北京工业大学865高等代数历年考研真题汇编.pdf

目录2000年北京工业大学465线性代数考研真题2001年北京工业大学465线性代数考研真题2002年北京工业大学465线性代数考研真题2003年北京工业大学465线性代数考研真题2004年北京工业大学465线性代数考研真题2005年北京工业大学465线性代数考研真题2006年北京工业大学465线性代数考研真题2007年北京工业大学465线性代数考研真题2008年北京工业大学865线性代数考研真题2009年北京工业大学865线性代数考研真题2010年北京工业大学865线性代数考研真题2011年北京工业大学865线性代数考研真题2012年北京工业大学865高等代数考研真题2013年北京工业大学865高等代数考研真题2014年北京工业大学865高等代数考研真题2015年北京工业大学865高等代数考研真题2000年北京工业大学465线性代数考研真题2001年北京工业大学465线性代数考研真题2002年北京工业大学465线性代数考研真题2003年北京工业大学465线性代数考研真题2004年北京工业大学465线性代数考研真题2005年北京工业大学465线性代数考研真题2006年北京工业大学465线性代数考研真题2007年北京工业大学465线性代数考研真题2008年北京工业大学865线性代数考研真题2009年北京工业大学865线性代数考研真题2010年北京工业大学865线性代数考研真题2011年北京工业大学865线性代数考研真题2012年北京工业大学865高等代数考研真题一、填空题（本大题共50分，每小题5分。）1已知（自然数）阶方阵的所有元素都是；中除了外，其余元素。如果 和相似，则。2如果是（自然数）阶方阵，是同阶单位矩阵，且可逆，则是可逆的，其逆矩阵 （写出最简表达式）。3如果的四个根是，则乘积 （填写具体数值）。4如果实方阵满足：，则 。5是（自然数）阶实方阵的伴随矩阵，是的转置矩阵。如果的秩是，则齐次线性方程组的解空间的维数是 。6 。73阶实对称矩阵的列向量组满足（其中，不全为零）。若3阶实对称矩阵与合同，则 。8二次型的正负惯性指数之和，则 （写出具体数字）。9所有形如的实矩阵形成的集合都是实数关于矩阵的加法和数乘形成一个线性空间，此空间的维数是 。10若矩阵方程有解，则 （写出具体数字）。二、选择题（本大题共30分，每小题3分。选出符合要求的所有选项）1是实数，行列式的值（）。A一定小于零B等于零C一定大于零D不确定2是3阶实方阵，是同阶单位矩阵。如果都不可逆，则下列选项中不正确的是（）。A一定是可逆的B一定可以相似对角化C可能是初等矩阵D一定可以写成初等矩阵的乘积3是3阶实对称矩阵的特征值。是属于 的一个特征向量；是属于 的、由特征向量组成的正交向量组。表示作为列向量形成的矩阵：。则（）。A一定线性相关B一定是正交向量组C一定是正交矩阵D一定是对角矩阵4若 是实正交矩阵的特征值，是的特征向量，则（）。A 是 或B任意给定实系数多项式，总是的特征值C是的特征向量D前三个选项都不正确5若实数，则矩阵与的关系是（）。A相似而且等价B合同但不相似C相似但不合同D合同但不等价6是（自然数）阶单位矩阵；同阶方阵满足，其余元素皆为。下述选项中不正确的是（）。A是正定矩阵B的特征值皆为正数C的特征值皆为负数D行列式7是（自然数）阶实方阵，是单位矩阵。下列选项中不正确的是（）。A若，则一定成立B一定成立C一定成立D行列式一定成立8若3维列向量组、作为列向量形成的矩阵、满足，则齐次线性方程组的解的情况是（）。A有唯一解B无解C有无穷多解D不确定；依赖于的具体情况9设自然数，表示实数域。记型实矩阵的行向量组为、列向量组为。若它们线性组合成的向量空间分别记为则维数，之间的关系是（）。ABCD没有确定的大小比较关系10是实矩阵（自然数）。定义了 维实数列向量空间到自身的一个线性变换。若的秩，则像空间的维数（）。ABCD三、证明题（本大题共36分）1（12分）证明：实矩阵方程总是有解的。2（12分）若（自然数）阶实矩阵和实数 满足，复数是的特征值，则。3（12分）将（自然数）阶实矩阵的第一行的倍加到其余所有行上，得到矩阵；将的第一列的倍加到其余所有列上，得到矩阵；将的第一行、第一列删掉，得到矩阵。记（其中，行向量，是的伴随矩阵）。证明：当时，（提示：可考虑及其行列式，其中，表示所有元素都是 的 阶矩阵）。四、计算题（本大题共34分。要求写出解题过程）1（12分）求两对型、型矩阵、使得它们具有共同的乘积。