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九年级数学教案（下册）26.1二次函数第1课时教学目标1.知识与技能能够表示简单变量间的二次函数关系.理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力.2.过程与方法逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来 表示变量之间关系的体验.3.情感、态度与价值观进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用.教学重点难点1.教学重点二次函数实例分析、二次函数定义的理解2.教学难点从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系.课型与课时新课 第一节课教学手段教案，尺子，粉笔教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（-）创设情境 导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而 导人新课导语二观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）.思考：为何导弹长了眼 睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课.导语三观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？（二）合作交流 解读探究1.用自变量的二次式表示函数关系-1-九年级数学教案(下册)【想一想】正方体的棱长为X,表面积为y,则y=6x2(用含x的代数式表示)圆的面积为S,半径为R,则S=(用含R的代数式表示)【探究1)多边形的对角线d与边数n有什么关系？【思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对 角线？【答案】从多边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，从n个顶点出发，可以作Ln(n-3)2条对角线.即d=L n (n-3).2【点评】思路是从简单到复杂.【易错点】对关系式中L不很理解.2【探究2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产 量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定.y与x之间的关系应怎样表示？【解析】一年后的产量为20(l+x).再过一年后的产量为20(1+x)2.即两年后的产量为20(1+x)2.【答案】y=20(l+x)2【点评】此题必须理解每一年的产量.2.二次函数的定义观察比较以下关系式 1 3y=bx 2；(2)d=-n (n-3)Bp y=n-n；y=20(l+x f 即 y=20 x 2+40 x+202 2 2函数有什么共同点与不同点.共同点：A.等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式B.等式的右边可统一为“a x 2+bx+c”的形式.二次函数：一般地，形如y=a x2+bx+c(a,b,c是常数，a WO)的函数，叫二次函数.【注意】函数y=a x?+bx+c中，a WO是必要条件，切不可忽视.而b,c的值可以为任何实数.定义是关于x的二次整式(切不可把“y=x 2+L+3,也当成二次函数)X(三)应用迁移巩固提高类型之一二次函数定义的判定及其应用例1下列函数是二次函数的有-2-九年级数学教案(下册)2012年 月 日,1 3A.y=8x2+l B.y=2x-3 C.y=3x+D.y=x x【解析】A符合二次函数定义，故它是二次函数.B.是一次函数.C,D都出现分式，故C,D都不是 二次函数.【答案】A【点评】紧扣定义中的两个特征：a WO；a x?+bx+c是整式(二次三项式).变式题 若y=(b-l)x 2+3是二次函数，则bNl.类型之一实际问题中的二次函数例2 一个正方形的边长是12c m.若从中挖去一个长为2x c m,宽为(x+1)c m的小长方形.剩余的部分的 面积为yc m2.(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.(2)当小长方形的长中x的值为2,4时，相应的剩余部分面积是多少？【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积.解：(1)y=122-2x(x+1),即 y=-2x2-2x+144，y是x的二次函数.(2)当x=2,4时,相应的y的值分别为132c m2,104c m2.【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.变式题 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.【分析】S表=S m+2S底解：S M=2jir-r=2jir2,S 底二口小，AS 表=2 S 底+S=2jir2+2jir2=4jir2.【点评】S=Ch=2n r-h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.【分析】将n支球队看作是平面内的n各点(任意三点不在同一直线)，再将任意两点作为线段的端 点连接起来，找出共有多少条线段即可.1 1 2 1解：m=n,(r)-l)，m=n-n.2 2 2【点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。板书设计26.1二次函数(1)-3-九年级数学教案(下册)2012年 月日【探究1【探究2】例1例2探究探究1.