五年级数学上册方程教学设计冀教版.docx

第八单元 方程 教材分析 方程是数学课程标准数与代数中“式与方程”部分的内容，是表示等量关系的一种模式，从方程定义看出，有两个要点，一个是等式，一个是未知数，二者缺一不可 。为了有利于方程概念的建立和等式的性质的理解教学时借助天平是必要的。让学生在天平平衡的直观环境中体会方程的意义和等式的性质，符合学生的身心特点，也为解方程及运用方程解决实际问题奠定了基础。找出等量关系是用方程解决实际问题的关键，教材创设了多方面的问题情境，使学生通过对多个实例的讨论，分析、找出等量关系进而列出方程，体会方程的作用，产生积极的学习欲望。 教学目标 1.通过具体情境，了解等式和方程的意义，会用方程表示简单情景中的等量关系。 2.理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程，会列方程解决一些简单的应用题。 3.在解方程的过程中，能进行有调理的思考，能对每一步计算和结论的合理性作出有说服力的说明。 4.感受用方程解决问题的价值，认识到许多实际问题可以借助解方程的方法来解决，获得自主解决问题的成功体验，增强学习数学的自信心。 重点、难点 重点：会用等式的性质解简单的方程，会列方程解决一些简单的应用题。 难点：.在解方程的过程中，能进行有调理的思考，认识到许多实际问题可以借助解方程的方法来解决。 教学建议 本单元是在学生已经完成整数、小数的认识及其四则运算的学习，积累了较多的数量关系和知识，并学会用字母表示数的基础上教学的，方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力。同时这部分内容也是学生进一步学习数学和其他学科的重要基础。在教学中按照认识方程-理解等式的性质-用等式的性质解方程-列方程解简单应用题的顺序组织教学，这样循序渐进的组织教学，条理清楚，结果合理，有利于学生通过自主探索合作交流理解方程的含义，逐步领悟并掌握方程的思想。 课时安排 本单元计划用8课时完成教学计划 课题 课时 方程 1课时 等式的性质 1课时 解方程（1） 1课时 解方程（2） 1课时 列方程解决问题（1） 1课时 列方程解决问题（2） 1课时 列方程解决问题（3） 1课时 整理和复习 1课时第一课时 方程 教学内容： 冀教版小学数学五年级上册第79、80页方程。 教学提示： 方程的意义对学生来说是一节全新的概念课,让学生用一种全新的思维方式去思考问题,拓展了学生思维的空间,是数学思想方法认识上的一次飞跃.方程的意义是学生学了四年的算术知识,及初步接触了一点代数知识(如用字母表示数)的基础上进行学习的,同时也是学习解方程的基础,是渗透用方程表示数量关系式的一个突破口,是今后用方程解决实际问题的一块奠基石。 教学目标： 1、 知识与技能：初步了解方程的意义，理解方程的概念和等式性质，感受方程思想。使学生经历从生活情景到方程概念的建立过程，体会方程及等式性质是刻画现实世界的数学模型。 2、 过程与方法：会用方程表示生活中的等量关系。 3、 情感态度与价值观：通过自主探究，合作交流等数学活动，激发学生的兴趣，培养学生独立自主的成就感以及合作交流的团队精神。 重点、难点： 教学重点：经历从现实问题情境中抽象出方程的过程，理解方程的本质。 教学难点：理解方程的意义。 教学准备： 教具准备：多媒体课件。 学具准备：天平,实物若干。 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 创设情境： 师：同学们，你们玩过跷跷板吗？ 生：玩过。 师：那么今天我们就利用跷跷板的原理来学习新知识方程。 (揭示并板书课题 ：方程) 【设计意图：通过学生经常玩跷跷板这件事，来激发学生的学习兴趣，使学生在轻松、愉快的学习环境中初步感知方程的含义】 二、 合作学习，探究新知 1、看图列式。 师：其实在我们的学习中还有一种仪器，它和跷跷板很相似是什么？ 生：天平。 师：关于天平，你知道些什么？ 生：可以看出哪个物体重哪个物体轻。 生：天平的指针如果指向中间，说明天平平衡。 师：天平平衡说明什么？ 生：说明天平两边物体的质量相等。 师：（出示课件）请同学们逐个观察天平示意图，用式子表示天平两边的数量关系。说一说这些式子可以怎样分类。 小组讨论，全班交流。 2、认识方程。 