gps定位技术本科毕业论文.doc

xx工学院二〇xx届本科毕业设计（论文） 第 42 页 共 41 页
1 绪论
1.1 概述
全球卫星定位系统(GPS)是美国继阿波罗登月计划和航天飞机计划之后的又一重大空间计划。1993年7月进入轨道可正常工作的Block I试验卫星和BlockII，和BlockIIA型工作卫星的总和已达24颗，系统已具备了全球连续导航定位能力，故美国国防部正是由于1993年12月18日正式宣布全球定位系统已具备初步工作能力。GPS系统定位精度高，不受昼夜的影响，使它在军事、交通运输、测量等诸多领域得到了广泛的应用与研究，它的建立使导航技术以及定位技术产生了根本性变革。[14]
GPS定位技术在各个方面得到了广泛的应用，尤其在测绘领域，在此领域
中GPS定位技术主要表现在建立和维持全球性的参考框架以及建立各级国家平面控制网方面，它在布设城市控制网、工程测量控制网。进行的各种工程测量中叶有较广泛的应用并且在航空摄影测量、地籍测量、海洋测量中的应用也很广泛。测量工作中为了得到测区内所有GPS点的正常高，必须由一些已知点及其高程异常进行拟合以求得未知点的高程异常。GPS水准高程拟合模型研究的目的就是在于运用不同的数学模型，进行模型优选，实现GPS大地高和正常高之间的转换。通过对GPS高程拟合模型的研究，找到一种较好解决这类问题的方法，从而使GPS高程拟合问题变得简单易行。进而提高GPS水准精度，其技术意义和实用价值都是十分深远的。GPS高程测量既有优点也有缺点，优点是实时，快速，需要较少的人力，缺点是不能直接应用于实际应用中。随着现在社会的发展，科技的进步，软件的开发，GPS高程也受到了很大的关注，我们所希望得到的就是使用GPS高程测量，而不是传统的精密水准测量，这种想法为GPS高程测量带来了很大的发展空间，所以为了提高GPS高程测量精度就变得尤为重要其中要解决的关键问题就是如何提高高程系统之间的转换精度。
目前，我国的高程系统采用了似大地水准面的黄海高程系统，GPS 采用的是WGS-84 地心坐标系。由于GPS 导航定位用的参考面不同，所以研究大地高与正常高之间的转换方法，在工程测量上被广泛应用。但在高程方面由于受坐标系不一致的影响，其精度一直被认为不太可靠。对于未进行大地水准面精化的地区，为了实现GPS 高程与正常高之间的转化，满足一般工程需要，可以通过高程拟合的方法实现其转换。所以再建立高程拟合时就要选择正确的模型，才能够提高高程拟合精度。本文通过最优回归理论来建立各种拟合模型，在度昂像是的各种模型中，通过实例比较，应用MATLAB编程，选择最优拟合模型，如果选择了正确的模型，为今后的工程应用提供有益的参考。
1.2 本文研究目的和主要内容
对于GPS定位技术现在以进行传统面控制测量。通过高程从中得出较高精度的大地高，但是由于受到种种限制我们在将大地高转换为正常高的过程中，使得得到的大地高的精度并不高。这使GPS在生产时间中的应用受到了限制。
研究最优回归理论的目的就是为了在进行GPS高程拟合时，找到最优模型来解决在高程转换中所提到的问题。那么对于不同的测区，我们就会选择不同的模型，在我们已经得到高程数据时，对高程数据通过最优回归理论进行数据拟合，使我们所得到的模型为最优模型。
本文的主要内容就是利用高程拟合中的各种方法，尤其是通过对多项式法中的各种模型的比较及不同的模型在不同的区域中的精度的大小。通过比较得到最优回归模型（对于不同的测区文章所采用的方法不同）。文章主要列举了带状区域和面状区域在多项式法中选择的最优模型。在通过阅读大量的文献的基础上，结合最优回归理论建立区域内似大地水准面模型。
1.3 国内外研究现状