二次函数丫=2*2中，当x=l时，y=2,则a=2.【解析】将x=l,y=2,代入y=a x?中，解得a=2.2.已知函数y=(a+2)x?+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是a W-2.【解析】二次函数中二次项系数不能为0.a+2W0,即a W-23.下列函数中是二次函数的是(C)A.y=：+x+l B.y=x2-(x+l)2 C.y=-x2+3x+1 D.y=x2+x 1-2 x 2【分析】只有C满足二次函数的定义1-.4.设y=yy2，yi与一成反比列，y2与x成正比列，则y与x的函数关系是(C)XA.正比列函数 B.反比列函数 C.二次函数 D.一次函数【解析】Yyi与L成反比列，.可设必=乞，即yi=kix(k.#0).x 1X,y2 与 x?成正比列，.可设 y2=k2x?(k20).,.y=yi-y2=kix-k2X2,.y是x的二次函数.布置作业：课后反思:-4-九年级数学教案（下册）2012年 月 日26.1二次函数第2课时教学目标1.知识与技能能够用描点法作出函数y=a x 2的图象，并根据图象认识和理解其性质2.过程与方法经历探索二次函数y=a x 2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感.教学重点难点教学重点函数y=a x?的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数丫=2*2的图象与性质教学难点用描点的方法准确地画出函数y=a x 2的图象，掌握其性质特征.课型，课时新课第二节课教学手段教案，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（-）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学 规律来描述呢？（-）合作交流 解读探究1.函数y=a x?的图象画法及相关名称【探究1画y=x z的图象学生动手实践、尝试画y=x 2的图象-5-九年级数学教案（下册）2012年 月 日教师分析，画图像的一般步骤：列表一描点一连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x 2的图象，如图【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：形状是开口向上的抛物线图象关于y轴对称由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：顶点；对称轴；开口及开口方向.2.函数y=a x?的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=Lx?,y=2x?的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图 26-1-2.比较图中三个抛物线的异同.相同点：顶点相同，其坐标都为（0,0）.对称轴相同，都为y轴开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=f 2,y=-Lx 2,y=-2x?的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）2比较函数y=-x 2,y=-lx2,y=-2x 2的图象.找出它们的异同点.2相同点：形状都是抛物线;顶点相同，其坐标都为（0,0）:对称轴相同，都为y轴;开口方 向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=a x 2的图象特征：-6-九年级数学教案（下册）2012年 月 日（1）二次函数y=a x2的图象是一条抛物线（2）抛物线y=a x?的对称轴是y轴.顶点时原点.a 0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a 0时，开口向上.a 0时，开口向下.|a|越大，开口越小.板书设计26.1二次函数（2）【探究1【探究2】例1例2探究探究L抛物线y=4x z中的开口方向是向上，顶点坐标是（0,0）,对称轴是y轴.抛物线丫=-Lx?-4的开口方向是 向下，顶点坐标是（0,下，对称轴是y轴.2.二次函数丫=2乂2与y=2x?,开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=&【分析】a与-2互为相反数3.在同一坐标系中：y=L/,y=_x 2,y=2x?这三个函数图象开口最大的是：2y=L%2,最小的是y=2x?,开口向下的是y=-x 2.2解：.抛物线的开口最大，抛物线开口最小.2.函数y=-x?中，二次项系数为-10)它的图象只是抛物线的一部分，而 y=x2的图象是一条抛物线.2-10-九年级数学教案（下册）2012年 月 日导语三 比较函数y=x 2与y=x2+l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（-）合作交流 解读探究1.二次函数丫=a*2+0的图象与性质【做一做】在同一坐标系中，画出函数y=x z-l和函数y=x?+l的图象.教师在学生做完以后，可提供如下解答过程.解：先列表【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？用幻灯片展示，将抛物线y=x2向上平移1个单位后抛物线y=x2+l完全重合.观察两个图象中各5个点的特殊位置，在的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从 而可推断出抛物线y=x?与y=x2+l完全重合从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2,y=x?+l的形状、大小 完全相同.