20182019高二数学12月联考试卷理科附答案湖南浏阳一中醴陵一中.docx

浏阳一中、醴陵一中2018年下学期高二年级联考 理科数学试题 满分:150分 时量:120分钟 考试时间2018年12月16日 命题人： 审题人： 姓名 考号
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1.设数列 的前 项和 ，则 的值为（ ） A.15 B. 37 C. 27 D. 64 2.设命题 ，则 为( ) A． B． C． D． 3.若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4.设曲线 在点(3,2)处的切线与直线 垂直,则 ( ) A.2 B. C. D. 5.等比数列{an}中 ， ,则 的值为( 　) A．10 B．20 C．36 D．128 6.设 都是不等于1的正数，则“ ”是“ ”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7.若 ，则 等于（ ） A. 2 B. 0 C. D. 8.在等差数列 中， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为（ ） A. B. C. 或 D. 9.双曲线 的左、右焦点分别为 ，P为双曲线右支上一点，I是 的内心，且 ，则 =（ ） A． B． C. D． 10.已知 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，若 ，则 的长为( ) A． B．7 C． D．9 11.在椭圆 上有两个动点 ， 为定点， ，则 的最小值为( )． A．4 B. C. D.1 12.函数 的图象关于直线x＝1对称，当 时， 成立，若 ， ，c＝( )•f( )，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________。 14.已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为5，则 的面积为 。 15.若关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是 。 16.已知M是 内的一点（不含边界），且 ， ， 若 和 的面积分别为 则 的最小值是 。 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）设 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．

18.(12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 年年底出售，其销售价格为 万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?

19.(12分)已知等差数列 的首项 ，公差 ，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ， ，是否存在 ，使得对任意的 均有 总成立？若存在，求出最大的整数 ；若不存在，请说明理由．

20.(12分)如图，三棱锥 ，侧棱 ，底面三角形 为正三角形，边长为 ，顶点 在平面 上的射影为 ，有 ，且 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）线段 上是否存在点 使得 ⊥平面 ，如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由.

21.(12分)已知椭圆 ： （ ）经过点 ，离心率为 ，点 为坐标原点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆 的左焦点 任作一直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.

22.(12分)已知函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）设函数 ，当 时，若 ， ，总有 成立，求实数 的取值范围.

参考答案 一、选择题（每题5分，共60分） 1-5 BCCBB 6-10 DBADC 11-12 CB 二、填空题（每题5分，共20分） 13. 24 14. 2 15. 16. 9 三、解答题（共70分） 17.解：由 得 ∴ ，即 …………………………………3分 由 得 ∴ ，即 ………………………………………5分 ∵ 是 的必要不充分条件 ∴ 是 的必要不充分条件 ∴ ………………………………………8分 ∴ ，解得 . ………………………………………10分
18.解：(1)设大货车到第 年年底的运输累计收入与总支出的差为 万元， 则 , 即 由 解得 ，而 , 故从第3年开始运输累计收入超过总支出．………………………6分 (2)小王的年平均利润为: , 而 当且仅当 时取得等号． 即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．………12分 19.(1) 由题意得 ， 整理得 ∵ ∵ ，∴ . ……………………4分 (2) ， …………………6分 ∴ . …………………8分 假设存在整数 满足 总成立， 又 ∴数列 是单调递增的． ∴ 为 的最小值，故 ，即 . 又∵ ，∴适合条件的 的最大值为8. …………………12分 20.（Ⅰ）因为 ，且 ， ，所以 ，所以 . 因为 为正三角形，所以 ， 又四边形 为平面四边形，所以 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . …………………4分 （Ⅱ）由点 在平面 上的射影为 可得 平面 ，所以 ， . 建立空间直角坐标系，则由已知可知 ， ， ， . 平面 的法向量 ， 设 为平面 的一个法向量，则 由 可得 令 ，则 ， 所以平面 的一个法向量 ， 所以 ， 由图可知二面角 的平面角为钝角，所以其余弦值为 .……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ， ， 因为 ，所以 与 不垂直， 所以在线段 上不存在点 使得 ⊥平面 . …………………12分 21．解：（1）因为 ，所以 ，从而 ， 椭圆 的方程为 . ………………………4分 （2） ，当直线 的斜率不存在时，可得 ， ， 此时 ； ………………………5分 当直线 的斜率存在时，设 ： , , , 联立 与 ，可得 ， 所以 ， ， ………………………7分 ， ，（10分） 因为 ， ，所以 ，从而 ， 综上可得 的取值范围是 . ………………………12分 22. (1) , 当 时， ，此时 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增………………5分 （2）当 时， ， 由 得 或 当 时， ；当 时， . 所以在 上， 而“ ， ，总有 成立”等价于 “ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值” 而 在 上的最大值为 所以有 所以实数 的取值范围是 ………………………12分

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