2023年高二数学竞赛班讲义第五讲组合恒等式.doc

高高二二数学竞赛班二试数学竞赛班二试 第第五五讲讲 组合恒等式组合恒等式 班级班级 姓名姓名 一、知识要点：一、知识要点：数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题经常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的规定。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。1基本的组合恒等式基本的组合恒等式 简朴的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简朴的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有：rn rnnCC；111rrrnnnCCC；11kknnkCnC；rmmr mnrnn mC CC C；0122nnnnnnCCCC；01210.nnnnnnCCCC 2解题中常用方法解题中常用方法 运用基本组合恒等式进行变换；运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明；运用数学归纳法；变换求和指标；运用赋值法进行证明；建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明；构造合理的模型。二、经典例题二、经典例题 例例 1求证：1231232nnnnnnCCCnCn.例例 1证明证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左边0121111112nnnnnnnCnCnCnCn右边 例例 2求和式21nknkk C的值。例例 2 基本思绪基本思绪：将2knk C改写为knk kC，先将knkC用恒等式 3 提取公因式n，然后再将11knkC变形成为11111kknnkCC，而111knkC又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不具有变动指标k了。解解：2111111111111 1nnnnnkkkkknnnnnkkkkkk Ck kCk nCnk CnkC 112111211111nnkkkknnnnkknkCCnnCC 21212121212111nnnnkkkknnnnkkkknnCCn nCnC 2121 221 2nnnn nnn n 例例 3求2004200501kkkC的值。例例 3解解：2004200412200420052005200520050111kkkCCCC 200401122003200420042004200420042004200411CCCCCC 1。例例 4设,m nN，求证：122013313nknmkmkmmnn。例例 4基本思绪基本思绪：由两个连续自然数mk与1mk的积，联想到可化为212m kC，进一步运用 1111rrrrrrrrr krrr kCCCCCC，反复运用基本的组合恒等式 2 即可化简。证明证明：122212012nmmm nkmkmkCCC 22222222231232mmm nmCCCCCCCC 33221123313m nmnCCmmnn 例例 5当mn时，求证110mnrrmnrr mC C 例例 5基本思绪基本思绪：运用基本组合恒等式 4 化简原式左边各项，使得化简后仅有r mn mC中具有变动指标r。证明：证明：显然，当mn时，原式左边11mmmmmmC C 。当mn时，运用基本组合恒等式 4 可得：左边11nnrrmr mmr mnn mnn mr mr mC CCC。只要令rmk，原式即可变为：0011110nn mn mrm kmkmr mmkmknn mnn mnn mr mkkCCCCCC。即原式成立。说明说明：变换求和指标是解决较复杂的组合记数的一种常见技巧，它可以起到简化计算的目的。变换求和指标时，要注意求和指标的上、下限需要同时变换。例例 6求证：21202!22!nknnknCn n。例例 6证明证明：222221222222222001122nnnnkkknknnnnnnnnnnnkkk nk nCCCCCCC 121202222222200222nnnnnnknknnnnnnnkkCCCCCC mnmn 所以221212222002!22,2222!nnnknnknnnnnnkknCCCCn n右边。例例 7求证：222012!nnnnnCCCn n 例例 7基本思绪基本思绪 1：此题若考虑用基本组合恒等式来证明是比较困难的，注意到左端各项恰好是二项展开式中各项系数的平方，考虑构造两个二项展开式。证明证明：由于：01011111,1nnnnnnnnnnnnxCC xC xCCCxxx 显然，111nnxx的展开式中，常数项即为所求证等式的左端。不妨设0 x，将原式变形为：2111111112nnnnnxxxxxxxx将上式展开，其中常数项为2nnC，由此可知，原式成立。基本思绪基本思绪 2：注意到恒等式rn rnnCC，要证的等式的左边可变形为：0110nnnnnnnnnC CC CC C；而等式右边即为：22!2!2!nnnnCn nnnn，因此可以考虑建立适当的组合记数模型来加以证明。证明证明：设袋子中有n个白球，n个红球，现从这2n个小球中随机抽取n个小球，其方法种数为：22!nnnCn n。另一方面，可以当作1n次如下的取球活动：从n个白球中取出r个，再从n个红球中取出nr个，其取法种数为：2,0,1,2,rn rrnnnC CCrn，所以符合题意的取球方法种数是：22201nnnnCCC。因此原式成立。说明说明：本题的两种证明方法均采用了构造思想。构造法是解决竞赛问题的一种常用方法。例例 8求证：nkkknknknC01222.12)1(例例 8【分析】考虑到恒等式12212kknkknkknCCC，【证明】令nkkknknknCa01222,2)1(由于，12212kknkknkknCCC，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(2102)1(21121221212202221212222112222nrrnnrrnrrrnnrrnrkknnkknkkknnkknknkkknknkkknnkkknknknnkkknknknnaCCCkrCCCCCa则令所以 令nknnnnkknknkaabbC01222,2)1(则 .42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222nnnjjjnjnjnnkknnkkknknknnknkknknknnbaCaCCCb又 于是由式得1221112112,4,nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaab即从而推知.这说明an为等差数列，而 a0=1,a1=2，故公差 d=1，且 an=n+1.【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了 an，an1，an2之间的线性关系式，再由 初始条件求得 an.这种运用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.三、巩固练习三、巩固练习 1求证：11mmnnnmCCm。2求证：当n是偶数时，12341112223 2nnnnnnnnnCCCCCC。3求证：1012311112123411nnnnnnnCCCCCnn。（运用111111kknnCCkn）4求1210nknkC的值。（222n）5求证：1nn kkmkmmnknk mC C xxC x。（运用kmmk mnknn mC CC C）6求证：1121.nkknnnnkCCC（运用 2111nnnxxx）7求证：22011.nknkn knmmmkC CC（运用 2111mmmxxx）8求证：011220kkkkkm nmnmnmnmnCC CC CC CC C。9求证：21kmC是奇数，其中1k。10计算：211121nkkknnkC。11求证：21211npnnnpp Cn C。12求证：2212011nkknnnnkCCCn 。13求证：122122021nknnnknkCCnn。