
所以，即，这与矛盾，此时不成立.
………8分
②若即时，在上单调递增，在上单调递减 .
所以即,
解得 ，又因为，所以 , ………10分
③ 即时，在 递减，则,
∴ ，又因为，所以； ………11分
综合①②③得： . ………12分

（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆； ………1分
直线l的直角坐标方程为 ………2分
由直线l与圆C只有一个公共点，则可得 ………3分
解得：a=﹣3（舍）或a=1 ………4分
所以：a=1． ………5分
（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）
设A的极角为θ，B的极角为 ………6分
则：=
= ………8分
∵cos=
所以当时，取得最大值 ………9分
∴△OAB的面积最大值为． ………10分
解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且
由正弦定理得：，所以|AB=
由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
则：≤×=．
∴△OAB的面积最大值为．