师：大家是怎样分的？ 生：我按天平平衡和不平衡把算式分为两类。平衡的有20+30=50，30+x=80，2x=100；不平衡的有x30，50”或“30，503 17- 8=9 8x=0 18x=2 2、用方程表示下面的数量关系。 （1）x加上35等于91。 （2）x的3倍等于57。 （3）x减3的差是6。 （4）7.8除以x等于1.3 答案：1、方程有：4+3x=10 ，8x=0 ，18x=2 2、（1）x+35=91，（2）3 x=57，（3）x-3=6，（4）7.8x=1.3 【设计意图：真正让学生理解方程的含义】 四、达标反馈 1、下面哪些是方程，是方程的它后面打上（） （1）+356 ( ) （2）y16 ( ) （3）3135 （） （4）36440（） 2、列出方程： （1）、煤场上午运来煤1.5吨，下午又运来了一些，一天共运来煤4.3吨，下午运来多少吨? （2）、三个连续的奇数的和是57，中间的数是M，你能列求M的值的方程吗? 答案：1、（3），2、（1）1.5+=4.3,(2) （M-2）+M+（M+2）=57 五、课堂小结 师：同学们，你们这节课有什么收获？ 生：我知道用“=”号来表示相等关系的式子叫做等式。 生：我知道方程是含有未知数的等式。 生：我知道等式和方程的关系。方程一定是等式，等式不一定是方程。 【设计意图：对本节课的内容作一次整体回顾,让学生对本节课的新知识进行一次梳理,深化知识体系,领悟知识要点,体验探索新知识的喜悦,获得成功感】 六、布置作业 教材第80页练一练1-3题。 答案：教材1、32+=57，+11=39，3+4=40 教材2、（1）5=40，（2）2+2.5=11.9 教材3、（1）+42=56，（2）9.6=8，（3）5-21=14，（4）6+10=20.8 板书设计 方程 1、 等式 不等式 20+30=50， x30， 30+x=80 50x+30 2x=100 2、含有未知数的等式叫做方程。 3、教学反思 本节课的教学重点是让学生掌握什么是等式什么是方程，以及等式与方程之间的关系。我在教学中也准确把握了这一点，依次教学了这三个知识点。这三个知识点看上去也很简单，如果做练习应该不会出什么错，可是课后练习我发现这类问题有的学生还是会出错。课后，我反思在教学概念知识时，不仅要教学概念本质内容，还要抓住概念现象对学生进行训练，这样，更容易和轻松的做好练习。 教学资料包。 （一）教学资源包 等式的分类 等式分为三类： 1、恒等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母无论取什么值，都能是两边的值相等。例如：3+5=8，x+ x =2 x，都是恒等式。 2、条件等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母只有取某些值时，等号两边的值才能相等。这样的等式叫做条件等式。如2 x=4，只有当x=2时，等号两边的值才能相等，所以是条件等式。 3、矛盾等式。在形式上用等号连接的式子，但实质上无法使等号两边的值相等。这样的等式叫做矛盾等式。例如；a+1=a+2，就是矛盾等式。 （二）资料链接 数学家的故事 陈景润（19331966）中国数学家、中国科学院院士。陈景润出生在一个小职员的家庭，上有哥姐、下有弟妹，排行第三。因为家里孩子多，父亲收入微薄，家庭生活非常拮据。因此，陈景润一出生便似乎成为父母的累赘，一个自认为是不受欢迎的人。上学后，由于瘦小体弱，常受人欺负。这种特殊的生活境况，把他塑造成了一个极为内向、不善言谈的人，加上对数学的痴恋，更使他养成了独来独往、独自闭门思考的习惯，因此竟被别人认为是一个 “怪人”。陈景润毕生后选择研究数学这条异常艰辛的人生道路，与沈元教授有关。在他那里，陈景润第一次知道了哥德巴赫猜想，也就是从那里，陈景润从一刻起，他就立志去摘取那颗数学皇冠上的明珠。1953年，他毕业于厦门大学，留校在图书馆工作，但始终没有忘记哥德巴赫猜想，他把数学论文寄给华罗庚教授，华罗庚阅后非常赏识他的才华，把他调到中国科学院数学研究所当实习研究员，从此便有幸在华罗庚的指导下，向哥德巴赫猜想进军。1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上空-陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的1+2；1972年2月，他完成了对1+2证明的修改。