GPS定位技术最近几年里在很多领域得到了广泛的应用，这主要是由于GPS的优点， GPS测量的数据具有精度较高、测量效率高，能够大大提高工作效率。GPS测量对于布设不同的控制网、建筑施工测量等方面都起到了很大的作用。使GPS测量在各个领域都显示出了它的快速、实时的优越性。对于GPS高程的缺点，国内外也给予了普遍的关注。国内外在GPS高程拟合的方法上进行了深入的研究，以便使 GPS高程能更广泛的应用到测量领域。GPS高程转换实际上就是求出大地高和正常高的高程异常。当前我们可以归纳出国内外进行GPS高程转换的方法主要有加权均值法、多面函数法、解析多项式法、移动拟合法、神经网络法、非参数回归法对于这些方法都有各自的优缺点。比如加权均值法，充分考虑了已知点和未知点之间距离对高程异常的影响若以内插点到已知点的平面距离的函数为权，则只顾及了已知点距内插点的远近的影响，不能反映出水准重合点的分布及周围地形的起伏，多项式拟合似大地水准面，拟合范围越大，高程异常的变化越复杂，削高补低的误差也越大等等。根据实际工程状况，以上这些不同的拟合模型适用于不同的GPS测区，也可以不同种模型进行组合和叠加组成新的拟合方法，但是这么多种方法最后都要归结于多项式法。通过建立不同的多项式的模型，对不同区域的点位进行高程拟合，选择一种点位精度较高的模型进行回归，从而得到最优回归模型。
1.4 本文的组织结构
本文共分6部分:
第一部分介绍GPS高程拟合技术的发展现状，本文的研究背景、研究的目的及意义。
第二部分介绍了GPS高程拟合的原理及方法，重点讨论在利用多项式法并在此基础上深入分析。
第三部分GPS高程拟合的误差来源和精度分析。
第四部分详细介绍了最优回归理论。
第五部分通过实际数据直接验证各种模型高程拟合的精度，得到最优模型。从而证明结论，以及MATLAB的编程。
第六部分通过之前的研究，得出本文的结论，并对以后的工作进行了展望。
2 GPS高程拟合原理及方法
2.1 GPS高程拟合原理
GPS高程转换到正常高的方法很多, 如GPS三角高程﹑ GPS重力高程、曲面拟合法等一系列方法。这一系列的方法都需要用到线性回归理论方面的知识。这些方法中最后都需要使用多项式法做最后的拟合，所以通过数学理论研究多项式法最后能获得较高精度的点位就变得十分有意义了。在进行GPS测量后，由GPS三维平差可得到各点的大地高，若网中有部分GPS点是水准联测点，则这些点的正常高h是已知的，即可求得这些点的高程异常。在一定范围内高程异常不为常数，但可以认为在此范围内变化平缓，可用一些数学函数来拟合，求得能反映GPS网控制范围中高程异常变化的函数，然后通过建立回归模型来求得高程异常，通过比较个中模型的精度从而得到最优的模型。
2.1.1 高程系统[14]
1.大地水准面与正高
重力位为常数的面被称为重力等位面。由于给定一个重力等位面，因而地球的重力等位面有无穷多个，在某一点处其重力值与两相邻大地水准面和间的距离之间具有如下关系：
（2-1）
重力等位面上点的重力值不一定相等，从式（2-1）得出，相邻近的等位面不一定平行。我们把众多的重力等位面中的一个特殊的面称为大地水准面，它是重力位为的重力等位面。在某些高程系统中把大地水准面当做是自然参考面，
由于地球内部质量的复杂多变，大地水准面与其质量的分布有密切的关系。因而大地水准面虽具有明确的物理定义，还是比较复杂，，虽然在部分地区会有起伏，但大地水准面的形状仍大致为一个旋转椭球。，从参考椭球面量至水准面的距离为沿参考椭球的法线，也可以称作大地水准面差距或大地水准面起伏，本文用符号表示，如图2-1
大地水准面
参考椭球面
法线
N
图2-1大地水准面起伏
正高系统以不规则的大地水准面为其准面的高程系统。点的正高是从该点出发，沿该点与基准面间各个重力等位面的垂线所量测出的距离，如图2-2正高用表示。
P
H
法线
N 法线
参考椭球面
大地水准面
地形面
P点处的重力等位面
图2-2大地高和正高