【议一议】抛物线y=ax2与 y=a x 2c有何联系？【答案】抛物线y=a x2c的形状与y=a x 2的形状完全相同，只是位置不同.石VH由/Mn3 2 向上平移 2 2 向下平移 2抛物线y=a x 一外单位y=a x+c.y=a x 一淬单位y=a x-c【练一练】教科书P10练习【答案】它们的图象略见下表抛物线开口方向对称轴顶点坐标-11-九年级数学教案(下册)2012年 月 日1 2y=x2向上y轴(0,0)1 2y=x+22向上y轴(0,2)1 2y=x-2 2向上y轴(0,-2)1 2 y=x+k 2向上y轴(0,k)抛物线y=L x 2向上平移k(k0)个单位后抛物线y=lx2+k完全重合.2 2(三)应用迁移巩固提高类型之一函数y=a x 2-的图象特征与性质的运用例1抛物线y=a x2+c与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y-5x2+3,它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a的值，再根据顶点坐标(0,3),可确定c的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=a x?+c与y=-5x?的形状、大小相同，开口方向也相同，.a=5.又其顶点坐标为(0,3).-.c=3./.y=-5x2+3.它是由抛物线y=5x2向上平移3个单位得到的.【点评】解这类题，必须根据二次函数y=a x2+c的图象与性质来解.a确定抛物线的形式及开口方向,c确定顶点的位置.抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.(有时也可以比 较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长)类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=a x?我经过点(-1,2),(0,4),求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点(-1,2),(0,4),那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.a Y I)2+c=2 f a=6-解：由已知条件得，解得 所求解析式为y=6x 2-4.a DO+c=-4 1c=-4【点评】二次函数y=a x 2+c中有两个待定系数a、c,故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列 方程组可求出a、c的值例3已知抛物线y=a x2+c向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2.试求a、c的值【分析】这里a、c值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.-12-九年级数学教案（下册）2012年 月 日解：根据题意知，|a=3,解得 c-2=2 c=4【点评】可根据规律直接求出a、c.板书设计26.1二次函数（3）【探究11【探究2】例1例2探究探究1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标（0,-5）.【分析】根据抛物线y=a x2+c的特征解答即可.2.抛物线y=a x 2在与y=3x?的形状相同，且其顶点坐标为（0,1）,则其表达式 为 y=3x 2+或 y=3x?+L解：,抛物线y=a x?+c与y=3x?的形状相同，故a=3,又,其顶点坐标为（0,1）,.c.，所求抛物线y=3x2+l或y=-3x2+l【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3.抛物线y=-L/+7向下平移10个单位后得到抛物线y=-_L/_32-2解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a和c的正、负情况保持一致.故选择B-13-九年级数学教案（下册）2012年 月 日布置作业课后反思-14-九年级数学教案(下册)2012年 月 日26.1二次函数第4课时教学目标1.知识与技能(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象.(2)能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.2.过程与方法经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数 形结合的数学思想与方法.3.情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.教学重点难点教学重点作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质.教学难点抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解.课型，课时新课第四节课教学手段教案本，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程(-)创设情境导入新课导语一 回忆二次函数y=a x?品目力y=a(x-h)2土k.若将y=a x?向左(或向右)平移h个单位，会得到什么抛物线呢？导语二 小明作出了函数y=3x?与函数y=3x?+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是 什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？-15-九年级数学教案(下册)2012年 月 日导语三回忆(1)抛物线y=2x?,y=2x?