2014池州一中高二数学第二学期期末试题含答案理科.docx

2014池州一中高二数学第二学期期末试题（含答案理科） 考试范围：2-2,2-3；考试时间：100分钟 题号 一 二 三 总分 得分 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分） 1.已知 为函数 上任意一点， 为点P处切线的斜率，则 的部分图像是（ ） 2.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位： s)，则t＝5时的瞬时速度为(　　) A．37 B．38　 C．40 D．39 3.我们把棱长要么为2cm，要么为3cm的三棱锥定义为“和谐棱锥”．在所有结构不同的“和谐棱锥”中任取一个，取到有且仅有一个面是等边三角形的“和谐棱锥”的概率是 （ ） A． B． C． D． 4.一个篮球运动员投篮一次得 分的概率为 ，得 分的概率为 ，不得分的概率为 （ ），已知他投篮一次得分的期望为 ，则 的最小值为（ ）． A． B． C． D． 5.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为 ，那么速度为零的时刻是 （ ） A．1秒 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 6.若复数 是纯虚数，其中a是实数，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 7.下面是关于复数 的四个命题，其中真命题为（ ） A. z的虚部为 B. z为纯虚数 C. D. 8.已知复数z满足 ，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为 A． B． C． D． 9.我们知道十进制数有10个数码即0～9，进位规则是“逢十进一”，如47+56=103；由此可知八进制数有8个数码即0～7，进位规则是“逢八进一”，则在八进制下做如下运算47+56= （ ） A．85 B．103 C．125 D．185 10.某堂训练课上，一射击运动员对同一目标独立地进行了四次射击，已知他至少命中一次的概率为 ,则四次射击中，他命中2次的概率为 ( ） A． B． C． D．以上都不对
第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分） 11. 已知复数z的实部为 ，虚部为1，则 = ． 12.在数轴上区间 内，任取三个点 ，则它们的坐标满足不等式： 的概率为 ． 13. 如图，函数 的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为 则 ．
14.已知纯虚数z满足 ，其中i是虚数单位，则实数m的值等于 ． 15.若 为非零实数，则下列四个命题都成立： ① ② ③若 ，则 ④若 ，则 。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。

评卷人 得分 三、解答题（本题共6道小题,共75分） 16.（本小题满分12分）动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点F（0，1）和直线l的距离之和为4． （1）求点P的轨迹C的方程； （2）过点Q（0，－1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成的区域的面积．

17. （本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等。 （1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率。

18. （本小题满分12分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高70％．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

19.（本题满分13分）已知函数 ． （Ⅰ）求 的单调区间； (Ⅱ) 若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．

20. （本小题满分13分）2011年2月始发生的利比亚内战引起了全球人民的关注，联合国为此多次召开紧急会议讨论应对措施．在某次分组研讨会上，某组有6名代表参加, 两名代表来自亚洲， 两名代表来自北美洲， 、 两名代表来自非洲，小组讨论后将随机选出两名代表发言． （1）代表 不被选中的概率是多少？ （2）记选出的两名代表中来自于北美洲或非洲的人数为 ,求 的分布列及期望．

21.（本小题满分13分）已知函数 ，其中 ． （1）设函数 在点 ， 处取得极值，且 ．求证： ① ； ②线段 的中点 在曲线 上； （2）若 ，问：过原点且与曲线 相切的两条直线是否垂直，并说明理由．

答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D D C D A C C
二、填空题 题号 11 12 13 14 15 答案 ②④
12. 的实质是点 在点 之间，故考虑它们的排列顺序可得答案为 15.对于①：解方程 得 a=± i，所以非零复数 a = ± i  使得 ，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则  ¿ ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的所有序号是②④ 三、解答题 16.

17.设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为 ，用 表示抽取结果，则所有可能有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共16种． ……4分 （Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ， ， ， ， ， ，共6种． ……6分 故所求概率 ． 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 ． ……8分 （Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有 ， ， ， ， ，共5种． ……11分 故所求概率为 ． ……12分
18.解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，－2； ， ， ． 故ξ的分布列为： （2） ； （3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为： ． 依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03． 所以三等品率最多为3％．
19.解：（Ⅰ） （�。┑� 时, 的单调递增区间是( ). (��) 当 时,令 得 当 时， 当 时， 的单调递减区间是 ， 的单调递增区间是 .……6分 (Ⅱ)由 , 由 得 . 设 ，若存在实数 ,使得 成立, 则 …… 10分 由 得 , 当 时, 当 时, 在 上是减函数,在 上是增函数. 的取值范围是( ). ……………………………………… 13分
20.（1）代表 被选中的概率为 （2分），所以代表 不被选中的概率是 ．（４分） 0 1 2
（2） 的可能取值为0,1,2．（5分） ， ， （8分） 的分布列为（见右图表）（10分） ．（12分） （1）从这6名代表中随机选出2名，共有 种不同的选法，分别为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）,（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．（3分）．其中代表A被选中的选法有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F）共5种，则代表A被选中的概率为 （6分）所以代表A不被选中的概率为 ． （2）随机选出的2名代表“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”的结果有9种，分别是 ， ， , ， ， ， ， ， ．“恰有1名来自北美洲或2名都来自非洲”这一事件的概率为 （13分）．
21.（1）①依题意， ， 为方程 的两个实根， 而 ， ， ， 故 在区间 和 内各有一个实根， 所以 ； ②由①得， ， ， 因为 ， ， 所以 ， 即证线段 的中点 在曲线 上； （2）过原点且与曲线 相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线 上一点 的切线方程为： ， 因为切线过原点，所以 ， 又 ， 所以 ， 解得 ，或 ， 当 时，切线的斜率为 ；当 时，切线的斜率为 ； 因为 ，且 ， 所以两条切线斜率之积为： ， 所以过原点且与曲线 相切的两条直线不垂直.

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