一阶倒立摆控制新版系统.doc

一阶直线倒立摆系统

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目录

摘要…………………………………………………………………………3
第一部分 单阶倒立摆系统建模 ………………………………4
（一） 对象模型…………………………………………………………4
（二）电动机、驱动器及机械传动装置模型 …………………6
第二部分 单阶倒立摆系统分析…………………………………7
第三部分 单阶倒立摆系统控制…………………………………11
（一）内环控制器设计………………………………………………11
（二） 外环控制器设计 ……………………………………………14
第四部分 单阶倒立摆系统仿真结果…………………………16
系统simulink仿真……………………………………………………16

摘要：
该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”控制，试验中对该系统进行系统仿真，经过对该实物模型理论分析和实物仿真试验研究，有利于实现对独轮自行车机器人有效控制。
控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中平衡控制、火箭发射中垂直度控制、卫星飞行中姿态控制、海上钻井平台稳定控制、飞机安全着陆控制等均包含到倒立摆控制问题。
试验中经过检测小车位置和摆杆摆动角，来合适控制驱动电动机拖动力大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。试验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证基础上，采取双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制数字仿真试验。试验过程包含对系统建模、对系统分析和对系统控制等步骤，最终得出试验结果。仿真试验结果不仅证实了PID方案对系统平衡控制有效性，同时也展示了它们控制品质和特征。

第一部分 单阶倒立摆系统建模
（一） 对象模型
因为此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，所以，依据经典力学牛顿定律即可满足要求。
图1.1所表示，设小车质量为，倒立摆均匀杆质量为，摆长为，摆偏角为，小车位移为，作用在小车上水平方向上力为，为摆杆质心。

图1.1 一阶倒立摆物理模型
依据刚体绕定轴转动动力学微分方程，转动惯量和角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩代数和，则
1） 摆杆绕其重心转动方程为
（1-1）
2）摆杆重心水平运动可描述为
（1-2）
3） 摆杆重心在垂直方向上运动可描述为
（1-3）
4） 小车水平方向运动可描述为
（1-4）
由式（1-2）和式（1-4）得
（1-5）
由式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）得
（1-6）
整理式（1-5）和式（1-6），得
（1-7）
因为摆杆是匀质细杆，所以可求其对于质心转动惯量。所以设细杆摆长为，单位长度质量为，取杆上一个微段，其质量为，则此杆对于质心转动惯量有

杆质量为
所以此杆对于质心转动惯量有
由式（2-20）可见，一阶直线倒立摆系统动力学模型为非线性微分方程组。为了便于应用经典控制理论对该控制系统进行设计，必需将其简化为线性定常系统模型。
若只考虑在其工作点周围（）细微改变，则可近似认为
在这一简化思想下，系统正确模型式（1-7）可简化为

若给定一阶直线倒立摆系统参数为：小车质量；倒摆振子质量；倒摆长度；重力加速度取，则可得到深入简化模型为 (1-8)
上式为系统”微分方程模型”，对其进行拉普拉斯变换可得系统传输函数模型为 （1-9）
（二）电动机、驱动器及机械传动装置模型
假设：选择日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其相关参数以下：
驱动电压：U=0100V 额定功率：=200W
额定转速：n=3000r/min 转动惯量：
额定转矩： 最大转矩：
电磁时间常数：=0.001s 电机时间常数：=0.003s
经传动机构变速后输出拖动力为：F=016N；和其配套驱动器为：MSDA021A1A，控制电压： =（0±10）V。
若忽略电动机空载转矩和系统摩擦，就能够认为驱动器和机械传动装置均为纯百分比步骤，并假设这两个步骤增益分别为和。
对于交流伺服电动机，其传输函数可近似为

因为是小惯性电动机，其时间常数、相对全部很小，这么能够深入将电动机模型近似等效为一个百分比步骤。
总而言之，电动机。驱动器。机械传动装置三个步骤就能够合成为一个百分比步骤

第二部分 单阶倒立摆系统分析
尽管上述数学模型系经 机理建模得出，但其正确性（或正确性）还需利用一定理论方法加以验证，以确保以其为基础仿真试验有效性。
采取仿真试验方法在MATLABSimulink图形仿真环境下进行模型验证试验，其原理图1.2所表示。其中，上半部分为正确模型仿真图，下半部分为简化模型仿真图。

图1.2 模型验证原理图
利用Simulink压缩子系统功效可将验证原理图愈加简捷表示为图1.3所表示形式。
其中，由得到正确模型和简化模型状态方程，可得到Fcn、Fcn1、Fcn2和Fcn3函数形式为
(0.12*u[1]+0.036*sin(u[3])*power(u[2],2)-0.9*sin(u[3])*cos(u[3]))/(0.24-0.09*power(cos(u[3]),2))
(0.3*cos(u[3])*u[1]+0.09*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-6*sin(u[3]))/(0.09*power(cos(u[3]),2)-0.24)
0.8*u[1]-0.6*u[3]
40*u[3]-2.0*u[1]

