初中数学破题致胜微方法巧用旋转60°的旋转1.doc

60°的旋转
例：已知：在△ABC中，．
（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且，，，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．①依题意补全图1；②直接写出的长；
（2）如图2 ，若AB=AC，点P在△ABC外，且，，，求的度数；
（3）如图3，若，点P在△ABC内，且， ，，直接写出的长．

分析：（1）画出旋转后的图形，根据旋转的性质，旋转前后所对应的两个三角形全等，∴△ADB≌△APC，则AD=AP,BD=CP,∠ADB=∠APC,又∠BAC=60°，则旋转角是60°，则∠ADP=60°，∴△ADP为等边三角形，∴∠BDP=120°-60°=90°，DP=AP=3,则BP=5。
（2）同样利用旋转，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，则利用三角形全等性质可得等边△DAP，再利用其性质和勾股定理逆定理可得.
（3）深化应用旋转，虽然此时没有全等，但是可利用2倍关系产生相似三角形，把△APC旋转到AC边到AB边上，并扩大2倍，得到△AMB，进而， △APC∽△AMB，相似比为2，连接MP，得到∠MPA=90°，PM=3,∠PMA=30°，∠PMB=90°,利用勾股定理得BM=4,∴PC=2.
（1）①如图

②=5；
（2）把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，

则△APC≌△ADB，
∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAC=∠DAB，，
∴∠DAP=∠BAC，
∵，∴，
∴△DAP是等边三角形，
∴ PD=3，，
在△DBP中，，
∴，
∴，∴．
（3）=2．
总结：在含60°等边三角形内（外）有一点，分别和三角形三个顶点相连，对于所形成的三角线段、与一边所形成的角这四个条件往往知三求一，暗含着旋转转移这几条边的思路提示，常找共端点的等线段切入旋转，如果是含60°直角三角形内一点，边是倍数关系的话，常考虑60°边处的旋转加倍数关系的位似变换
练习：1. 如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P＇AB.
(1) △APP＇的形状是_______;
(2) 求∠APB的度数.
2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.点P在△ABC内，且PA=3，PB=5,PC=2,则∠APC的度数为_____,△ABC的面积为_____.

答案：1.解：（1）等边三角形
（2）∵△APP＇为等边三角形，∴PP＇=AP=6, ∠APP＇=60°，∵将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P＇AB
∴P＇B=PC=10，
在△P＇BP中，P＇B=10，BP=8，P＇P=6，BP2+P＇P2= P＇B2，∴△P＇BP为直角三角形，∠BP P＇=90°，∴∠APB=∠AP P＇+ ∠BP P＇=150°.
2.分析：如图，旋转△APC，使得AC落在AB上，然后对旋转后的图形位似变化使位似比为2，得到△ABQ，且△ABQ∽ △ACP，可得△ABQ与 △ACP均为直角三角形，根据直角三角形的性质可求得△ABC的面积.
答案：120°