关于数的发展历史-大学数学论文-范本.doc

新疆师范大学2012届本科毕业论文（设计）

2011届本科毕业论文（设计）

题目：关于数的发展历史

学 院：数学科学学院
专业班级：数学与应用数学07-3班
学生姓名：
指导教师：
答辩日期：

15

目 录
1 引言 3
2 计数法和自然数 3
2.1 记数制度 3
2.2 自然数 4
3 有理数系 8
3.1有理数的引入 8
3.2分数和负数 8
4 实数理论的完善 9
4.1无理数的由来 9
4.2 实数的发展 10
5 复数的扩张 11
5.1 复数的产生 11
5.2 复数的历史意义 11
6 结论 12
参考文献 13
致 谢 14

关于数的发展历史
摘要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。

关键词：记数法；素数；有理数；实数理论；复数扩张

1 引言
数是数学中的基本概念，也是人类文明的重要部分。数的概念的每一次扩展都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。现在，我们所应用的数，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数的形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？

2 记数法和自然数
2.1 记数制度
记数制度或计数法就是记录或表示数目的方法，主要指数字符号的表现形式以及技术工具的使用。
在文字生产之前，人类就已形成数的概念。那时数目是用事物来记录的，如小石子,竹片，树枝，贝壳之类。这些东西容易散乱，自然会想到用结绳的办法来记录。我国《周易.系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。结绳毕竟不甚方便，以后再实物（石，木，骨等）上刻痕以代替结绳，再进一步发展成为文字。
位于西安东郊的半坡村文化遗址（属新石器时代的仰韶文化），距今5，6千年前，人们就发现陶器和陶片上刻着许多标志符号，横，竖，斜，叉河现代汉字想象，有20多种不同的形状；埃及前国王时期（约从5千年前开始)的墓葬和石碑等出项象形文字;两河流域的苏美人创造的楔形文字，也开始于5，6千年前。
现代则用国际通用的印度-阿拉伯数码。但古代有些地区数字和数码是一致的。有了数字和数码，就有一套记数方法，刻痕记数，有多少数刻多少道痕，这是最原始的办法，但数目很大就有困难，自然就想到进位,以p个新单位有组成一个更高的单位，这叫做p进位的基数。现在同行的印度-阿拉伯数码的基数是10，即“逢10 进1，退1当10”，人们已经习以为常，但在历史上曾使用过许多非10的基数，如2，5，6，12，16，20，60等，量角的60进制，至今还在使用。
为什么选择这些数作基数？这是很有趣的问题。5进和10进显然和人类有10个指头有关，这一点亚里士多德（Aristotle,公元前384-前322）早就注意到。他在《问题集》XV卷中指出各种可能的解释，都和毕达哥拉斯学派有关这个学派认为10是一个完美的数，并给它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4种类型的数之和：1+2+3+4=10，1既非素数既非合数，2是偶素数，3是奇素数，4是合数，2代表线（两点确定一直线），3代表面，4代表立体。10又是不同天体类型的数目：地球，反地球，日，月，五大行星以及恒星。还可以做其他的解释。亚里士多德最后指出：是否因为每个人都有10个手指？事实上，前集中推测都是不可信的，因为进位的基数不是某些学者的发明或规定，而是人们在长期实践中形成的，而且在毕达哥拉斯以前，早已有10进制，如埃及，中国等。法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
2.2 自然数