令人难以置信的是，外国数学家在证明1+3时用了大型高速计算机，而陈景润却完全靠纸、笔和头颅。如果这令人费解的话，那么他单为简化1+2这一证明就用去的6 麻袋稿纸，则足以说明问题了。1973年，他发表的著名的陈氏定理，被誉为筛法的光辉顶点。 对于陈景润的成就，一位著名的外国数学家曾敬佩和感慨地誉：他移动了群山！第二课时 等式的性质 教学内容： 冀教版小学数学五年级上册第8182页等式的性质。 教学提示： 等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的。它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。同时培养学生数学思维能力。 教学目标： 1、知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。 2、过程与方法：在用算式表示实验结果、讨论、归纳等活动中，经历探索等式基本性质的过程。 3、情感态度与价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。 重点、难点： 教学重点：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。 教学难点：抽象归纳出等式的基本性质。 教学准备： 天平、砝码、多媒体课件。 教学过程： 一、复习导入。 师：上一节课，我们学习了等式，你们都知道哪些等式？ 师：这些等式有什么性质呢？这一节课，我们就来探究一下等式的性质。（板书课题“等式的性质”） 【设计意图：通过对旧知识的复习寻找新知识的生长点，引出了本课内容，激发学生的探索欲望】 二、自主探索，合作交流 活动一：学习等式的加减性质 师：请看，这是什么？ 生：天平。 师：当天平的左边和右边保持平衡时，说明了什么？ 生：左右两边重量相等。 师：现在我们在天平的左右两盘里放入物品使天平平衡。 学生一边看一边做实验。 师：我们把左边物体的质量用x表示，右边物体的质量用y表示。那么这一过程可以如何表示？ 生：用x=y表示。 师：两边分别同时放上砝码，天平还能保持平衡吗？试一试。 生：两边分别同时放上相同质量的砝码，天平还能保持平衡。 师：谁能用式子把你们组的实验结果表示？ 生：x+50=y+50 生：x+10=y+10 先合作、交流 ，后找多名学生归纳规律，在学生都理解后教师出示：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 【设计意图：这一环节内容较简单，放手让学生通过实验和回答提出的问题来总结出结论，充分发挥学生的主体地位】 活动二：学习等式的乘除性质 师：猜一猜：如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗？ 生：天平能保持平衡。 师：为什么？ 生：因为同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，所以天平还保持平衡。 师：下面我们验证一下他说的有没有道理。 师出示教材第82页的课件演示。 师：谁来说一说实验操作的过程和结果。 生：天平的左边放了1个质量为x克的砝码，右边放了1个质量为10克的砝码。算式为：x=10 生：天平的左边又放了4个质量为x克的砝码，右边又放了4个质量为10克的砝码，天平仍然平衡。 师：谁能用一个式子表示天平两边的数量关系？ 生：5x=510 师：观察我们写出的两个等式，你能用一句话概括它们的关系吗？ 生：等式x=10左边扩大到原来的5倍，右边也扩大到原来的5倍，等式仍成立。 生：等式x=10左右两边同时乘5，等式仍成立。 生：等式的两边同时乘同一个数，等式仍成立。 师：等式的两边同时乘同一个数，等式仍成立。这也是等式的一条性质。那么等式的两边同时除以同一个数（0除外），结果会怎样？ 生：等式仍然成立。 师：我们一起观察实验。 课件演示天平左边放了6个质量为x克的砝码，右边放了6个质量为10克的砝码。 师：根据实验，谁能写出一个等式？ 生：6x=610 师：接着看下面的实验。课件演示天平左边拿走3个质量为x克的砝码，右边拿走3个质量为10克的砝码。 