Navier-Stokes...entz空间中的正则性准则_曲双红.pdf

2 0 2 3年7月第4 7卷第4期安徽大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fA n h u iU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u l y2 0 2 3V o l.4 7N o.4d o i:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 0-2 1 6 2.2 0 2 3.0 4.0 0 1收稿日期:2 0 2 2-0 1-1 6基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 1 8 0 1 5 2 9);河南省自然科学基金资助项目(2 3 2 3 0 0 4 2 0 1 1 8)作者简介:曲双红(1 9 7 3-),女,河南洛阳人,郑州轻工业大学副教授,E-m a i l:q u s h h z z u l i.e d u.c n.N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则曲双红1,黄依珂1,姬 翔2(1.郑州轻工业大学 数学与信息科学学院,河南 郑州4 5 0 0 0 2;2.广州大学 数学与信息科学学院,广东 广州5 1 0 0 0 6)摘 要:利用N a v i e r-S t o k e s方程的旋转形式和L o r e n t z空间技术,对三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程的解在时空L o r e n t z空间中建立了依赖旋转项的正则性准则.该结果改进了N a v i e r-S t o k e s方程已有的L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则.关键词:N a v i e r-S t o k e s方程;旋转项;正则性;L o r e n t z空间中图分类号:O 2 9;O 3 5 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0-2 1 6 2(2 0 2 3)0 4-0 0 0 1-0 9R e g u l a r i t yc r i t e r i av i ar o t a t i o nf o r mo f t h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s i nL o r e n t z s p a c e sQUS h u a n g h o n g1,HUANGY i k e1,J IX i a n g2(1.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t yo fL i g h t I n d u s t r y,Z h e n g z h o u4 5 0 0 0 2,C h i n a;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dI n f o r m a t i o nS c i e n c e,G u a n g z h o uU n i v e r s i t y,G u a n g z h o u5 1 0 0 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,b y m e a n so fe q u i v a l e n tf o r m o ft h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s,w ed e r i v es o m er e g u l a r i t yc r i t e r i ab a s e do nt h er o t a t i o nt e r mo f t h i ss y s t e mi nL o r e n t zs p a c e s.T h i s i m p r o v e s t h ew e l l k n o w nL a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i nc r i t e r i a.K e y w o r d s:N a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s;r o t a t i o nt e r m;r e g u l a r i t y;L o r e n t zs p a c e s考虑如下经典三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程ut-u+uu+=0,(x,t)RR3(0,),u=0,u|t=0=u0,(1)其中:u(x,t)为流体在(x,t)RR30,)处的速度,为流体的压力,u0(x)为初始速度.三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程(1)是流体力学中的基本动力学方程,其数学研究始于法国科学院院士L e r a y的开创性工作1.在文献1 中,L e r a y证明了当初值属于能量空间时,方程(1)存在整体弱解,该弱解被习惯性地称为L e r a y-H o p f弱解,而L e r a y-H o p f弱解是否正则至今仍是一个公开的问题2-3.