高三数学二轮文专题复习三角与平面向量.doc

2013届高三数学二轮文专题复习：三角与平面向量
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．函数f (x)=2sinxcosx是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
2．点P是函数f(x)＝cos ωx(其中ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是π，则函数f(x)的最小正周期是 (　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
3．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6,则|a×b|等于 (　　)
A．8 B．－8 C．8或－8 　D．6
4．函数y＝2sin，x∈[0，π]的增区间是 (　　)
A. B. C. D.
5． 为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象 (　　)
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
6． △ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若a2－b2＝bc，
sin C＝2sin B，则A＝ (　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
7． 已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是 (　　)

8．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）
9．已知函数f(x)＝2sin x，g(x)＝2sin，直线x＝m与f(x)，g(x)的图象分别交M、N两点，则|MN|的最大值为________．
10．曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 ________.
11．若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为________
12．已知为第三象限的角，,则 .
13．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= , =, 则=___.
14．若，，，，则______.
15．有下列命题：
①函数y＝4cos 2x，x∈不是周期函数；
②函数y＝4cos 2x的图象可由y＝4sin 2x的图象向右平移个单位得到；
③函数y＝4cos(2x＋θ)的图象关于点对称的一个必要不充分条件是
θ＝π＋(k∈Z)；
④函数y＝的最小值为2－4
其中正确命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1．(本题满分14分)

2．(本题满分14分)已设的内角所对的边长分别为，且．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
3．（本题满分14分） 设函数，其中向量，．
（1）若，试求的值；
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（3）当时，的最大值为4，求实数的值．
4．(本题满分14分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
5．(本题满分14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇
出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海
里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的
航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方
向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
6．(本题满分14分)已知函数（，且均为常数），（1）求函数的最小正周期；（2）是否存在常数使得在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2就是在R上的最值，若存在，试求的值，若不存在请说明理由．
2013届高三数学理二轮专题复习：三角与平面向量答案
一、 选择题：CDAC，BADC
二、 填空题：9.; 10..; 11.; 12.; 13.; 14.; 15.①③
三、 解答题：

2、解：（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，则；
（Ⅱ）由得

当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为.
3、解：(1) ==
=

（2）函数的最小正周期.
由（Z）得，
即
（3）时，， ∴，，取最大值
由=1的.
4、解：(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝
sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x) ＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)
＝1，f＝2，
f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.由x0∈，得2x0＋∈
从而cos＝－ ＝－.
所以cos 2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.

5、解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇，则
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋.

∵0<v≤30，∴900－＋≤900，
即－≤0，解得t≥.
又t＝时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航
行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt，
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.
即艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.
又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝.
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时．这样，小艇能以最短时间
与轮船相遇．
证明如下：如图，由(1)得OC＝10，AC＝10，故OC>AC.且对于线段AC上任意点P，有
OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A、C之间 (包
含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10tan θ，OD＝.

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，
所以，＝.由此可得，v＝.又v≤30，故sin(θ＋30°)≥.
从而，30°≤θ≤90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为.
于是，当θ＝30°时， t＝取得最小值，且最小值为.
解法三：(1)同解法一或解法二．
(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：
v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.

①若0<v<30，则由Δ＝360 000＋1 600(v2－900)＝1 600(v2－675)≥0
得v≥15.从而，t＝，v∈[15，30]．
(ⅰ)当t＝时，令x＝，则x∈[0,15)，
t＝＝≥，当且仅当x＝0即v＝15时等号成立．
(ⅱ)当t＝时，同理可得<t≤.
由(ⅰ)(ⅱ)得，当v∈[15，30)时，t>.
②若v＝30，则t＝；
综合①、②可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
6、解：（1）

（其中由下面的两式所确定：）
所以，函数的最小正周期为．
（2） 由（1）可知：的最小值为，所以，．
另外，由在区间上单调递增，可知：在区间上的最小值为，所以，=．解之得：.