师：观察后，你发现了什么？ 生：天平左边拿走3个质量为x克的砝码，右边拿走3个质量为10克的砝码， 天平仍然平衡。 师：谁能写出一个等式，表示天平两边数量关系。 生：3x=310 师：观察我们写出的两个等式，说一说它们是怎么变化的？小组讨论。 生：等式6x=610左右两边同时除以2，就变成了3x=310。 生：等式6x=610左右两边分别除以2，就变成了3x=310。 师：谁能说一说等式的两边怎么变化，等式仍然成立。 生：等式的两边同时除以同一个数，等式仍成立。 生：等式的两边同时除以同一个数（0除外），等式仍成立。 师：那种说法准确。 生：第二种。因为0不能做除数。 师总结：等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍成立。 【设计意图：通过学生的猜测、观察、比较、讨论，让学生自己发现结果，从而总结出等式的第二条性质】 三、巩固新知 填一填。（a、b均不为0） 1、 如果x+a=b,那么x+aa=b 2、 如果xa=b,那么xa+a=b 3、 如果ax=b,那么a xa=b 4、 如果xa =b,那么xaa=b 答案：1、a，2、+a，3、a，4、a 四、达标反馈 1、.等式的两边同时加上或减去（ ），等式仍然成立。 2、等式的两边同时乘或除以（ ），等式仍成立。 3、因为4x5=12，所以4x56=12（ ）。 4、5X=60 ，X=60（ ）。 5、2 x+32=96 ，2 x+32-32=96-（ ）。 答案：1、同一个数，2、同一个数（0除外），3、6， 4、5， 5、32 五、课堂小结 师：通过刚才的学习和练习，孩子们对等式的性质已经掌握，让我们再一起来看一下： 什么是等式的性质？ 生：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍成立。 师：学习等式的性质，其实也是为我们后面学习解方程奠定基础。 六、布置作业 1、教材第82页练一练。 2、4个判断题： （1）因为5+5=10，所以(5+5)+2=10+3 。( ） （2）如果5x=10，则5x+5=10-5 。( ） （3）如果a=b,则a乘3,b扩大2倍,等式仍然成立。( ） （4）如果a=b,则a乘3,b除以3,等式仍然成立。（ ） 答案：1、（1）-94，（2）+42，（3）4，（4）15， 2、（1），（2），（3），（4）， 板书设计 等式的基本性质 等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。 教学反思 等式的性质分成两部分进行教学。第一部分教学等式的加减性质：既等式两边同加同减的问题，第二部分教学等式的乘除性质：既等式左右两边同时乘或除以的问题。第一部分通过学生的实验总结得到。第二部分通过观察课件及，通过一系列问题引导学生，在这个过程中通过板书进行了整理，学生得出规律没有费很大的力气。 这一节课不仅要学生总结出等式的性质一这个规律，更要在得出规律的过程中，发展学生抽象概括的能力，培养学生把生活中的表象概括，归纳，抽象成数学语言的能力。 教学资料包。 以“规”、“矩”度天下之方圆 山东省嘉祥县一座古建筑石室造像中,有两位古代神化中我们远古祖先的形象,一位是伏羲,一位是女娲.伏羲手中物体就是规,与圆规相似；女娲手中物体叫矩,呈直角拐尺形。 第三课时 解方程（1） 教学内容： 冀教版小学数学五年级上册第8384页解方程（1）。 教学提示： 1、这节课是解简易方程的第一课时，是在学生学了四则运算及四则运算各部分之间的关系和学生已具有的初步的代数知识（如:用字母表示数，求未知数x）的基础上进行教学。 2、这节课为后面学习列方程解应用题做了准备，为后面学习分数应用题、几何初步知识、比例等内容时要直接运用，这节课是教材中必不可少的内容，是本章节的重点内容之一。 教学目标： 1、知识与技能：使学生初步理解“方程的解”、“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别，并能正确运用。 2、过程与方法：初步理解并掌握等式的基本性质，能用等式的性质正确解简易方程，如x+a=b,x-a=b。 3、情感态度与价值观：培养学生初步的代数思想,感受简易方程与现实生活的密切联系。 