+3,y=2x?-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？(2)抛物线y=a x 2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？从而引人新课.(二)合作交流 解读探究1.函数y=a(x-h)2的图象与性质【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-L(x+l)2和函数y=-L(x-l)2的图象.2 2教师可指导以下两方面.(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同.学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品.【想一想】两个函数图象与y=-x 2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？2解：如图26-1-7,函数y=-L(x+l)?图象和y=-L(x-l)2的图象形状大小，开口方向完全一样，只是 2 2位置不同相同.抛物线y=-_(x+l)?的对称轴是直线x=-l,顶点为(T,0),抛物线y=-_ 6-1尸的对称轴是直线x=l,2 2顶点为(1,0).观察图象易知(或用多媒体展示抛物线的移动)抛物线y=-x2向左平移1个单位，能与抛物线2y=-L(X+1)2重合；抛物线y=-Lx?向右平移1个单位，能与抛物线丫=-1&-1)2重合.2 2 2【注意】观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)移动的情况.【归纳】(1)二次函数y=a(x-h)2的图象与丫=2乂2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同.(2)抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴是x=h.(3)抛物线y=a x 2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2,把抛物线y=a x?向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2.2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【做一做】画出函数y=-L(x+l)2-l图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-Lx 2经过 2 2怎样的变换可以得到抛物线y=-(X+1)2-1?2-16-九年级数学教案(下册)2012年 月日教师引导学生在前一题的基础上，补上函数丫=-！&+1)2-1的图象(或制成幻灯片,让学生观察、比较)如图26-1如所示解：图象如图26-1-8抛物线y=-L(x+l户1的开口方向向下、对 2顶点是(-1,T).把抛物线y=-Lx?向下平移1个单位，再向2位，就得到抛物线y=-i(x+l)2-l2【注意】可以改变两次平移顺序，即先向左2称轴是x=-l,左平移1个单向下平移1个单位，再向下平移1个单位，就得到抛物线y=L(x+l)2-l 2【归纳】(1)抛物线y=a(x-h)2+k有如下特征：y=a(x-h)2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0向上h(h,k)a y=a x k向左或右 平移h个单位向左或右 平移h个单位/.2 向上(或下)/i 1 2 i 1y=a(%h)y=a(x 1 h)k【注意】口诀：上加下减，左加右减根据顶点坐标来确定移动的方向与数据.(三)应用迁移巩固提高类型之一 函数y=a(x-h)2+k的图象特征的运用例1填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y=-5x2向下y轴(0,0)-17-九年级数学教案(下册)2012年 月 日【分析】可将各解析式统一为y=a(x-h)2+k的式，再根据图象特征填写.1 2 1-y=-x+52向上y轴(0,5)y=-3(x+4)2向下x=-4(-4,0)y=4(x+2)2-7向上x=-2(-2,-7)解：y=_5x2 y=-5(x-0)2+0y=-x+5 n y=-(x-0)+5 2 2y=-3(x+4)2 n y=-3(x+4)2+0.y=4(x+2)2-7=y=4(x+2)2-7它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别见上表.【点评】解这类型题要将不同形式的解析式统一为y=a(x-hf+k的形式，便于解答.类型之二平移规律的应用例2将抛物线y=-3x 2向右平移2个单位，在向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是()A.y=-3(x-2)2-5 B.y=-3(x+2)2-5 C.y=-3(x+2)2+5 D.y=-3(x-2)2+5【解析】根据平移规律知D正确.【点评】抛物线的移动，主要看顶点位置的移动.类型之三 二次函数y=a(x-hV+k的综合应用例3若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m尸+1的顶点必在第。象限.A.B.C.三 D.四【解析】由直线y=3x+m经过一、三、四象限知，m 0.又顶点坐标为(m,1).抛物线的顶点必在第二象限.【点评】此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别.板书设计26.1二次函数(4)【探究1【探究2】例1例2例3-18-九年级数学教案(下册)2012年 月日探究探究1.