大地高基准的参考椭球与大地水准面之间的几何关系：
（2-2）
为大地水准面差距或大地水准面高，为大地高，为正高。根据物理学原理，可以将重力位沿垂线的增量表示为：
（2-3）
其中为垂线上各点的实测重力值，那么，对沿垂线从大地水准面到地面某点进行积分，有：
（2-4）
如果令沿垂线从大地水准面到地面某点的平均重力值，则有
（2-5）

即
（2-6）
容易得出：
（2-7）
这样就得到了正高的物理定义：
或 （2-8）
GPS定位测量获得的是WGS-84椭球空间直角坐标系如图2-2中的成果，其中的高程值是地面点相对于WGS-84椭球的大地高H。由大地高的定义，不难理解，不同定义的椭球空间直角坐标系，也可构成不同的大地高程系统。

X
Y
Z
O
A
B
C
O为地球质心
AOC为BLH定义的零子午面（1984.0）
ODE为赤道平面
D
E
图2-2WGS-84世界大地坐标系

2 似大地水准面与正常高
虽然正高系统具有明确的物理定义，但是由于难以直接测定沿垂线从地面点至大地水准面之间的平均重力值，所以实际上很那通过公式计算地面点的正高。为了解决这一问题，莫洛金斯基提出了正常高的概念，即用平均正常重力值来替代，从而得到正常高的定义：
或 （2-9）
由于是可以精确计算的，所以正常高也可以被精确确定。
似大地水准面是由各地面点沿正常重力线向下量取正常高后所得到的点构成的曲面。与大地水准面不同，似大地水准面不是一个等位面，它没有确切的物理意义，但与大地水准面较近并且在海面上与大地水准面一致。沿正常重力线方向，由似大地水准面上的点量测到参考椭球面的距离被称为高程异常，用符号表示。如下图所示：
法线
参考椭球面
似大地水准面

图2-3似大地水准面和参考椭球面
点相对于似大地水准面的高度被称为正常高，表示为。与的关系为
(2-10)
可以利用式(11-12)将高程异常转换为大地水准面差距：
(2-11)
其中，为大地水准面与地球表面间铅垂线上的真实平均重力值，为从参考椭球沿法线方向至近似地球面的平均正常重力值。根据式(11-11)和式(11-12)，可以得到与间的转换关系：
= (2-12)
正高和正常高系统都是世界上采用非常广泛的高程系统。正高或正常高都可以通过传统的几何水准来确定，这种方法虽然非常精密，但却费时费力。从目前的理论和技术水平来看，GPS定位技术是一种可在一定程度上替代几何水准的高效方法。采用GPS技术所确定出的大地高精度可优于1cm，要将所确定出的大地高转换为正高或正常高而又不降低精度，需要具有相同的精度的大地水准面或似大地水准面。大地水准面或似大地水准面为地形测图、GPS水准、导航、水道测量、海洋测量和其他一些卫星定位应用提供了将大地高转换为正高的基础。
3 参考椭球面与大地高
大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点沿通过该点的参考椭球面法线至参考椭球面的距离。大地高也称为椭球高，本文用符号H表示。
大地高是一个纯几何量不具有物理意义。它是大地坐标的一个分量，与基于参考椭球的大地坐标系有着密切的关系。显然，大地高与大地基准有关，同一个点在不同的大地基准下，具有不同的大地高。
4.不同高程系统间的关系
可将大地高、正高和正常高之间的相互关系总结如下：
或 (2-13)
或 （2-14）
或 (2-15)

2.1.2 GPS高程测量的基本原理
在采用传统地面观测技术确定地面点的位置时，平面位置和高程通常是分别独立确定的，这样做的原因主要有两个：一个是平面位置和高程分别基于不同的参考基准，确定平面位置时通常以参考椭球面为基准，而确定高程时，则以大地水准面或似大地水准面为基准；另一个是确定平面位置和高程所采用的观测方法不同，水平位置通常通过侧水平角、侧边的方法来确定，而高程则是通过水准测量或测竖直角和侧边的方法来确定，由于观测方法不尽相同，因而进行观测时所要求的观测条件也不相同。
GPS通过观测值能得到网中每两点间的地心WGS-84坐标系中的坐标差提供了地面点间位置和高程信息。如何求出地面点的高程(正常高)需要经过一些中间步骤，现介绍其基本过程。GPS测得的基线向量进行自由网平差，求出该网点地心坐标。取网中至少三个已知控制点，点位的大地坐标经纬度L,B和大地高H都已知，求出坐标值。转换公式为：
(2-16)
式中
，
f是椭球体参数
通过使用七参数法使用已知点上大地直角X坐标为控制公式为：