重点、难点： 教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 教学难点：理解形如ax =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。 教学准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、复习铺垫 1、同学们我们已经学了方程的意义，你还记得什么叫方程吗？ 2、你能判断下面哪些是方程吗？说说你的判断理由。 (1)x24=73 (2)4x36+17 (3)72=x-16 (4)x+85 今天我们将利用等式的性质解决问题-解方程（1） 【设计意图：先通过对前面所学知识的回顾，为下面的学习创设良好的问题情境，使学生兴趣盎然的投入到学习活动中去 】 二、探究新知 1、课件出示例1。 学生独立学习例1的有关内容。 【设计意图：给足够的时间让学生学习，让学生发现】 师：一顶帽子x元，一件上衣58元，一共用了79元。根据图意列一个方程。 生：X+58=79 师：X+58=79这个方程怎么解呢？ 生：利用加减法的关系：X=79-58 生：利用等式的性质，在方程两边同时减去一个58，就得到X=21 师：方程左右两边为什么同时减58？ 生：使方程左右两边只剩X。 生：方程左右两边同时减58，使方程左边只剩X，方程左右两边相等。 板书：解：X+58=79 X+58-58=79-58方程两边同时减去58 X=21 师：“方程左右两边同时减58，使方程左边只剩X，方程左右两边相等。”就是解这个方程的方法。 师：这个方程会解。我们怎么知道X=21一定满足这个方程呢？ 生：验算。 师：对了，验算方法是什么？ 生：将X=58代入原方程，看方程的左边是否等于方程的右边。 板书：验算：方程的左边 = X+58 =79 =方程的右边 师：以后解方程时，要求检验的，要写出检验过程；没有要求检验的，要进行口头检验，要养成口头检验的习惯。力求计算准确。 【设计的意图：自学思考汇报交流既有利于每个学生的自主探索，保证个性发展，也有利于教师考察学生思维的合理性和灵活性，考察学生是否能用清晰的数学语言表达自己的观点】 师：使方程左右两边相等的未知数的值 ，叫做方程的解。如X=21是方程X+58=79的解。求方程的解的过程叫做解方程。 师：谁来说说你想法？ 生：“解方程”是指演算过程 生：“方程的解”是指未知数的值，这个值有一个前提条件必须使这个方程左右两边相等。 师：“方程的解”和“解方程”的两个解有什么不同？ 生：“方程的解”的解，它是一个数值。“解方程”的解，它是一个演变过程。 【设计意图：通过自主学习、组内交流、合作，达到培养学生自主、互助的精神】 2、课件出示例2。 学生独立思考，组内交流方法，学生板演。 学生板书：解：3X=438 3X3=4383方程两边同时除以3 X=146 教师引导学生讨论：方程两边为什么同时除以3？X=146是不是方程的解？ 学生认识：（1）方程两边同时除以3，利用的是等式的性质，即方程的两边同时除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。 （2）把X=146代入方程进行检验，方程的左边=1463=438=方程的右边，所以是方程的解。 三、巩固新知。 1、教材第84页试一试。（先让学生独立完成，在全班订正。提示学生注意解题格式。） 2、教材第84页练一练1题。（学生自己计算等号两边的值，并进行比较。） 答案：1、略，2、（1）x=24，（2）x=17.5，（3）x=2，（4）x=98 四、达标反馈 1、判断题 A. 3是方程5X=15的解。（ ） B. X=2是方程5X=15的解。（ ） 2、 填空题 X+3.2=4.6 X+3.2（ ）=4.6（ ） X=（ ） 3、教材第84页练一练2题。 答案：1、，2、X+3.2-3.2=4.6-3.2，X=1.4，3、39+ X=98，X=59， 5 X=180，X=36 五、课堂小结 师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？ 生：解方程时是根据等式的性质来解。 生：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 生：求方程解的过程叫做解方程。 