自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作0。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 0不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果0∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。下面我们主要讨论自然数内的零和素数.
2.2.1 零的历史
2.2.1.1 哥伦布鸡蛋
数学史家把0比作“哥伦布鸡蛋” （Columbus-egg),这不仅仅是因为0的形状像鸡蛋，其中还含有深刻的哲理。1492年，哥伦布（Christopher Columbus, 1451-1506）从西班牙出发，历尽千辛万苦，终于发现了美洲新大陆。他于1493年返回西班牙后，受到群众的欢迎和王室的优待，也招致一些贵族，大巨的妒忌。在一次宴会上，有人大声宣称：“到那个地方没有什么了不起，只要有船，谁都能去。”哥伦布没有正面回答，他手拿一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋用小的那一头竖起来？”许多人试了又试，都说不可能。哥伦布将鸡蛋在桌上轻轻敲破了一点壳，就竖了起来，于是又有人说：“这谁不会？”哥伦布说：“在别人没有做之前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为谁都可以做。”这就是流传了四百多年的哥伦布鸡蛋故事。凡事都是开创时困难，有人开了端，仿效是很容易的。0的出现一个典型的例子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简单的方法来记数。因此哥伦布鸡蛋的比喻是很巧妙的。
“零是谁发明的？”答案可能不止一种，这是因为对“零”可以有不同的解释：（1）零是一个概念，它表示“一无所有”。如5减5等于零；（2）在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码所在位置的作用。如阿拉伯数码中零记作0，在304中的0表示十位上没有数，而3是在百位上，表示三百；（3)零本身是一个数，可以同其他的数一起参与运算；（4）零是标度的起点或分界，如每天的时间从0时开始，数轴上0是正负数的分界，温度计以0º为零上零下的分界等等。可见至少有上述的四种功能。下面讨论零在位值制中的功能。
2.2.1.2 楔形文字的零号
所谓位值制，就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。完整的位值制，必须有零号，否则便无法表示405，4500这样的致。零可以说是位值制的必然产物，但在历史上，它的出现往往比位值制思想晚得多。原因值得探讨，至少可以说明即使是一项简单的发明，也不是一蹴而就的。
世界上较早懂得位值制原理的地区有巴比伦、玛雅、印度、中国。
巴比伦计数法迟迟不创造零号，原因可能有三个：一是零出现的频率较小，10进位值记数法在1—100之中有10个数要用0来表示：10，20，…，100；而60进制只有60这个数必须用到0；二是60进制差一位就差60倍，较易从上下文来确定究竟表示什么；三是必要时用留出空挡来表示空位。
总的来说，在巴比伦王国时期没有发明零号，顶多是留出空白，而在塞琉西时期确实出现了零号，中间相隔一千多年。一般说，事物的发明总比它被普遍使用早得多，但究竟早多少，现在还没有足够的证据来加以确定。
2.2.1.3 亚里士多德的见解
最早认真考虑以零作除数的是亚里士多德，他在《物理学》一书4章8节中指出：物理在一定的力作用下，运动速度与介质的密度成反比，即v=k/d，其中v是速度，d是介质密度，k是比例常数。这法则是错误的，暂且不去管它，我们要讨论的下面的推理。
亚里士多德提出这样的问题：假如d=0，也就是在真空中，物体将有怎样的速度呢？他回答说：“一个数与零是没有比值的，……如果把一个量c分为a与b两部分，当b减少时，比值就增大，但当b变成零的时候，便不再存在，因为不能说b是c的一部分。……同样，直线与点也是没有比值的。”接着又说：“物体在正空中的运动速度超过任何的比值。”亚里士多德的论述非常接近现代的思想，它可以归结为两点：（1）a/0是不存在的；（2）。
