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13.1 轴对称 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共15小题） 1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ） A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 3．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（ ） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 5．下列说法中错误的是（ ） A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形全等 C．面积相等的两个四边形对称 D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合 6．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ） A． B． C． D． 7．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形 8．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（ ） A．50° B．70° C．75° D．80° 10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ） A．90° B．95° C．100° D．105° 11．如图所示，△ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周长是（ ） A．11 B．14 C．15 D．20 12．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 13．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（ ） A． B． C． D． 14．如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 16．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ． 17．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为5cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 19．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为 ． 20．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ． 21．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN= ． 22．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ． 23．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论： （1）AB∥CD；（2）AB=BC；（3）BD平分∠ABC；（4）AO=CO． 其中正确的有 （填序号）． 三．解答题（共4小题） 24．已知如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE． （1）求∠AEC的度数； （2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．
25．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC=5，求△ADE的周长． （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．
26．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连结PM，PN，如果∠PMO=33°，∠PNO=70°，求∠QPN的度数．
27．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点P为边BC上的一点，BC=3BP，且∠PAB=15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP=∠CAH．
参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1． 解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 2． 解：五角星的对称轴共有5条， 故选：C． 3． 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 4． 解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．D错误； 故选：D． 5． 解：A、B、D都正确； C、面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，错误． 故选：C． 6． 解：观察选项可得：只有C是轴对称图形． 故选：C． 7． 解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形． 故选：A． 8． 解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 9． 解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC�∠DAC=70°， 故选：B． 10． 解：∵CD=AC，∠A=50°， ∴∠ADC=∠A=50°， 根据题意得：MN是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， ∴∠BCD=∠B， ∴∠B= ∠ADC=25°， ∴∠ACB=180°�∠A�∠B=105°． 故选：D． 11． 解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14， 故选：B． 12． 解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05． 故选：A． 13． 解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子． 故选：C． 14． 解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F． ∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B， ∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB， ∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°， ∴∠OAB=∠OBA= （180°�∠AOB）=40°． 设∠COP=α，∠DOP=β，则α+β=50°． ∵OA=OP，∠AOP=2α， ∴∠OPA=∠OAP= （180°�2α）=90°�α， ∵∠OAB=40°， ∴∠CPA=∠CAP=∠OAP�∠OAB=50°�α． 同理，∠DPB=50°�β． ∵∠EPF=360°�∠EOF�∠OEP�∠OFP=360°�50°�90°�90°=130°， ∴∠CPD=∠EPF�（∠CPA+∠DPB）=130°�（50°�α+50°�β）=30°+（α+β）=80°． 故选：B． 15． 