研 究L e r a y-H o p f弱 解 的 途 径 之 一 是 给 出 其 正 则 的 充 分 条 件,其 中 的 代 表 性 工 作 是L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则4-7:如果N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解u满足下列两个条件中的任何一个uLp(0,T;Lq(RR3),2p+3q1,q3,=c u r luLp(0,T;Lq(RR3),2p+3q2,q32,(2)则弱解u在(0,T 上是正则的.注意到L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2)是基于L e b e s g u e空间,而L o r e n t z空间比L e b e s g u e空间大且同样满足尺度变换性质f()Lr,s(RRn)=-nrf()Lr,s(RRn).利用热核估计、L o r e n t z空间的性质和能量估计,文献8-1 2 将上述准则(2)改进为uLp,(0,T;Lq,(RR3),uLp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,q3,Lp,(0,T;Lq,(RR3),Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=2,q32,(3)其中:是一个充分小的正数.另一方面,受流体力学中B e l t r a m i流的启发,文献1 3-1 4 利用N a v i e r-S t o k e s方程的旋转形式建立了依赖于旋转项u|和u|u|的正则性准则:如果L e r a y-H o p f弱解满足下列4个条件中的任何一个u|u|Lp(0,T;Lq(RR3),2p+3q=2,32q,u|Lp(0,T;Lq(RR3),2p+3q=1,3q,u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,3q,u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,3q|.对于0p,0q,定义fLp,q()=p0qf*()qpd1q,q0f*()1p,q=,则称所有满足条件fLp,q()的可测函数f构成的集合为L o r e n t z空间Lp,q().易知L e b e s g u e空间Lp()=Lp,q(),且当0q时,L,q()=0.2安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷类似地,对于0p,q,关于时间变量的L o r e n t z空间Lp,q(0,T;X)定义为:fLp,q(0,T;X)当且仅当fLp,q(0,T;X)qpd1q,q0t(0,T:f(t)X1p,q=,其中:映射f:t0,T)f(t)X为定义在区间0,T)上并取值于B a n a c h空间X中的抽象函数.下面列出L o r e n t z空间的一些常用性质:(a)L o r e n t z空间上的H l d e r不等式1 8f gLr,s()C(r1,r2,s1,s2)fLr1,s1()gLr2,s2(),(5)其中:1r=1r1+1r2,1s=1s1+1s2,0r1,r2,s1,s2.(b)L o r e n t z空间的插值性质1 8若0qp0且1q0,r0,则对所有fLq,q0(RRn)Lr,r0(RRn),有fLp,(RRn)C(q,p,r,)fLq,q0(RRn)f1-Lr,r0(RRn),(6)其中:1p=q+1-r.(c)L o r e n t z空间上的C a l d e r n-Z y g m u n d不等式1 9(-)-12fLp,q(RRn)C(n,p,q)fLp,q(RRn),1p,0q.(7)(d)L o r e n t z空间上的S o b o l e v不等式2 0fLp,q(RRn)C(n,s,p,r,q)sfLr,q(RRn),np=nr-s,1rp,0q.(8)(e)L o r e n t z空间上的G a g l i a r d o-N i r e n b e r g不等式2 0:当1p,p2,q,q1,q2,0q,0sn且1p1ns时,有fLp,q(RRn)C(n,q,q1,p,p1,s)(-)s2f/qLp1,q1(RRn)f(q-)/qLp2,q2(RRn),(9)其中:q1+q-q2=1,1p1-sn+(q-)1p2=qp.1.2 两个引理引理11 1 设是定义于闭区间0,T 上的正可测函数.若存在常数0,使得任意00以及几乎处处t0,T,均成立不等式ddt1-1+2,(1 0)其中:非负函数L1,(0,T)满足L1,(0,T)0,则对所有k0,1,b,c01,存在pk0和m i nq,32+bc0qkm a xq,32+bc0,使得2pk+3qk=,pkqk=p1(1-k)q+c0kb.(1 1)2 主要结果3第4期曲双红,等:N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则2.1 两个定理定理1 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(x)L2(RR3)W1,2(RR3)满足不可压缩条件.那么,若存在正常数,使得弱解满足下列两个条件中的任何一个u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 2)u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 3)其中:2p+3q=1,3q,则弱解u(x,t)是N a v i e r-S t o k e s方程(1)在(0,T 上的正则解.注意到u|2u2u+u|,所以该定理中的u|2u2u+可替换为u|.这依然是新的正则性准则,改进了(3),(4)中的对应结果.借助嵌入关系Lp,(0,T)Lp,(0,T)(0)以及L o r e n t z空间Lp,(0,T)范数的绝对连续性,可得推论1.