在这里亚里士多德似乎已经意识到零（空虚）可以看作一个数来参与运算，但没有更多的证据来肯定这一点。在以后的希腊著作中，包括亚里士多德的在内，很少把零看作一个数来加以运算。即使在古希腊最重要的算术著作尼科马霍斯 《算术入门》里也没有将零纳入数的系数之中，只是在一处偶然提到“一无所有加上一无所有还是一无所有。”
2.2.2 素数
2.2.2.1 素数有多少？
我们在《初等数论》课中学习了素数，素数是整个数论的灵魂，因此我以素数为主要内容来介绍。
一个素数是指这样一种正整数:除了1和它本身之外，其它任何正整数都不可能整除它。我们也可以这样定义素数：它不能写成两个大于1的正整数的乘积。有时我们也将素数称作质数。通常我们不承认1是素数。下面来介绍这样做的好处。
最初的几个素数是2，3，5，7，11，…。显然6不是素数，因为，所有的素数中只有2是偶数！这件事看似平凡的事，其实很重要。在许多数学研究中，2和其他素数会对我们所考虑的问题产生不同的影响。很多人会问：为什么我们把这样的数名为“素数”呢？这来自于素数最基本的结论—算术基本定理：任何大于1的正整数都可以唯一地分解成一些素数和乘积…，这里…都是素数（允许相同）。
究竟有多少个素数？无限多个还是仅有有限个？这个问题的答案早由欧几里得在两千多年前解决了。他用初等方法技巧地证明：存在无限多个素数！具体言之，我们假设所有正整数中只有有限个素数…，那么可以构造一个正整数 … 很容易发现，左边的分解成素数的乘积的话，不可能包含任何素数，因此它的分解式中必定含有这些之外的新的素数，这就和我们的假设矛盾。
根据欧几里得的证明，我们可以轻松断言：所有被4除余数为3的素数有无限个！换言之，等差数列3，7，11，15，19，…中包含无穷多个素数这就产生了有趣的问题：一个等差数列…，…中是否包含无限多个素数？数学家狄利克雷回答了这个问题：假如和是互素的（就是说它们不能同时被一个大于1的正整数整除），那么答案是肯定的！
不要以为欧几里得的方法来轻松的解决这一问题。事实上，除了少数情形之外，这个问题不可能由它来简单的解决。如果我们把等差数列换成其他数列，结果会怎样呢？比如考虑数列：2，5，10，17，26，…，，… 其中是否有无限多个素数呢？让人失望的是，这到至今仍是一个未解决的难题。
2.2.2.2 素数的分布
我们知道了“素数有无限多个”后还想知道更多！比如，素数在所有自然数中所占的比率多大？我们首先要说明“比率”在这里意味着什么。对任何正实数，我们用（）表示不超过的素数的个数。比如等等。我们用来反映所有不超过的正整数中，素数所占的比率—也称作平均分布密度。
一个简单的结论告诉我们：当非常非常大时，几乎就等于0.换句话说，素数在所有正整数中极为罕见，可以说少得几乎没有—尽管我们知道它们有无穷多个！对一般人来说，这个结论似乎已经让我们走到了问题的尽头。但是天才数学家高斯却不这么认为。在那个没有计算机的年代（1792-1793年间），他通过大量的手工计算，单凭超人的直觉，竟然得到了一个让人吃惊的猜测：当非常时，素数出现的比率约等于。换言之约等于1，这里是的对数函数。
高斯的原始猜测要比上面的表述式更为精确。在高斯之后，数学家勒让德也通过数值计算得到过类似的猜测公式（1800年左右），但没有高斯的精确。证明这一结论是极其困难的工作。到19 世纪中叶，俄国数学家切比雪夫才有了突破性进展，他证明了：
这里和是确定的常数。这个猜想大约到19世纪末，才由法国学家阿达玛和Paussin几乎同时独立证明。人们将它称作素数定理。这个定理只是在大样本范围内描述了一种统计规律。素数本身的分布位置极不规则。当我们确定一个素数之后，很难预测在它之后的下一个素数是多少。尽管如此，我们仍有一些猜测和结论来描绘素数在整数集中分布形态。有趣的是，猜测要比结论多得多。虽然我们无法彻底证实那些猜想，但是却可以推导出，用所谓的密率方法得到的有趣结论：任何大于1的整数必可以写成不超过26个素数之和。