二次函数y=L(x-3)2+4的图象可以看作是二次函数y=Lx?图象向右平移3个单位，再向上平移4 2 2 个单位得到的.2.如果二次函数y=a(x-疗+k的对称轴为x=-1,则h=2；如果它的顶点坐标为(-1,-3),贝lj k的 值为z3.3.确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标(学生口答)(1)y=-2(x+3)2+4(2)y=-(x-3)2-l31 0 1 0(3)y=-(x+1)(4)y=-x-75 6解：(1)开口向下，对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,4)(2)开口向下，对称轴为x=3,顶点坐标为(3,-1).(3)开口向下.对称轴为x=T,顶点坐标为(T,0)(4)开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,-7)布置作业课后反思-19-九年级数学教案(下册)2012年 月 日26.1二次函数第5课时教学目标1.知识与技能(1)会画二次函数y=a x?+bx+c的图象，能将一般式化为顶点式.掌握顶点坐标公式，对称轴的求法(2)会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题2.过程与方法经历二次函数y=a x?+bx+c的图象的作法，体会二次函数解析式间的转化，体会求二次函数对称轴和 顶点坐标公式的必要性3.情感、态度与价值观培养学生积极参与的态度，体会二次函数解实际问题的意义，增强数学应用的能力.教学重点难点教学重点二次函数y=a x?+bx+c的图象画法；以及顶点坐标公式的理解和应用.教学难点正确、灵活地运用顶点坐标公式，并能利用它解决实际问题.课型，课时新课第五节课教学手段教案本，尺子，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程(-)创设情境导入新课导语一(1)回忆二次函数y=a(x-h)2+k的图象的特征与性质.(2)指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.y=-2(x+3)2-4 y=l(x-l)2+531(3)你能求出函数y=x?-6x+21的顶点坐标吗？从而引入新课2导语二多媒体演示：桥梁的两根钢缆的实物情境，如图26-1-9所示-20-九年级数学教案(下册)2012年 月日图26-19若告诉大家，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，其表达式为y=0.03x 2-0.9x+10.你能求出钢缆的最低点到桥面的距离吗？(只谈思路，不计算)从而引入新课.导语二 请一个同学画出函数y=(x-l)2+3的图象的草图.思考：你能画出函数y=x2-2x+4的图象 吗？这两个函数有什么关系呢？(二)合作交流 解读探究1.函数y=a x?+bx+c的图象的画法【做一做】，画二次函数y=Lx 2-6x+21的图象.2【思路点拨】先将一般式化成顶点式，再用描点发画出这个函数的图象.解：y=Lx2-6x+21=y=l(x2-12x)+21=y=L(x2-12x+36-36)+212 2 2=_(x-6)2+3 2由此可知此抛物线的顶点为(6,3),对称轴为x=6.列表、描点、连线等工作由学生自主完成.【议一议】(1)列表取值时应注意什么问题？(2)画函数y=a x2+bx+c的图象为何先要将其化为顶点式？解：(1)列表取值时x应以顶点的横坐标为中心，两边对称取值.否则画出的抛物线不很对称，不能反映 这个抛物线的特征.(2)因为化为y=(x-h)2+k的形式后，易找出此抛物线的顶点和对称抽.便于后来列表取值.2.用配方法求抛物线y=a x2+bx+c (a WO)的顶点坐标与对称轴.(教师引导)b c解：y=a x2+bx+c=a(x2+x+)b 2 4a c-b2=a(x+)+-2a 4a-21-九年级数学教案(下册)2012年 月 日.抛物线y=a x2+bx+c的对称抽是x=，顶点坐标是(2,生二L)2a 2a 4a(三)应用迁移巩固提高类型之一用配方法求二次函数y=a x 2+bx+c的图象的顶点坐标例1用配方法，把下列函数写成y=(x-hf+k的形式，并写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(l)y=-x2+6x+l(2)y=-2x2+8x-8【分析】配方法已学过，需按配方的步骤一步一步进行.且在配方时，所加的常数项为一次项系数的 一半的平方，当然也要扣除这一项，使前后变形保持值不变.解：(1)y=-x2+6x+l=-(x2-6x)+1=-(x2-6x+9-9)+1=-(x-3)2+10此抛物线的开口向下，顶点为(3,10),对称抽是x=3(2)y=-2x2+8x-8=2(x2+4x-4)=2(x-2)2.此抛物线的开口向上，顶点为(2,0),对称抽是x=2【点评】配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握.(2)抛物线的顶点坐标可以根 据公式，直接求解.(3)怎样求S的最大值呢？解：S=L(30-L)=-L2+30L(0 L 30)=-(L2-30L)=一(L15)2+225.画山此函教的图象知图26-1-10./.x=15时，场地的面积S最大.(S的最大值为225)【点评】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象 只能是抛物线的一部分变式题已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，-22-九年级数学教案（下册）2012年 月日最大面积是多少？【分析】先求出面积与直角边之间的函数关系，在利用二次函数的顶点坐标求出面积的最大值.