解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'， ∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′， ∴AC=A'C，BC=B'C，∠ACB=∠A'CB'，AB垂直平分CC'， ∴△ABC≌△A'B'C（SAS）， ∴S△ABC=S△A'B'C，∠A=∠AA'B'，AB=A'B'， ∴AB∥A'B'， ∴CD⊥A'B'， ∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD=CE， ∴CD=CE=EC'， ∴S△A'B'C= S△A'B'C'， ∴S△ABC= S△A'B'C'， ∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为 ， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 16． 解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 17． 解：如图所示， ∵点O关于AB的对称点是O′（1，1）， 点A关于y轴的对称点是A′（�1，0） 设AB的解析式为y=kx+b， ∵（1，0），（0，1）在直线上， ∴ ，解得k=�1， ∴AB的表达式是y=1�x， 同理可得O′A′的表达式是y= + ， 两个表达式联立，解得x= ，y= ． 故答案为：（ ， ）． 18． 解：由题意得：S阴影= ×5×5=12.5（cm2）． 故阴影部分的面积为12.5cm2． 故答案为：12.5． 19． 解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG 又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110° ∴∠B′OG= ×110°=55°． 20． 解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395． 21． 解：∵△ABC中，∠BAC=106°， ∴∠B+∠C=180°�∠BAC=180°�106°=74°， ∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线， ∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN， 即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°， ∴∠EAN=∠BAC�（∠BAE+∠CAN）=106°�74°=32°． 故答案为32°． 22． 解：∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4， ∴BE=EC，BC=2BD=8； 又∵△ABE的周长为14， ∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14； ∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22； 故答案是：22． 23． 解：如图，∵直线l是四边形ABCD的对称轴， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3=∠4， ∴AB∥CD，AB=BC，故（1）（2）正确； 由轴对称的性质，AC⊥BD， ∴BD平分∠ABC，AO=CO（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确． 综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）． 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 三．解答题（共4小题） 24． 解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴DE是线段BC的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠ECB=∠B=45°， ∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°； （2）AE2+EB2=AC2． ∵∠AEC=90°， ∴AE2+EC2=AC2， ∵EB=EC， ∴AE2+EB2=AC2． 25． 解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA=DB，EA=EC， ∴△ADE的周长=AD+DE+AE=DB+DE+EC=BC=5； （2）∵∠BAC=120°， ∴∠B+∠C=60°， ∵DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∴∠DAE=∠BAC�（∠DAB+∠EAC）=∠BAC�（∠B+∠C）=60°． 26． 解：∵点Q和点P关于OA的对称， 点R和点P关于OB的对称 ∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线， ∴MP=MQ，NP=NR， ∴∠PMO=∠QMO，∠PNO=∠RNO， ∵∠PMO=3 3°，∠PNO=70° ∴∠PMO=∠QMO=33°，∠PNO=∠RNO=70° ∴∠PMQ=66°，∠PNR=140° ∴∠MQP=57°， ∴∠PQN=123°，∠PNQ=40°， ∴∠QPN=17°． 27． 解：（1）∵∠PAB=15°，∠ABC=45°， ∴∠APC=15°+45°=60°， ∵点C关于直线PA的对称点为D， ∴PD=PC，AD=AC， ∴△ADP≌△ACP， ∴∠APC=∠APD=60°， ∴∠BPD=180°�120°=60°；
（2）直线BD，AH平行．理由： ∵BC=3BP， ∴BP= PC= PD， 如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形， ∴∠BEP=60°， ∴∠BDE= ∠BEP=30°， ∴∠DBP=90°，即BD⊥BC． 又∵△APC的PC边上的高为AH， ∴AH⊥BC， ∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F． ∵∠APC=∠APD，即点A在∠DPC的平分线上， ∴AH=AF． ∵∠CBD=90°，∠ABC=45°， ∴∠GBA=∠CBA=45°， 即点A在∠GBC的平分线上， ∴AG=AE， ∴AG=AF， ∴点A在∠GDP的平分线上． 又∵∠BDP=30°， ∴∠GDP=150°， ∴∠ADP= ×150°=75°， ∴∠C=∠ADP=75°， ∴Rt△ACH中，∠CAH=15°， ∴∠BAP=∠CAH． 13.2 画轴对称图形 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共12小题） 1．点A（2，�5）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（2，5） B．（�2，5） C．（�2，�5） D．（�5，2） 2．若点A（1+m，1�n）与点B（�3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ） A．�5 B．�3 C．3 D．1 3．点A（m+4，m）在平面直角坐标系的x轴上，则点A关于y轴对称点的坐标为（ ） A．（�4，0） B．（0，�4） C．（4，0） D．（0，4） 4．已知点P（3a�3，1�2a）关于y轴的对称点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将点A（�1，�2）向右平移4个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ） A．（�5，2） B．（3，2） C．（�3，2） D．（3，�2） 6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（�1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（ ） A．（3，1） B．（�3，�1） C．（1，�3） D．（3，�1） 7．