3 有理数
3.1 有理数的引入
位置制记数法的出现，标志着人们掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数的缺陷也就逐渐显露出来。
自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。可知，自然数是一个离散的、而不是稠密的数 ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。
3.2 分数和负数
有趣的是分数来领也都有强烈的地域特征。如，巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数(unit fraction)，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。
可以证明，分数是一个稠密的数，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。收入与支出、盈余与不足、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就是一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史表明：负数最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，筹算机械化和算法高度发达的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。
负数虽然从阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认色一点，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel ,1486-1567）把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”；卡丹(Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号，他把负根称作是虚有的；韦达(Vieta, 1540- 1630) 完全不要负数；巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。
负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数的发展历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。
4 实数理论的完善
4.1 无理数的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可子希勃索斯公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”。
无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。
4.2 实数的发展
1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。
　　努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
　　实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。

5 复数的扩张
5.1 复数的产生
复数（虚数）的产生在数学发展历史是一个重大的事件，由于它诞生于“荒谬的矛盾”中，因此复数一开始就给自己披上了一层“虚无缥缈”而有神秘的外衣。经过许多年的艰苦探索，走了近三百年的漫长历史时期，最后才逐渐被人们承认和接受。今天复数已经在数学的许多分支及其他学科中得到广泛的应用。
复数是怎样产生的？它是不是象有些书上所叙述的那样：在求一元二次方程 的过程中，实数集不够用了需要进行扩张，扩张后的数集，使得一元二次方程 有解，从而得到复数，可是在历史上复数却不是这样产生的，它不是生产与一元二次方程的求解过程中，这就更增加了复数神秘而虚无的色彩。因此恩格斯说：“复数就其本身来说，它们纯粹是虚构的”。
本来，由于一元二次方程 在实数范围内没有解，为了使这个方程求得解，自然会想到将实数进行扩张，而引入 ，从而得到方程的根 ，复数就是自然而然地产生，这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，也能为人们，特别是中学生所接受。如果复数真是这样产生，那它不就成了纯粹的自由创造物和相像物了？
5.2 复数的历史意义和发展
历史并非如此，我们不妨来看看历史吧！
最近在考古中发现，公元前两千多年前的古代巴比伦时代，就已经出现了二次，三次方程的例子，当时的古代巴比伦人已经具有处理一元二次方程的技巧。公元三年纪希腊数学家丢番图能熟练的解一元二次方程，但他还没有得到一元二次方程的求解公式。直到公元七世纪，印度数学家巴拉玛古他才较明确地得到求解一元二次方程的公式，虽然复数在阿拉伯人就已经知道，但在欧洲不承认复数是数，17世纪有名的数学家巴斯葛认为：“0减4纯粹是胡说”。很多著名数学家都不承认方程有负数根，例如17世纪法国著名的数学家伟达只承认方程有正跟，而拒绝承认一元二次方程有负数根，更谈不上承认一元二次方程有虚根了。 1500年法国人舒开在接一元二次方程时，就得到过
这样一个具有负数开平方的事实，但他认为这是不可能的。他之所以得出这样的结论，是因为不承认负数是开放数这个事实，不论在理论上还是逻辑上不会出现什么困难和矛盾，在当时无论在理论上，还是实际需要都没有什么动力促使人们在一元二次方程求解中去探求这类问题，因此复数在历史上产生于一元二次方程的求解过程中也就没有什么奇怪了。
复数还是太“虚无缥缈”了，不容易为大家所接受，人你们努力去寻找求它的应用。令人奇怪的是复数的几何表示并不是出自数学家单位著作。1799年丹麦的测量员维塞尔在他的“方向的解析表示”的著作中，第一次给出了复数的几何解释，这也许是他从测量的实践中想到用平面上的点来表示复数，不久，日内瓦的会计师阿尔冈在1806年出版的“一种表示虚量和几何作图”的著作中，第一次给出了复数模的概念，他也用平面上的点来表示复数，但由于他俩都不是正统的数学家，又没有系统地上升到理论高度，因此他们的成果没有引起人们的凝视。
从上可以看出复数的产生对于数学的发展产生了巨大的影响，由它出发不仅创立了有重大突破的四元数理轮，后来还出现了超复数的概念，甚至到了1972年苏联一位学者还是提出了双复数的概念，它们在物理学中都找到应用。即使是复数本身，在爱因斯坦的相对论中也用i代替闵可夫斯思维空间的时间t，最近还有人将复数应用于系统论的控制论。
复数理论的创立，在数学本身已经得到广泛的担任应用，而受复数启示而诞生的四元数理论不仅给数学带来观念的更新，而且导致了许多的数学理论的建立。直到最近还有人在复数概念的启示下去创立新的数学概念和理论。
更重要的是复数理论在实践上有着广泛的应用，它不仅应用于力学，电工学，相对论，而且还用于系统论和控制论，甚至还有可能应用于理论物理。而由复数理论启发所创立的四元数，超复数和双复数理论也广泛应用于向量场，空间静力学，力学，磁学，晶体学和电磁场等多种学科中。
正是由于复数概念在理论上，实践上有着广泛的应用，因此它具有很强的生命力，对复数理论的研究可以讲是长期不衰，四百多年过去了，今天复数理论还吸引着许多人去研究。