(2-17)
式中，，为平移参数，m为尺度比，，，是旋转参数由此求得GPS测点的直角坐标，再通过变换即得与已知点相同椭球上的经度、纬度和大地高：
（2-18）
众所周知，大地高是地面点至椭球面的高程，在正常的工程实践中是海拔高程(正常高)，两个基准面之差为该点的高程异常，即椭球面至似大地水准面之间的高差，表达式为 ：

（2-19）
式中分别为正常高、大地高，为高程异常。
还有一种是求出正常高高差，原理如下：
由GPS获得的基线向量通过网中至少三个已知点，经式(2-20)维直角坐标系中公式为：
（2-21）
求得GPS测点三维坐标差。由类似的式(2.19) 换到椭球面上，再由（2-22）
求得正高高差：

(2-22)
以上所述的GPS测高计算过程全由软件实施。由于坐标系转换时采用了不同的参数选取法，经转换后的GPS网点与相应地面网点仍有间隙， GPS亦即转换后网点坐标与地面网系统并不兼容，这对于城市网和工程控制网而言，不能说不是一个问题。为了使GPS网点坐标与地面网系统兼容在我国自行开发的软件中采取了系列的措施。
2.2 GPS高程拟合的方法
要想获得高程拟合的结果只要确定大地水准面差距即可，根据之前的大地高、正高之间的关系
（2-23）
为大地水准面差距，为大地高，为正高所以只要确定了大地水准面差距即可。
确定大地水准面差距的基本方法有天文大地方、大地水准面模型法、重力测量法和几何内插法及残差模型法等方法。
2.2.1 天文大地法
天文大地法的基本原理是利用天文观测数据并结合大地测量结果，确定出一些点上的垂线偏差，这些同时具有天文和大地观测资料的点被称为天文大地点，然后再利用这些垂线偏差来确定大地水准面差距。具体用来确定大地水准面差距的天文大地法有两种。
方法一：测定A、B两点间加入了垂线偏差改正的天顶角，计算出两点之间大地高之差，利用水准测量的方法测定出两点之间的正高之差或正常高之差。这样，就可以得出两点间大地水准面差距的变化或高程异常的变化：
=- （2-24）
=- （2-25）
如果采用上述方法，确定出了一系列相互关联点之间的大地水准面差距变化或高程异常变化，并且已知其中一个点上的大地水准面差距或高程异常，则可以确定出其它点上的大地水准面差距或高程异常。
方法二：要确定A、B两点之间大地水准面差距之差，首先设法确定出从A点到B点路线上的垂线偏差，然后沿路线AB进行垂线偏差的积分，即得：
或
式中：为在地面上所观测到的垂线偏差；为正高改正，且有
（2-26）
为改化到大地水准面上的垂线偏差。
天文大地法所采用的基本数据为垂线偏差，它们是由二维大地平差所计算出的大地坐标与相应天文方法所确定出的天文坐标之间的差异。由于在该方法中需要利用大地测量成果来确定垂线偏差，因而采用该方法所获得的大地水准面差距信息是相对于大地测量成果所对应的局部参考椭球的，它是一种获得相对于参考椭球所隐含的局部大地基准的大地水准面差距的方法。该方法所得到的大地水准面差距信息本质上是天文大地点间的倾斜，大地水准面的剖面通过一系列的天文大地点来确定。另外，该方法仅适用于具有天文坐标的区域，其精度与天文大地点间的距离、各剖面间的距离、大地水准面的平滑程度以及天文观测的精度等因素有关，整体相对大地水准面差距的精度可能仅有几米。