生：想知道方程的解对不对可以代入原方程进行检验，方程左右两边相等是方程的解。否则不是。 师：今天有这么多收获真为你们高兴。 六、布置作业 1、判断。 （1）含有未知数的等式叫做方程。-（ ） （2）x8是方程。-（ ） （3）因为2=22，所以a=aa。-（ ） （4）方程一定是等式。-（ ） 2、教材第84页练一练3、4题。 答案：1、，2、教材3、X=39，X=44，X=1.3，X=3.6，X=50，X=0.2，教材4、X-39=26，X=65；6 X=96，X=16（解题过程略） 板书设计： 解方程（1） 例1、解：X+58=79 X+58-58=79-58方程两边同时减去58 X=21 验算：方程的左边 = X+58 =79 =方程的右边 所以X=21是方程的解。 例2、解：3X=438 3X3=4383方程两边同时除以3 X=146 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。 教学反思： 在教学的例1过程中，先让学生自己寻找解决方法，再重点突出 “等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立这个规律，不断对孩子们进行潜移默化地渗透，促使绝大部分的学生都能灵活地运用此规律来解方程。例2主要以学生自学为主，培养他们利用知识的能力。从而，我惊喜地发现孩子们的学习活动是那么的有滋有味，进而使我很顺利地就完成了本课的教学任务。 教学资料包。 （一）教学精彩片段 一、 创设情境，生成问题 同学们，还记得上节课我们一起玩过的天平游戏吗？谁来说说你从中获得了什么知识？（引导学生回忆等式的性质即天平平衡原理）。同学们在游戏中的收获可真不少，还想不想玩游戏？（想）好，现在我们就一起玩个猜球游戏： 师出示一个不透明的乒乓球盒，让学生猜里面有几个球？（学生可以任意猜） 师：盒子里面有几个球，1个？2个？.你能准确说出盒子里有几个吗？ 生：不能！ 师引导学生可以用字母X来表示球的个数。 师：要想准确知道有几个球，再给同学们一些信息。（师课件出示天平左边一个不透明盒子和3个球，右边透明盒子里有9个球，天平平衡） 设问：能用一个方程来表示吗？（板书X+3=9） 师：现在你知道X的值是多少吗？ （设计意图：先通过回味上节课的天平游戏旨在对等式的性质即天平平衡原理作必要的知识回顾，同时自然而然的引出猜球游戏，并在游戏中生疑，层层设问，步步为营，为下面的学习创设良好的问题情境，使学生兴趣盎然的投入到学习活动中去。） （二）教学资源包 周瑜的年龄 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十比个位正小三，个位六倍与寿符。 哪位学子算的快，多少年华属周瑜。 依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为X，则个位数字为（X+3），由个位6倍与寿符可列方程得6（X+3）=10 X+（X+3），解得X=3，所以周瑜的年龄是36岁。 （三）资料链接 田忌赛马 史记中有这样一个故事：有一天，齐王要田忌和他赛马，规定每个人从自己的上、中、下三等马中各选一匹来赛；并规定，每有一匹马来比赛；并约定，每有一匹马取胜可获千两黄金，每有一匹马落后要付千两黄金。 当时，齐王的每一等次的马比田忌同样等次的马都要强，因而，如果田忌用自己的上等马与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的中等马比，用自己的下等马与齐王的下等马比，则田忌要输三次，因而要输黄金三千两。但是结果，田忌没有输，反而赢了一千两黄金。这是怎么回事呢？ 原来，在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意，让田忌用自己的下等马去与齐王的上等马比，用自己的上等马与齐王的中等马比，用自己的中等马与齐王的下等马比。田忌的下等马当然会输，但是上等马和中等马都赢了。因而田忌不仅没有输掉黄金三千两，还赢了黄金一千两。 这个故事与上一段老鼠逃跑的策略问题都表明，在有双方参加的竞赛或斗争中，策略是很重要的。采用的策略适当，就有可能在似乎一定会失败的情况下取得胜利的结果。 研究这种竞赛策略的数学分支，叫做博弈论，也叫对策论；它是运筹学中的一部分内容。20 20