推论1 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(X)(RR3)W1,2(RR3)满足不可压缩条件,若成立u|2u2u+或u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 4)其中:2p+3q=1,3q,0,则弱解u(x,t)在(0,T 上是正则的.根据函数空间的嵌入关系LqLq,(q)以及u|u|可知,该推论改进了(2),(3)中的结果.定理2 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(x)L2(RR3)L3(RR3)满足不可压缩条件.若下列两个条件中的任何一个成立u|u|Lp(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=2,32q3时,对(2 0)右边运用Y o u n g不等式得到RR3(u)2udxCu|2u|2u|+2qq-3Lq,(RR3)u2L2(RR 3)+12+1u2L2(RR 3),将其代入(2 0),并用(2 0)左边的第二项吸收上述不等式右边的第二项,整理得12ddtu2L2(RR 3)+12+1u2L2(RR 3)Cu|2u|2u|+2qq-3Lq,(RR3)u2L2(RR 3).(2 2)5第4期曲双红,等:N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则 根据L o r e n t z空间中的插值不等式(6),在引理2中取a=1,b=63-2,c0=4,再运用L o r e n t z空间中的S o b o l e v不等式(8),得u|2u|2u|+pkLq k,(RR3)Cu|2u|2u|+p1-k()Lq,(RR3)u|2u|2u|+4kL63-2,(RR 3)Cu|2u|2u|+p1-k()Lq,(RR3)u4kL63-2,(RR 3)Cu|2u|2u|+p1-k()Lq,(RR3)u4kL2(RR 3).将不等式(2 0)中的p,q替换为pk,qk,然后将上述估计代入,得ddtu2L2(RR 3)Cu|2u|2u|+pkLq k,(RR3)u2L2(RR 3)Cu|2u|2u|+p1-k()Lq,(RR3)u2(1+2k)L2(RR 3).于是,应用引理1可以得到:如果u|2u|2u|+pkLq k,(RR3)充分小,则有uL(0,T;L2(RR3);再根据经典的S o b o l e v嵌入定理可知:当12时,uL0,T;L3(RR3)().所以u在(0,T上是正则的.(i i)借助于不可压缩条件,得到-u=.因此,由方程1 7()的标准能量估计可知12ddtu2L2(RR3)+2u2L2(RR3)=-RR3uudx=RR3u dx.(2 3)进一步直接计算,有12ddtu2L2(RR3)+2u2L2(RR3)=RR3u dx=RR3u|dx.(2 4)运用L o r e n t z空间中的H l d e r不等式(5),推出RR3u dxRR3u|+|dxCu|+Lq,(RR3)L2qq-2,2(RR 3)2uL2qq-2,2(RR 3).(2 5)接下来,由L o r e n t z空间中的插值不等式(6)和嵌入不等式(8),得L2qq-2,2(RR 3)CuL2qq-2,2(RR 3)Cu3qL6,2(RR 3)u2q-3qL2(RR 3)Cuq-3qL2(RR 3)2u3qL2(RR 3).将其代入(2 5),并与(2 4)结合,得12ddtu2L2(RR 3)+2u2L2(RR 3)Cu|+Lq,(RR3)u2-3qL2(RR 3)2u1+3qL2(RR 3).(2 6)再由Y o u n g不等式,有12ddtu2L2(RR 3)+2u2L2(RR 3)Cu|+2qq-3Lq,(RR3)u2L2(RR 3)+122u2L2(RR 3).6安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷 整理得12ddtu2L2(RR 3)+2u2L2(RR 3)Cu|+2qq-3Lq,(RR3)u2L2qq-2,2(RR3).(2 7)a)当q=3时,可将(2 6)变形为12ddtu2L2(RR 3)+1-Cu|+L3,(RR3)2u2L2(RR 3)0.因为u|+L3,(RR3)充分小,所以12ddtu2L2(RR 3)0,这意味着uL(0,T;L2(RR3).再结合L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2),这就完成了该部分的证明.b)当q3时,在应用引理2时取a=1,b=6,c0=4,同时根据L o r e n t z空间的插值不等式(6)可以得到u|+pkLp k,(RR3)Cu|+p(1-k)Lq,(RR3)u|+4kL6,(RR 3)Cu|+p(1-k)Lq,(RR3)u4kL6,(RR 3)Cu|+p(1-k)Lq,(RR3)u4kL2(RR 3).将不等式(2 7)中的p,q替换为pk,qk,再将上述估计代入后推出ddtu2L2(RR 3)Cu|+p(1-k)Lq,(RR3)u2(1+2k)L2(RR 3).(2 8)此时,可以运用引理1推导出uL(0,T;L2(RR3),类似(i)的证明,结合L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2),可知u在(0,T 上是正则的.2.3 定理2的证明将N a v i e r-S t o k e s方程的等价形式(1 7)左右两端同时乘以u|u|,并利用分部积分和不可压缩条件可得13ddtRR3|u|3dx+RR3|u|2|u|dx+23RR3|u|322dx=RR3(u)u|u|dx-RR3u|u|dx=记为I+I I.由(u)u=0可知I=0,接下来只需对I I进行估计即可.注意到I I中涉及伯努利压力,为此需要先求出伯努利压力所满足的方程.对方程(1 7)两边同时取散度,并利用速度场的散度为0的条件得到=-d i v(u).