2.2.2 大地水准面模型
大地水准面模型是一个代表地球重力场形状的数学面，通常由有限阶次的球谐多项式构成，具有如下形式：
（2-27）
式中：，为计算点的地心纬度和经度；R为计算点的地心半径；为椭球上的正常重力；为地球赤道半径； G为万有引力常数；M为地球质量；为n次m阶伴随Legendre函数；、为大地水准面差距所对应的参考椭球重力位的n次m阶球谐系数；为球谐展开式的最高阶次。
大地水准面模型的基本数据为球谐重力位系数，所得到的大地水准面差距信息相对于地心椭球，模型精度取决于用作边界条件的重力观测值覆盖面积和精度、卫星跟踪数据数量和质量、大地水准面平滑性以及模型最高阶次等因素，旧旧的针对一帮用途的大地水准面模型的绝对精度低于1米，但目前最新的大地准面模型的绝对精度有了显著提高，达到了几个cm。另外，通过模型所得到的相对大地水准面差距的精度要比绝对大地水准面差距的精度高，因为，计算点处所存在的偏差将在大地水准面差距的求差过程中被大大地削弱。实践中，要得到特定位置处的大地水准面差距，可首先提取该位置所处规则化格网节点上的模型数据，然后使用双二次内插方法来估计所需要的大地水准面差距。大地水准面模型的适用性很广，可在陆地、海洋和近地轨道中使用，不过目前全球性的模型在某些区域其精度和分辨率很有限。
2.2.3 重力测量法
重力测量方法的基本原理是对地面重力观测值进行Stokes积分，得出大地水准面差距，其中，Stokes积分为
（2-28）
式中：R为地球平均半径；为全球正常重力的平均值；为Stokes函数；为某个表面单元的重力异常（等于归化到大地水准面上的观测重力值减去椭球上相应点处的正常重力值）；为从从地心所测量的计算点与重力异常点间的角半径。
原则上积分应在全球范围内进行，在未采用空间技术之前，特别是在未具有由球谐系数所提供的全球重力场之前，由于需要全球的重力异常，从而限制了该重力测量方法的使用。现在，重力测量技术实际上是Stokes积分与球谐模型的组合，即
（2-29）
式中，通过计算获得，是由表面重力积分所得出的短波信息，不过所采用的是下面经过修改的公式：
（2-30）
积分仅在以计算点为中心、半径为的有限区间中进行，而为
=+ （2-31）
= （2-32）
采用重力测量法所得到的大地水准面差距信息是相对于地心椭球的，其基本数据是计算点附近的地面重力观测值，仅适用于具有良好局部重力覆盖的区域。采用该方法所得到大地水准面差距的精度与重力观测值的质量和覆盖密度有关。与大地水准面模型法类似，该方法确定出的相对大地水准面差距精度要优于绝对大地水准面模型，其相对精度可达数十几万分之一。
2.2.4 几何内插法
在一个点上进行GPS观测，可以得到该点的大地高H，若能得到该点的正高，就可根据式（2-32）计算出该点的大地水准面差距N：
（2-33）
式中可以通过水准测量确定。
简单的介绍常用的多项式插值算法
在进行多项式插值时采用不同次的多项式，如何将大地水准面差距表先为下面的多项式的形式：
(1)零次多项式（常数拟合）：