已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC=35°，则∠OED的度数为（ ） A．10° B．20° C．30° D．35° 8．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（�1，0）表示，右下角方子的位置用（0，�1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ） A．（�2，1） B．（�1，1） C．（1，�2） D．（�1，�2） 9．在平面直角坐标系中有点P（3，2），点P和点P′关于直线y=x对称，那么点P′的坐标为（ ） A．（2，3） B．（�3，2） C．（�2，3） D．（3，�2） 10．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（ ） A．（�a，5） B．（a，�5） C．（�a+2，5） D．（�a+4，5） 二．填空题（共6小题） 13．已知点P（�2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是 ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，�6），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是 ． 15．已知点A（�4，5）与点B（a，b）关于y轴对称，则a�b的值是 ． 16．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（2，0），B（0，2）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴，再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线y=�1的对称图形是△A2B2C2，若△ABC上的一点P（x，y）与△A2B2C2上的P2是对称点，则点P2的坐标是 ． 18．点P（2，�3）到x轴的距离为 个单位，它关于y轴对称点的坐标为 ． 三．解答题（共4小题） 19．图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求： （1）所画的两个四边形均是轴对称图形． （2）所画的两个四边形不全等．
20．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF．（每个3×3正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）
21．在平面直角坐标系中按下列要求作图． （1）作出三象限中的小鱼关于x轴的对称图形； （2）将（1）中得到的图形再向右平移6个单位长度．
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了直角坐标系及格点△AOB（顶点是网格线的交点） （1）画出将△AOB沿y轴翻折得到的△AOB1，则点B1的坐标为 ； （2）画出将△AOB沿射线AB1方向平移2.5个单位得到的△A2O2B2，则点A2的坐标为 ； （3）请求出△AB1B2的面积．
参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1． 解：点A（2，�5）关于x轴的对称点B的坐标为（2，5）． 故选：A． 2． 解：∵点A（1+m，1�n）与点B（�3，2）关于y轴对称， ∴1+m=3、1�n=2， 解得：m=2、n=�1， 所以m+n=2�1=1， 故选：D． 3． 解：∵点A（m+4，m）在平面直角坐标系的x轴上， ∴m=0， ∴点A的坐标为（4，0）， ∴点A关于y轴对称点的坐标为（�4，0）． 故选：A． 4． 解：由题意，得 P（3a�3，1�2a）在第四象限， ， 解3a�3＞得a＞1， 解1�2a＜0得，a＞ ， 故选：C． 5． 解：∵点A（�1，�2）向右平移4个单位长度得到点B， ∴B（3，�2）， ∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为：（3，2）． 故选：B． 6． 解：由A点坐标，得C（�3，1）． 由翻折，得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）． 故选：A． 7． 解：连接OD， ∵BC⊥x轴于点C，∠OBC=35°， ∴∠AOB=∠OBC=35°，∠BOC=90°�35°=55°． ∵点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上， ∴OB是线段AD的垂直平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°， ∴∠DOC=∠BOC�∠BOD=55°�35°=20°． ∵点E与点O关于直线BC对称， ∴BC是OE的垂直平分线， ∴∠DOC=∠OED=20°． 故选：B． 8． 解：棋盘中心方子的位置用（�1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，�1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（�1，1）时构成轴对称图形． 故选：B． 9． 解：设点P（3，2）关于直线y=x的对称点P′（m，n）， ∴PP′的中点坐标为（ ， ）， 则中点（ ， ）在直线y=x上， ∴ = ①， 由直线PP′与直线y=x垂直，得 =�1 ②， 联立①②，得： ， 则点P（3，2）关于直线y=x的对称点P′坐标为（2，3）， 故选：A． 10． 解：作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项， 故选：B． 11． 解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，故选项正确； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：C． 12． 解：∵直线m上各点的横坐标都是2， ∴直线为：x=2， ∵点P（a，5）在第二象限， ∴a到2的距离为：2�a， ∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2�a+2=4�a， 故P点对称的点的坐标是：（�a+4，5）． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 13． 解：点P（�2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（�2，�1）， 故答案为：（�2，�1）． 14． 解：∵点A的坐标是（4，�6）， ∴点A关于x轴的对称点A′（4，6）， ∴点A′关于y轴的对称点A″（�4，6）， 故答案为：（�4，6）． 15． 解：由题意，得 a=4，b=5， a�b=4�5=�1， 故答案为：�1． 16． 解：如图所示， ∵点O关于AB的对称点是O′（2，2）， 点A关于y轴的对称点是A′（�2，0） 设AB的解析式为y=kx+b， ∵（2，0），（0，2）在直线上， ∴ ，解得k=�1， ∴AB的表达式是y=2�x， 同理可得O′A′的表达式是y= +1， 两个表达式联立，解得x= ，y= ． 故答案为：（ ， ） 17． 解：点P（x，y）关于y轴的对称点为P1（�x，y）， 点P1（�x，y）关于直线y=�1的对称点为P2（�x，�2�y）． 故答案为：（�x，�2�y）． 18． 解：点P（2，�3）到x轴的距离为3个单位，它关于y轴对称点的坐标为（�2，�3）． 三．解答题（共4小题） 19． 解：如图所示： 20． 解：如图，△DEF即为所求．（答案不唯一） 21． 解：如图所示： 22． 解：（1）如图，点B1的坐标为（�3，0）； 故答案为：（�3，0）； （2）如图，点A2的坐标为（�1.5，2）； 故答案为：（�1.5，2）； （3）△AB1B2的面积=4.5×6� ×3×4� ×1.5×6� ×4.5×2=12．
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