由L o r e n t z空间上的C a l d e r n-Z y g m u n d不等式(1 7)可知:对任意的1q32时,对(3 3)右边运用Y o u n g不等式,得13ddxRR3u3dx+RR3u2|u|dx+23RR3|u|322dxC u|u|2q2q-3Lq,(RR3)u3L3(RR 3)+18|u|322L2(RR 3).用上述不等式左边的第三项吸收右边的第二项,然后进行整理,得ddtRR3|u|3dxC u|u|2q2q-3Lq,(RR3)u3L3(RR 3).进而由经典的G r o n w a l l不等式,得到u(t)3L3(RR 3)u(0)3L3(RR 3)e x pt0u|u|2q2q-3Lq,(RR3)ds.再依据L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2),即完成了q32情形的证明.b)当q=32时,从(3 3)可得13ddtRR3|u|3dx+RR3u2|u|dx+23RR3|u|322dxC u|u|L32,(RR3)|u|322L2(RR 3).取u|u|L32,(RR3)充分小,有ddtRR3|u3|dx0.对上式两边关于时间变量积分,再根据L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2),即完成了该情形的证明.8安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷参考文献:1 L E R AYJ.S u r l em o u v e m e n t d u n l i q u i d ev i s q u e u xe m p l i s s a n t l s p a c eJ.A c t aM a t h e m a t i c a,1 9 3 4,6 3(1):1 9 3-2 4 8.2 方道元,张挺.三维N a v i e r-S t o k e s方程组解的正则性相关问题的一些探索J.中国科学:数学,2 0 1 8,4 8(1):4 5-7 0.3 张平.数学家将会最终给出N a v i e r-S t o k e s方程的解吗?J.科学通报,2 0 1 8,6 3(1 2):1 0 8 2-1 0 8 7.4 S E R R I NJ.O nt h ei n t e r i o rr e g u l a r i t yo fw e a ks o l u t i o n so ft h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o nsJ.A r c h i v ef o rR a t i o n a lM e c h a n i c sa n dA n a l y s i s,1 9 6 2,9:1 8 7-1 9 5.5 S T R UWE M.O np a r t i a l r e g u l a r i t yr e s u l t s f o r t h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.C o mm u n i c a t i o n so nP u r ea n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,1 9 8 8,4 1(4):4 3 7-4 5 8.6 E S C AUR I A Z A L,S E R E G I N G,S V E R AK V.O nLL3-s o l u t i o n st ot h e N a v i e r-t o k e se q u a t i o n sa n dB a c k w a r du n i q u e n e s sJ.R u s s i a nM a t h e m a t i c a lS u r v e y s,2 0 0 3,5 8(2):2 1 1-2 5 0.7 B E I R AOD AV E I G A H.An e wr e g u l a r i t yc l a s s f o r t h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s i nRRnJ.C h i n e s eA n n a l so fM a t h e m a t i c s:S e r i e sB,1 9 9 5,1 6(4):4 0 7-4 1 2.8 TAKAHA S H IS.O ni n t e r i o rr e g u l a r i t yc r i t e r i af o r w e a ks o l u t i o n so ft h e N a v i e r-S t o k e se q u a t i on sJ.M a n u s c r i p t aM a t h e m a t i c a,1 9 9 0,6 9(1):2 3 7-2 5 4.9 CHE N Z M,P R I C E W G.B l o w-u pr a t ee s t i m a t e sf o rw e a ks o l u t i o n so ft h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.P r o c e e d i n g so f t h eR o y a lS o c i e t yA:M a t h e m a t i c a l,P h y s i c a la n dE n g i n e e r i n gS c i e n c e s,2 0 0 1,4 5 7(2 0 1 5):2 6 2 5-2 6 4 2.1 0 S OHR H.Ar e g u l a r i t yc l a s sf o rt