(2)一次多项式（平面拟合）

(3)二次多项式（二次曲面拟合）：

式中：为进行了GPS观测的点的数量。
利用其中一些具有水准资料的所谓公共点上大地高和正高，可以计算出这些点上的大地水准面差距N。若要采用零次多项式进行内插，要确定一个拟合系数，至少需要一个公共点；若要采用一次多项式进行内插，要确定3个拟合系数，至少需要3个公共点；若要采用二次多项式进行内插，要确定6个拟合系数，至少需要6个公共点.以进行二次多项式拟合为例，存在一个这样的公共点，就可以列出一个方程

若存在个这样的公共点，则可列出一个由个方程所组成的方程组
（2-34）
将上式写成矩阵形式则有
（2-35）
式中：

通过最小二乘法可以求解出多项式的系数
（2-36）
式中，为大地水准面差距值的权阵可根据大地高和正高的精度加以确定。
几何内插法简单易行，不需要复杂的软件，可以得到相对于局部参考椭球的大地水准面差距信息，适用于那些具有足够既有正高又有大地高的点并且其分布和密度都较为合适的地方。该方法所得到的大地水准面差距精度和与公共点分布、密度和质量及大地水准面的光滑度等因素有关。由于该方法是一种纯几何方法进行内插是没有考虑大地水准面起伏变化，因而一般仅适用于大地水准面较为光滑的地区，如平原地区。这些区域，拟合的准确度可优于1dm。另外通过这方法得到的拟合系数，仅适用于确定这些系数的GPS网范围内。
2.3 几种常用的GPS 高程拟合法
2.3.1 多项式拟合法
多项式模型公式为：
（2-37）
具体参见几何内插法中的举例。
2.3.2 加权均值法
加权均值法:加权均值法的实质都是根据水准重合点上的高程异常值的加权均值估计插值点的高程异常。加权均值法的出发点是以计算为中心，取拟合半径内已知函数值的权中数。已知数据点上的权按其距中心点的不同范围用不同的权函数确定，以保证越靠近计算点的已知点的权越大，远离计算点的已知点的权迅速减小。在加权均值局部内插模中科选拟合模型的半径为R=3km，并规定：
（2-38）
则内插函数模型为：
（2-39）
式中
在拟合中可用向径距离来代替来定权即在权函数中用来代替。
2.3.3 多面函数法[17]
多面函数模型是美国Hardy教授于1977年提出的 ,来解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。多面函数的解算有最小二乘配置和推值法的特点。最小二乘配置法中的协方差函数是一种统计函数，在高程异常资料稀少的地区很难确定，而多面函数的核函数可以按几何关系确定，它是距离的函数，且顾及了待定点和已知点间的相关关系，起权系数矩阵的作用。似大地水准面上任意一点高程异常的表达式可用下式表示:
（2-40）
其中为高程异常；是待定系数；是和的核函数；为核函数的个数；为已知点坐标。常用的核函数一般取下面的对称型的距离函数：
（2-41）
其中，为光滑系数，系数越大，多面函数越平滑越光滑。
若个已知水准点，可选其中个为核函数的中心点令：

则所选各已知点应满足：
（2-42）
由该公式可列出误差方程:
（2-43）
或： （2-36）
经最小二乘平差得：
（2-44）
任意一点的高程异常为：
（2-45）
其中：

若将全部已知水准点取为核函数的中心点。即则：
（2-46）
（2-47）
展开得：
（2-48）
（2-49）
2.3.4 BP神经网络法[]
该方法是使用输出后的误差来估计输出层的直接前导层的误差，再用这个误差来估计再前一层的误差，这样循环往复的传递，能得到其他各层的误差，通过改变网络的链接权值，使网络的输出接近期望的输出值。
BP 网络(Back Propagation NW) 是一种误差反向传播的多层前馈网络。它是由输入层、输出层和一层或多层隐含层组成，曾与层之间无反馈连接并且神经元之间无任何连接，但是对于临近层的神经元之间有连接。该算法属有导师训练类，
它是多层映射网络并且采用最小均方差的学习方式，是目前在工程上使用最普遍的网络。本文列举的转换GPS高程的五层BP神经网络结构（参见图2-3）。网络共设五层，由下至上依次为输入转换层、输入层、隐含层、输出转换层。网络只设一个隐含层，但另外增加了一个输入数据转换层和一个输出数据转换层。本文所采用的标准输入、输出数据限定范围为0到1，但是实际工程应用中的参数（X,Y），其数值都非常大，因此，输出数据范围可设定为0.2-0.8或者是0.1-0.9可避开网络的饱和区.
输入转换层和输出转换层的计算公式因工程而异，具体应用时最好通过编程由电脑实现自动转换流程图如下：

图2-3五层BP神经网络结构

2.3.5 Akima插值法[11]
Akima插值法是在两个测点之间进行内插，除需要用到两个实测值外，还要周围相近邻的四个实测点上的观测值。也就是说共需六个实测点。设已知数据点为，通过找一条光滑曲线使其满足。显然如果已知每个数据点上的导数，那么在任何两个相邻的数据点与之间就有四个条件即
（2-50）
从而可以唯一的确定一个三次多项式曲线，并且有上式后两个条件可以看出，这样确定的整条曲线是光滑的。由此可以看出确定每一个数据上的导数是一个关键的问题。
2.4 Matlab在高程拟合中的应用
使用Matlab编程来解决高程拟合镇南关出现的问题已经越来越受到人们的注重。Matlab是美国MathWorks公司的商业数学软件，用于算法开发、数据分析数据可视化等的计算语言和交互式环境，其主要包括Matlab和Simulink两大部分。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的表达式与数学工程计算中常用的形式十分相似。主要功能包括：数据分析和可视化；数值计算；符号计算；文字处理；SMULNK动态仿真。由于以上优点，Matlab越来越多的应用到工程中去算速度。其工作流程如图（2-4）
坐标数据预处理
（以一定的格式组织拟合数据包括把数据表示成矩阵的形式数据的中心化）
采用最小二乘法求解拟合模型系数
带入数值求各模型的拟合高程异常值
比较已测点高程异常值，并求残差
比较未测点高程异常值，并作检核
内符合精度评估
外符合精度评估
比较选择最优结果，确定模型，输出结果
图2-4 Matlab高程拟合工作流程