解：设直角三角形得一直角边为X,贝IJ,另一边长为8-X；设其面积为S./.S=-x,(8-x)(0 x 8).2配方得 S=-l(x2-8x)2=-(x-4)2+8 2此函数的图象如图26-1-11.当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.【点评】注意图象的画法，结合图象找出最大值.板书设计26.1二次函数（5）【探究1【探究2】例1例2探究探究：1.抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标为（1,-4）,对称轴是x=l.解：y=x2-2x-3=（x-1）2-4.他的顶点坐标为（1,-4）,对称轴是x=l.2.抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=二解：V-=-=-1 2a 2x 2.它的对称轴是X=-l.3.若二次函数y=a x 2+2x+a-l（a WO）的图象如图26-1-12是T-23-所示，则a的值九年级数学教案（下册）2012年 月 日解：.抛物线经过了点（0,0）,A0=a 02+2 0+a2-la=1又抛物线开口向下./.a=-l4.二次函数 y=2x?+bx+c 顶点坐标是（1,-2）,则 b=-4.c=0.【分析】用顶点公式求.解：依题意得|2x2 2，解得I 4x 2=-2布置作业b=-4c=0课后反思-24-九年级数学教案（下册）2012年 月日习题261作业：课后反思:-25-九年级数学教案（下册）2012年 月 日26.2用函数观点看一元二次方程（1）教学目标1、知识与技能理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与X轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。2、过程与方法逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学 生的分析、探索、归纳能力。3、情感、态度与价值观培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。教学重点难点教学重点探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。教学难点 产函数今方程f x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。课型，课时 (),即-(4k+l)2-4X2X(2k2-1)0,解得 k-_.8点评根据交点的个数来确定的正、负是解题关键，故要熟悉它们之间的对应关系。类型之三：根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况-28-九年级数学教案(下册)2012年 月 日例 3：已知抛物线 y=x2+(2k+l)x-k+ko(1)求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点。(2)当k=0,求此抛物线与坐标轴的交点坐标。解析 证明方程x 2+(2k+l)x-k2+k=0有两个不相等的实数根即可。(2)通过解方程，求值即可。解：(1)V=(2k+l)2-4(-k2+k)=8k2+l0,方程x2+(2k+l)x-k2+k=0有两个不相等的实数根.抛物线与x轴总有两个不同的交点。(2)当k=0时，原抛物线y=x?+x.由 x=0,得 y=02+0.由 x2+x=0,得 x i=0,X2=-1。此抛物线与y轴的交点坐标为(0,0),与x轴的交点坐标为(0,0),(-1,0)o点评(1)注意利用值 二次方程a x2+bx+c=0的根的情况 y=a x2+bx+c与x轴交点的个 数。(3)了解抛物线与坐标轴交点的求法。板书设计26.2用函数观点看一元二次方程(1)【探究1【探究2】例1例2例3探究布置作业:课后反思:-29-九年级数学教案（下册）2012年 月 日26.2用函数观点看一元二次方程教学目标1、知识与技能加强对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解。2、过程与方法探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法。3、情感、态度与价值观进一步对一元二次方程根的认识，加深对二次函数图象的意义理解，体会它的实际意义。教学重点难点教学重点理解二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点利用图象近似根的方法。课型，课时久课（第二节课）教学手段教案本，黑板，粉笔教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（-）创设情境，导入新课二次函数 y=a x+bx+c(a WO)图象观察y=3时，自变量X的值为 X=X1 或 X=X2一元二次方程2,ca x+bx+c=3解方程方程的两根为X=X1，X=X2导语一：回忆二次函数与一元二次方程之间的关系。填写下表:-30-九年级数学教案（下册）2012年 月 日导语二：若二次函数y=a x?+bx+c与x轴的两个交点坐标为（2,0），（-3,0）,则方程a x,bx+c W的两所示，你能看好准备，顺利（-）合作交流，解读探究利用二次函数y=a x2+bx+c的图象，求方程a x2+bx+c=0的近似根探究利用函y=x 2-2x-2的图象，求方程X?-2x-2=0的实数根（精确到0.1）。分析（1）用描点法画函数y=x z-2x-2的图象，图象要求尽可能准确。（2）确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程X?-2x-2=0两根的范围。-l Xi 0.5,2.5 X2 3（3）填写下表。