h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n si nL o r e n t zs p a c esJ.J o u r n a lo fE v o l u t i o nE q u a t i o n s,2 0 0 1,1(4):4 4 1-4 6 7.1 1 BO S I A S,P A TA V,R O B I N S ON J.W e a k-P r o d i-S e r r i nt y p er e g u l a r i t yc r i t e r i o nf o rt h e N a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lF l u i dM e c h a n i c s,2 0 1 4,1 6(4):7 2 1-7 2 5.1 2 YUANB.O nr e g u l a r i t yc r i t e r i af o rw e a ks o l u t i o n st ot h em i c r o p o l a rf l u i de q u a t i o n si nL o r e n t zs p ac eJ.P r o c e e d i n g so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,2 0 1 0,1 3 8(6):2 0 2 5-2 0 3 6.1 3 J IX,WAN GY,WE IW.N e wr e g u l a r i t yc r i t e r i ab a s e do np r e s s u r eo rg r a d i e n to fv e l o c i t yi nL o r e n t zs p a c e sf o r t h e3 DN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lF l u i dM e c h a n i c s,2 0 2 0,2 2(1):1-8.1 4 CHA ED.O nt h er e g u l a r i t yc o n d i t i o n so fs u i t a b l ew e a ks o l u t i o n so ft h e3 D N a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lF l u i dM e c h a n i c s,2 0 1 0,1 2(2):1 7 1-1 8 0.1 5 CHA ED,L E EJ.O nt h eg e o m e t r i cr e g u l a r i t yc o n d i t i o n sf o rt h e3 D N a v i e r-S t o k e se q u a t i o n sJ.N o n l i n e a rA n a l y s i s:T h e o r y,M e t h o d sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 7,1 5 1:2 6 5-2 7 3.1 6 L E EJ.N o t e so nt h eg e o m e t r i cr e g u l a r i t yc r i t e r i o no f3 D N a v i e r-S t o k e ss y s t e mJ.J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,2 0 1 2,5 3(7):1-6.1 7 M I AOC,WANGY.R e g u l a r i t yc o n d i t i o n sf o rs u i t a b l ew e a ks o l u t i o n so f t h eN a v i e r-S t o k e ss y s t e mf r o mi t sr o t a t i o nf o r mJ.P a c i f i cJ o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,2 0 1 7,2 8 8(1):1 8 9-2 1 5.1 8 G R A F AKO SL.C l a s s i c a lF o u r i e ra n a l y s i sM.B e r l i n:S p r i n g e r,2 0 0 8.1 9 C AR R I L L OJ,F E R R E I R A L.S e l f-s i m i l a rs o l u t i o n sa n dl a r g et i m ea s y m p t o t i c sf o rt h ed i s s i p a t i v eq u a s i-g e o s t r o p h i ce q u a t i o nJ.M o n a t s h e f t e f rM a t h e m a t i k,2 0 0 7,1 5 1(2):1 1 1-1 4 2.2 0 HA J A I E JH,YUX,Z HA IZ.F r a c t i o n a lG a g l i a r d o-N i r e n b e r ga n dH a r d yi n e q u a l i t i e su n d e rL o r e n t zn o r m sJ.J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o n s,2 0 1 2,3 9 6(2):5 6 9-5 7 7.(责任编辑 朱夜明)9第4期曲双红,等:N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则