2（10分）参数 取何整数时，线性方程组有解？写出相应情况下方程组的一般解。3（12分）已知数列满足。通过考虑，利用相似对角化的知识，求通项关于初始项的表达式。2013年北京工业大学865高等代数考研真题一、填空题（写出正确答案，本题共25分，每小题5分）1如果实方阵，则 。2已知（自然数）阶方阵 的所有元素都是；中除了外，其余元素。如果 和 相似，则 。3一个 阶行列式的元素由给定，则 。4设 为3维列向量，是 的转置，如果，则。5设 为实数域，集合关于矩阵的加法和数乘构成，则 的一组基为 ，维数是 。二、选择题（将正确答案的选项填入括号中，本题共25分，每小题5分）1设均为 阶矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）。ABCD2设均为 阶矩阵，且，若，则（）。ABCD3设向量组可由向量组线性表示，则（）。A当时，向量组 必线性相关B当时，向量组 必线性相关C当时，向量组 必线性相关D当时，向量组 必线性相关4 阶方阵 满足，且 的秩为，则行列式（）。ABCD5设 是 阶实矩阵，令，则（）。A 一定既相似又合同于一个对角矩阵B 一定相似但不合同于一个对角矩阵C 一定合同但不相似于一个对角矩阵D 一定不相似也不合同于一个对角矩阵三、（本题18分）设 元线性方程组，其中（1）证明：；（2）根据 取值讨论方程组解的情况：若有解，求出所有解；若无解，请说出理由。四、（本题20分）设二次型其中二次型的矩阵 的特征值之和为，特征值之积为。（1）求的值；（2）用正交替换将二次型化为标准型，并写出所用的正交替换。五、（本题12分）设 是 阶实对称矩阵，证明：（1）的特征值都是实数；（2）的属于不同特征值的 个特征向量的对应分量乘积的和为。六、（本题12分）设 是 阶实矩阵，是 的伴随矩阵。（1）证明：；（2）如果，且，求矩阵。七、（本题20分）设 是 阶实矩阵，若存在正整数，使得，则称 是幂零矩阵；设 是全体 阶实矩阵组成的，表示位置元素为，其余位置上元素为 的 阶矩阵，定义映射：（1）证明：是 的一组基，是线性空间 上的线性变换；（2）若，求 在基下的矩阵；（3）对于任意 阶矩阵，求 在基下的矩阵；（4）若 是幂零矩阵，证明 在基下的矩阵也是幂零的八、（本题18分）设 是实数域上的 阶非零矩阵，且，证明下列结论：（1）；（2）存在 阶可逆矩阵，使得，其中表示 阶单位矩阵；（3）可以表示成 个秩均为 的对称矩阵的乘积，并说明表法是否唯一2014年北京工业大学865高等代数考研真题一、填空题（写出正确答案，本题共25分，每小题5分）1如果实方阵，则 。2已知 阶矩阵的特征值是方程的三个不同根，则 。3二次型的秩，则 （写出具体数字）。4设，其中为 阶实方阵，关于矩阵加法和数乘构成，则 的一组基为 ，维数是 。5设是 阶行列式，其中，则 （写出具体表达式）。二、选择题（将正确答案的选项填入括号中，本题共25分，每小题5分）1设均为 阶矩阵，且，若，则（）。ABCD2秩为 的 阶方阵满足，则行列式（）。ABCD3设，且的伴随矩阵的值是，则 和 的关系是（）。A BCD4向量组线性无关，而线性相关，则下面论断正确的是（）。A能被线性表出B不能被线性表出C能被线性表出D不能被线性表出5设分别是 维、维线性空间，的线性映射，则（）。ABCD三、（本题18分）已知线性方程组有无穷多解；设是三阶方阵，分别为的属于特征值的特征向量。（1）求所给线性方程组的通解；（2）求矩阵；（3）求行列式的值。四、（本题20分）设 是欧氏空间中一个单位向量，定义证明：（1）是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；（2）如果 维欧式空间中正交变换以 作为一个特征值，且属于特征值 的特征子空间的维数为，则一定是镜面反射。五、（本题20分）设是数域上的 维线性空间，是的线性变换，为上恒等变换，向量组满足（1）证明为的一组基；（2）求在下的矩阵六、（本题18分）设是实数域上的 阶矩阵，且（1）证明：矩阵可逆，并用矩阵的多项式表示出的逆；（2）证明：；（3）证明：是可对角化矩阵并且可以表示成 个可逆的对称矩阵乘积。七、（本题24分）设是实数域上 阶矩阵，是矩阵的特征多项式令表示的 阶导数，假定与可交换，证明：（1）对任意正整数，有；（2）对每个正整数，有，特别地有；（3）若均为实对称矩阵，则。2015年北京工业大学865高等代数考研真题