2.5 小结
本章主要论述了确定大地水准面差距的基本方法天文大地法、大地水准面模型法、重力测量法和几何内插法等方法以及几何内插法中的几种具体的方法，尤其是几何内插法多项式法是本文的重点。
对于基于Matlab的高程拟合主要是用于比较各种拟合法的精度，但本文主要研究的就是基于最优回归理论下的高程拟合的研究，主要是以之前所提到的在几何内插多项式法。
那么就可以提出下面的问题了：
1、就多项式而言，二次多项式即二次曲面拟合中所提到的模型：

等都是二次曲面
2、当我们每次提到二次曲面时都会想到的是未知的6个参数，即上面所提的至少需要6个公共点，但是，不是对于每个区域的拟合精度都是含有六个参数时是最好的，所以本文提出了最有回归理论下的最优模型的选择，主要是在多项式中进行研究。具体实例参见第五部分的实例分析。
3 GPS高程拟合的精度分析
GPS高程拟合误差主要有:GPS测量和据处理引起的误差还有误差和已知点误差，模型在建立时的误差。
3.1 GPS测量及数据处理误差
3.1.1 GPS测量引起的误差
GPS测量中出现的各种误差按其来源大致包括与卫星有关的误差；信号传播误差（电离层延迟，对流层折射，多路径效应）； 观测误差和接收设备的误差等。
3.1.2 GPS数据处理误差
GPS数据处理误差包括相位整周模糊度解算对GPS高程的制约 及 星历和参考坐标对高程的制约还有部分的天线高对高程测量的影响，当然GPS数据处理中模型引起的误差也是不可避免
3.2水准点引起的误差
用于拟合的水准点的精度大小，直会接作为误差传播到拟合的结果中。所以外业水准数据的精度是影响GPS高程拟合精度的关键因素。因此对已知水准点可以根据要求确定取舍。
3.3 拟合模型引起的误差
对于任何区域如果涉及到的GPS高程拟合，都不能用固定的模型来进行拟合。尽管有大量数据及资料表明:在地势比较平坦的地区，可以使用数学拟合法把GPS大地高转换为GPS高程就能达到四等几何水准的精度。但是由于测区不确定性和环境及认为的不定因数会直接影响拟合的结果所以对于模型的选择需要经过多次验证才能得到改厕去的理想模型。有其实本文所研究的多项式模型，文章选择拟合点的数量以及拟合点的分布都会对拟合的结果产生很大的影响。所选模型是要拟合整个区域的最佳的似大地水准面或高程异常面。如何在带状区域和面状区域利用最优回归理论来获得高程拟合模型市提高拟合结果的精度和可靠性这也是本文研究的重点。
3.4 GPS高程精度评定
在GPS高程可以通过两种方法来研究一是内符合精度，二是外符合精度在学过最优回归理论后游游其他的准则来评定GPS高程拟合的精度。详细请参见第四部分。现先介绍内符合精度和外符合精度和GPS水准当中的精度评定。
3.4.1 内符合精度
若己知点的己知高程异常为，其拟合值为，已知点个数为，;令则内符合精度定义为：
（3-1）
3.4.2 外符合精度
令检核点的己知高程异常，与拟合值之差V，检核点个数为，则外符合精度的定义为
内符合精度与外符合精度都是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。
3.4.3 GPS水准相对精度评定
GPS水准相对精度评定的方法有两种:
(l)检核点到己知点的距离L，按几何水准限差(见表2一)来计算检核点拟合残差的限值，为了评定GPS的水准度可以通过残差和限值进行比较得出结果。
(2)通过GPS水准测量得出求出点间的正常高程差，在己知点和点之间间组成符合或闭合高程导线，按计算的闭合差与表3一1中允许的残差限差比较，来衡量GPS水准测量能达到的精度。
几何水准限差 表3-1
等级
允许残差（mm）
三等几何水准测量

