2014高二数学选修21-24-抛物线课件及练习题含答案.docx

课时提升作业(十七) 抛物线及其标准方程 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2014长春高二检测)抛物线y=2x2的焦点坐标是() A.(1,0) B. C. D. 【解析】选D.由y=2x2,得x2= y, 所以p= ,故焦点坐标为 . 2.(2014重庆高二检测)抛物线y2= x的焦点到准线的距离为() A. B. C. D.1 【解析】选B.由抛物线的方程y2= x, 故p= ,所以焦点到 准线的距离为 . 【变式训练】(2014太原高二检测)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为 () A. B.- C.4 D.-4 【解析】选B.由y=ax2,得x2= y, 故准线方程为y=- ,所以- =1,得a=- . 3.(2013四川高考)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2- =1的渐近线的距离是 () A. B. C.1 D. 【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2- =1的一条渐近线方程为 x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d= ,故选B. 【变式训练】(2013四川高考)抛物线y2=8 x的焦点到直线x- y=0的距离是 () A.2 B.2 C. D.1 【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d= =1,故选D. 4.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)的曲线大致是() 【解析】选D.a2x2+b2y2=1,可化为 + =1, 因为ab0,所以 0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为() A.1 B.1或4 C.1或5 D.4或5 【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4, 所以点M的坐标可设为(x,4 ) (或(x,-4), 又因为M到准线的距离为5, 所以 解得 或 6.(2014白山高二检测)当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是() A.x2=32y或y2=- x B.x2=-32y或y2= x C.y2=32x或x2=- y D.y2=-32x或x2= y 【解析】选C.把直线方程(2a+3)x+y-4a+2=0转化为(3x+y+2)+a(2x-4)=0,由 得 所以定点P的坐标为(2,-8),所以过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=- y. 二、填空题(每小题4分,共12分) 7.(2014邯郸高二检测)在抛物线y2=2px(p0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值是_. 【解析】由抛物线的定义知4+ =5, 所以得p=2. 答案:2 8.(2014陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为. 【解题指南】根据抛物线y2=2px的准线方程为x=- 可以得到所求准线方程. 【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1. 答案:x=-1 9.(2012陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解. 【解析】建立适当的直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2(-3)=6,所以x= ,水面宽是2 米. 答案:2 三、解答题(每小题10分,共20分) 10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过 - =1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点( , ),求抛物线和双曲线的方程. 【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p0),将点( , )代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点( , )到两焦点距离之差为2a=1,所以双曲线的方程为 - =1. 11.(2014兰州高二检测)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,AC,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.若BFD=90,ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程. 【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点, 所以BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p, 又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|= p, 所以SABD=4 = |BD|d= 2p p, 所以p=2. 所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=2 , 圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.点P到点F(4,0)的距离比它到直线l:x=-6的距离小2,则点P的轨迹方程为 () A.y2= x B.y2= x C.y2=16x D.y2=4x 【解析】选C.依题意,点P到点F(4,0)的距离等于点P到x=-4的距离,故P点的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,且 =4,焦点在x轴的正半轴上,所以方程为y2=16x. 2.(2014长春高二检测)已知F是抛物线y2=8x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB中点到y轴的距离为() A.16 B.6 C.8 D.4 【解析】选D.设A,B到准线的距离为d1,d2,则由抛物线的定义得,d1+d2=12,所以线段AB中 点到准线的距离为6,所以线段AB中点到y轴的距离为6-2=4. 3.(2013天津高考)已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, AOB的面积为 ,则p=() A.1 B. C.2 D.3 【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出AOB的面积,然后求解. 【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线的交点,其坐标分别为A(- , ),B(- ,- ),故AOB的面积为 = ,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b= a,所以p=2. 【变式训练】(2014重庆高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q为抛物线上两点,若PQF为边长为2的正三角形,则p的值是() A.2 B.3 C. 1 D.2 1 【解析】选A.由题意得F ,设P , Q (y1y2). 由抛物线定义及|PF|=|QF|, 得 + = + , 所以 = ,所以y1=- y2. 又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1, 所以点P . 又点P在抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|= + =2,所以得p=2 . 4.(2013新课标全国卷)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4 x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4 ,则POF的面积为() A.2B.2 C.2 D.4 【解析】选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+ =x1+ =4 ,解得x1=3 .因为P为C上一点,则 =4 x1=4 3 =24,得| y1|=2 ,所以SPOF= 2 =2 . 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2013江西高考)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线 - =1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=. 【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起 联系,分析可知ABF的高为p,可构造p的方程解决. 【解析】由题意知ABF的高为p,将y=- 代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x= ,因为ABF为等边三角形,所以 =tan60,从而解得p2=36,即p=6. 答案:6 6.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为. 【解析】根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里 =1,焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x2=4y. 答案:x2=4y三、解答题(每小题 12分,共24分) 7.(2013福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为 ,点C的坐标为 , 分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点 . 求证:点 都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程. 【解析】依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i, 因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y= x, 设Pi坐标为(x,y),由 得: y= x2,即x2=10y, 所以Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y. 8.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程. 【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p0), 则其准线为x=- . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为|AF|+|BF|=8, 所以x1+ +x2+ =8, 即x1+x2=8-p. 因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分 线上, 所以|QA|=|QB|, 即 = , 又 =2px1, =2px2, 所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0, 因为AB与x轴不垂直,所以x1x2. 故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4. 从而抛物线的方程为y2=8x.20 20