6 结束语
数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。因此本篇论文主要讨论了数学中的数的历史过程和发展.讨论了从最早的记数法到自然数、有理数、实数和复数的一系列历史发展过程和扩展，数的每一次扩展标志着巨大色飞跃，一时代对于数的认识和应用，以及数系理论的完善，反映了当时数学的水平。
现在，我们所用的数走过了以上所提的历史后，已经够早的如此完备和缜密，在生活和科学技术的领域中，它都成为基本的语言和不可缺少的工具。
参考文献：
[1] 李文林主编.数学珍宝,北京:科学出版社,1998年出版
[2] 李文林.数学史概论教程,北京:高等教育出版社,2011年2月第3版
[3] 梁宗巨.数学历史典故,辽宁:教育出版社,2000年10月第二版
[4] 王建午,曹之江,刘景麟.实数的构造理论.北京:人民教育出版社.1981年出版
[5] 数学文化,2012年/第三卷第1期

致 谢
此论文完成之际，我首先要衷心感谢我的导师艾合买提江老师在此论文的完成过程中给我的大力帮助，使我能够顺利的完成毕业论文. 本论文是在艾合买提江老师的悉心指导下完成的，论文的选题、技术路线的构思以及论文的写作都凝聚着指导老师的辛苦与教导! 夏普开提.热合木吐拉老师丰富的实践经验，诲人不倦的师风和宽广的胸怀给我留下了深刻的印象，不仅使我奋斗进取，而且使我懂得了为人处事的道路，受益终生。导师严谨的治学态度一丝不苟、忘我的工作作风，平易近人，随和善良的为人准则，良好的个人道德修养，堪为学人的典范，让我受益终生.三月来，无论在工作还是生活中，导师都给予我极大的关心照顾和充分的理解.这三月，我学到的不仅仅是专业知识，还有想问题及处理问题的方法.除此之外还有先进的思想、方法和严谨的治学态度，使我受益匪浅，对我今后学习、生活都将大有稗益.在此，谨向我的导师致以崇高的敬意与衷心的感谢!
学校领导，学院领导，系领导,以及各位老师们在我毕业论文研究中提供的各方面的支持和宝贵意见，此论文中包含着你们的汗水、支持、关怀和心血。
再次感谢所有关心我的老师、亲人、同学和朋友！感谢你们对我付出的一切！

1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究
2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究
3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究
4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制
5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究
6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器
7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究
8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现
9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统
10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究
11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究
12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发
13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制
14. 基于单片机的自动找平控制系统研究
15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发
16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发
17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现
18. 一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制
19. 基于双单片机冲床数控系统的研究
20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制
21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制
22. 基于单片机的软起动器的研究和设计
23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究
24. 基于单片机的机电产品控制系统开发
25. 基于PIC单片机的智能手机充电器
26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究
27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究
28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制
29. 基于微型光谱仪的单片机系统
30. 单片机系统软件构件开发的技术研究
31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制
32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制
33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用
34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制
35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制
36. 基于单片机的数字磁通门传感器
37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究
38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究
39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制
40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪
41. 基于单片机的电机运动控制系统设计
42. Pico专用单片机核的可测性设计研究
43. 基于MCS-51单片机的热量计
44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站
45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究
46. 基于单片机的轮轨力检测
47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现
48. 基于单片机的电液伺服控制系统
49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制
50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究
51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究
52. 单片机控制的后备式方波UPS
53. 提升高职学生单片机应用能力的探究
54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究
55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究
56. 基于单片机的多通道数据采集系统
57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制
58. 基于单片机的红外测油仪的研究
59. 96系列单片机仿真器研究与设计
60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造
61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现
62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制
63. 基于单片机的气体测漏仪的研究
64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器
65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究
66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计
67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计
68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统
69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统
70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究
71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践
72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现
73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统
74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究
75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统
76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究
77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用
78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究
79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究
80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发
81. 基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究
82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究
83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现
84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究
85. 基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现
86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现
87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统
88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现
89. 单片机监测系统在挤压机上的应用
90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用
91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用
92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用
93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发
94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计
95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计
96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发
97. 锅炉的单片机控制系统
98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计
99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制
100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现
101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计
102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现
103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制
104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究
105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计
106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究
107. 单片机实现的寻呼机编码器
108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究
109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究
110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究
111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制
112. PIC单片机在空调中的应用
113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究
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