四等几何水准测量

普通几何水准测量

3.5小结
本章介绍了常用的GPS高程精度评定，并根据GPS高程拟合的过程分析了GPS高程拟合的误差来源。GPS测量及数据处理引起的误差和己知水准点引起的误差及拟合模型引起的误差是GPS高程转换的主要误差。在GPS测量过程中，通过对电离层模型、对流层模型的改正或将两个观测站同步求差等可以消弱电离层和对流层部分有关折射的影响，有效的提高GPS定位精度从而提高了GPS高程拟合的精度。本章对GPS数据处理误差并作了简要论述也从模型的角度进行了详细分析。
对拟合模型分析的基础上，提出了本文的研究目标: 利用最优回归理论，处理大地水准建模时所用到的多项式模型，得到最优的回归模型，以期提高似大地水准面的建模精度。
4 最优回归理论[12]
在应用回归费明细处理实际问题时，我们首先需要解决的问题就是回归方程的选择，对于回归模型而言，所谓回归方程的选择包括：
(1)回归方程选择的类型，即判断式使用线性回归模型还是非线性回归模型来处理生产实践中的问题。统计学上称之为回归模型的线性检验。
(2)模型选定后，自变量的选择问题。根据专业的统计的方法，确定因变量和对其有影响的自变量，是否影响一个线性回归模型，这时回归方程的选择就成为了回归自变量的选择。
在实践学习中做回归分析时，将各种与因变量有关或可能有关的自变量引起回归方程，其结果是将一些对因变量影响很小甚至没有影响的自变量也包含在回归方程中，从而使计算量增加，因变量预报的精度下降。对有些实际中遇到的问题，某些自变量的观测数据的获得是十分昂贵的，如果这些自变量本来就对因变量没影响，或者影响较小，而我们又都将其加入回归方程，那么一定会造成观测数据收集和模型应用的费用都会增加，因此选择一个“最优”的自变量子集是非常重要的。
4.1 Gauss-Markov假设
假设根据经验或专业理论确定一切可能对因变量Y有影响的自变量共有，记为,它们与Y一起适合线性回归模型即：
（4-1）
其中e为误差项，它表示除了之外其它因素对Y的影响以及试验或测量误差。是待估计的未知参数，我们获得了n组观测数据（）, 之后，便有：
， （4-2）
其中误差项（）满足如下假设：
（a），
（b），（等方差） （4-3）
（c）（不相关）
这就是所谓的Gauss-Markov假设
在Gauss-Markov假设中，a所显示误差项不包含任何系统的趋势，因而观测值的均值：
, , （4-3）
这就是说，观测值大于或小于其均值E()的波动完全是一种随机性的，这种随机性来自误差项。我们所了解的是一个随机变量的方差描述的该随机变量取值散布程度的大小，因此假设第二项要求是等方差，也就是要求不同次的观测在其均值附近波动程度是一样的。一般不容易达到，所以一般我们会放松为，。第三个的假设等价于在进行不同次的观测时是不相关的。在实际应用中这个假设比较容易满足。但是在一些实际问题中，误差往往是相关的，这时估计问题比较复杂，在这就不讨论了
4.2 准则
如果模型（3-2）就是真实模型，那么统计建模的任务就是利用一些统计方法通过（4-2）式来估计未知参数和，对估计的回归方程作统计分析，根据需要，用所估计的回归方程对因变量Y进行预测。有些自变量对Y没大影响或者统计出的结果页没有明显的影响，则我们就有可以从全部自变量挑选一些，比如，前q-1个自变量，成为一个“最优”自变量子集。于是相应的“最优”回归方程为
（4-4）
我们一般称（4-4）为选模型，而称（4-1）为全模型，现在我们所要讨论的三个问题：
回归方程（4-1）减少自变量后，对回归方程的估计有怎样的影响?
回归方程（4-1）减少自变量后，对因变量的预测有什么影响?
如何评价所选择的回归方程是“最优”的。
通过对有关书籍的学习，我了解到残差平方和的