（可利用计算器）Q9-0.8了07二冬6Z62.72.82.9 ya 6ia 24*au-0.44-0.44-0.110.240.61 (4)x i 0.7时，y的值最接近于0；X2g2.7时，y的值最接近于0。从而估 解：作函数y=x z-2x-2的图象,如图26-2-10此函数图象与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7；方程 x2-2x-2=0 的实数根为 x i0.7,X2g2.7。点评此题看起来容易，实际上学生不完全理解，做起来有一 师应多指导理清思路。练一练利用函数的图象求方程x2+2x-5=0的近似根。定难度。故教计方程的根。解：函数y=x2+2x-5的图象如图26-2-11所示,方程x2+2x-5=0的两根为x产-3.4,X2心-L 4 可用解方程的方法进行检验近似根是否正确-31-S 26-2-112012年 月日九年级数学教案（下册）x=-1 6 -1 2.449 o x i-3.4,X22一 1.4（三）应用迁移，巩固提高（见全品新学案P15“整合拓展创新”）类型之一：利用函数y=ax2+bx+c的图象，求方程a x 2+bx+c=m的近似解例1：利用函数y=-x?+2x-3的图象，求方程-x2+2x-3=-8 忖 的近似解。解析因为二次函数y=-x+2x-3的函数值为-8时，所对应 匕出同力）3 尸 点的横坐标，即为方程-x2+2x-3=8的近似解。故可通过作出函数图象：一五、!来估算方程的近似根。：；解：作出函数y=-x?+2x-3的图象。如图26-2-12所示。，才 ：根据图象知方程-x2+2x-3=-8的根是抛物线y=-x2+2x-3与.L.直线y=_8的交点的横坐标，左交点的横坐标是-L 2与-L8之间，另一 图26-2-12.个交点的横坐标在3.2与3.8之间，利用计算器探索，填写下表：X-1.3-1.41-I.5!iX3.33.43.5 I,y-7.29-7.76j-8.25j-7.29-7.76-8.25,/.x i=-3.4,X2=T.4为此方程的两个近似根。即x i3.4,x2-l.4O点评这里方程-x2+2x-3=8的根是抛物线y=-x2+2x-3与直线y=-8的交点的横坐标，故要看x为何值x的 值最接近于-8。练习根据例1中的抛物线，你能求出方程-x，2x-3=-5的近似根吗？（x产-0.7,X2心2.7）类型之二；利用函数y=x 2的图象求平方根例2：原创题：画出函数y=x 2的图象，利用图象求 平方根。4,6,8解析先画出图象，再利用图象求方程x?=4,x2=6,们的根即为4,6,8的平方根。26-2-13下列各数的x2=8的根，它据图象知：解：画出函数y=x?的图象，如图26-2-13所示，根x2=4 的两根为 x i=2,X2=2；.4的平方根分别为2；x?=6 的根为 x i2.5,X2仁-2.5；6的平方根约为2.5；-32-九年级数学教案(下册)2012年 月日x2=8 的根为 Xi 2.8,X2-2.8；.8的平方根约为2.8。点评根据图象可求方程的近似根，特殊的图象还可以求平方根、立方根。注意挖掘函数图象的作用。板书设计26.2用函数观点看一元二次方程(2)【探究11【探究2】例1例2探究布置作业:课后反思:-33-九年级数学教案（下册）2012年 月日作业:课后反思:习题26.2-34-九年级数学教案（下册）2012年 月 日26.3实际问题与二次函数（1）教学目标知识与技能能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题 的答案。过程与方法通过探索”计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化 问题的数学模型，并获得解决问题的经验。情感态度与价值观在活动与交流中体会小组合作共有利于探究数学知识，能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大 存储量等问题。教学重点几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。教学难点如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。课型，课时新课（第一节课）教学手段教案本，粉笔，黑板教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（-）创设情境导入新课导语一 在周长为一定值（6米）情况下，如何设计窗户，使其面积最大？引入即可。导语二出示磁盘，介绍磁盘，磁盘的容量怎样设计最大最合理呢？导语三我们可以利用二次函数来解决最大利润问题，了解到二次函数的意义，它还可以解决哪些问 题呢？（二）合作交流解读探究探究（教材P26探究2）学生自主探究阅读教材、思考教材中3个问题，相与交流，探讨答案。-35-九年级数学教案(下册)2012年 月 日师生共同解答(1)磁盘最内磁道的周长为2Tir mm,它上面的存储单元的个数不超过上一.0.015理由：周长不是弧长0.015 mm的整数倍。45-r(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm,所以这张磁盘最多有0.3条蠢越(观察磁道的位置可理解)(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y,则2ti r 45-ry=-x，0.015 0.327T，即 y=-(45r-r)(0 r 45)o0.004545当r=一 时，y最大值=225000tt。245 也就是说当r=mm时，磁盘的存储量最大.2【点评】此问题实质是一个几何问题，周长与弧长间，圆周的个数与半径之间的关系。最后才利用二次函数求其最大值问题.(三)应用迁移 巩固提高类型之一几何图形的面积与二次函数例1某建筑的窗户如图2635所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户 的面积是多少？图 2