图1.3 利用子系统封装后框图
假定使倒立摆在（）初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动，摆杆降倒下。下面利用仿真试验来验证正确数学模型这一必需性质。
编制绘图子程序：
% Inverted pendulum
% Model test in open loop
% Singnals recuperation
% 将导入到xy.mat中仿真试验数据读出
load xy.mat
t=signals(1,:); % 读取时间信号
f=signals(2,:); % 读取作用力F信号
x=signals(3,:); % 读取正确模型中小车位置信号
q=signals(4,:); % 读取正确模型中倒立摆摆角信号
xx=signals(5,:); % 读取简化模型中小车位置信号
qq=signals(6,:); % 读取简化模型中倒立摆摆角信号
% Drawing control and x (t) response signals
% 画出在控制力作用下系统响应曲线
% 定义曲线横纵坐标、标题、坐标范围和曲线颜色等特征
figure (1) % 定义第一个图形
hf=line (t,f(:)); % 连接时间-作用力曲线
grid on;
xlabel (‘Time (s)’) % 定义横坐标
ylabel (‘Force （N）’) % 定义纵坐标
axis ([0 1 0 0.12]) % 定义坐标范围
axet=axes (‘position’，get (gca,‘position’),…
‘XAxisLocation’,‘bottom’,…
‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,…
‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’）;
% 定义曲线属性
ht=line (t, x,’color’,’r’,’parent’, axet) ;
% 连接时间-小车位置曲线
ht=line (t, xx,’color’,’r’,’parent’, axet);
% 连接时间-小车速度曲线
ylabel (‘Evolution of the x position (m)’)
% 定义坐标名称
axis ([0 1 0 0.1]) % 定义坐标范围
title (‘Response x and x’’ in the meter to a f (t) pulse of 0.1 N’)
% 定义曲线标题名称
gtext (‘\leftarrow f (t)’), gtext (‘x (t) \rightarrow’), …
gtext(‘\leftarrow x’’ (t)’)
% drawing control and theta (t) response singals
figure (2)
hf=line (t, f (:));
grid on
xlabel (‘Time’)
ylabel (‘Force in N’)
axis ([0 1 0 0.12])
axet=axes (‘Position’, get (gca,’Position’),…
‘XAxisLocation’,’bottom’,…
‘YAxisLocation’,’right’,’Color’,’None’,…
‘XColor’,’k’,’YColor’,’k’);
ht=line (t, q,‘color’,’r’,’parent’,axet);
ht=line (t, qq,’color’,’r’,’parent’,axet);
ylabel (‘Angle evolution (red)’)
axis ([0 1 -0.3 0])
title（‘response \theta(t) and \theta’’(t) in rad to a f(t) pulse of 0.1 N’）
gtext (‘\leftarrow f(t)’),gtext (‘\theta（t）\rightarrow’),gtext (‘\leftarrow \theta’’(t)’)
实施该程序结果图1.4所表示。从中可见，在0.1N冲击力作用下，摆杆倒下（由零逐步增大），小车位置逐步增加，这一结果符合前述试验设计，故能够在一定程度上确定该“一阶倒立摆系统”数学模型是有效。同时，由图中也可看出近似模型在0.8s以前和正确模型很靠近，所以，也能够认为近似模型在一定条件下能够表述原系统模型性质。

图1.4 模型验证仿真结果
第三部分 单阶倒立摆系统控制
因为一阶倒立摆系统位置伺服控制关键是“在确保摆杆不倒条件下，使小车位置可控”。所以，依据负反馈闭环控制原理，将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，则摆角作为外环内一个扰动，能够得到闭环系统有效抑制（实现其直立不倒自动控制）。
剩下问题就是怎样确定控制器（校正装置）结构和参数。
（一）内环控制器设计

图1.5 反馈校正控制系统内环框图
其中，Ks=1.6为伺服电动机和减速机构等效模型
1.控制器选择
内环系统未校正时传输函数为
对于内环反馈控制器可有PD，PI，PID三种可能结构形式，这里，不妨采取绘制多种控制器结构下“系统根轨迹”措施加以分析比较，从之选出一个比较适合控制器结构。多种控制器开环传函传输函数分别为：

在Matlab下输入以下程序用“凑试”方法画根轨迹图：
num=[分子];
den=[分母];
xlabel('Real Axis');
ylabel('Imag Axis');
axis([横、纵坐标范围]);
title('Root Locus');
grid;
rlocus(num,den)
下图为多种控制器下系统根轨迹：

（a） PD （b） PD

（c）PI d） PID
从根轨迹不难发觉，采取PD结构反馈控制器，结构简单且可确保闭环系统稳定。所以，选定反馈控制器结构为PD形式控制器。
2.控制器参数选定
首先暂定。这么能够求出内环传输函数为：

3.系统内环simulink仿真及结果

仿真结果为：

（二） 外环控制器设计

可见，系统开环传输函数可视为一个高阶（4阶）且带有不稳定零点“非最小相位系统”，为了便于设计，需要首先对系统进行部分简化处理。
１.系统外环模型降阶
（1）对内环等效闭环传输函数近似处理

将高次项忽略，有

近似条件可由频率特征导出，即

由（2）得：

（2）对象模型G1(s)近似处理

由（3）得：
由（4）得：
，所以，有

取

再由“经典Ⅱ型”系统Bode图特征（ ）知：

３.用simulink对小车位置在阶跃信号输入下响应进行仿真：
系统框图为：

仿真结果：

倒立摆位置在阶跃信号下响应
第四部分 单阶倒立摆系统仿真结果
系统simulink仿真
连接图以下：

仿真结果为：

倒立摆在阶跃信号下摆杆和小车位置响应
从图中轻易能够看出建立一阶倒立摆控制系统在matlab中能够实现倒立摆要求，能经过电动机牵引机构带动小车移动来控制摆杆和保持平衡。
为了深入验证在不一样摆杆下，该一阶倒立摆控制系统是否还含有鲁棒特征能够分别取摆杆不一样质量和摆长，进行simulink仿真！

由上图可知，建立一阶倒立摆模型在不一样摆长下能实现要求。但摆长不能过长！同理，建立一阶倒立摆模型在不一样质量摆杆下能也实现要求，但一样不能过重！