采用线性预测模型对铁道车辆车体进行模态分析-论文翻译.doc

大连交通大学2013届本科生毕业设计（论文）外文翻译采用线性预测模型对铁道车辆车体进行模态分析 Takahiro TOMIOKA，Tadao TAKIGAMI， Ken-Ichiro AIDA车辆噪声与振动实验室，铁路技术研究所2838 Hikaricho， Kokubunji-shi， 东京， 1858540邮箱：tomiokartri.or.jp摘 要本文介绍了一个采用线性预测模型对铁路车辆进行的模态特性识别研究。由静止或运行试验获得的实际铁路车辆的输入(激振力或轴箱加速度)和输出(车体加速度)之间的关系可由一个ARX(自回归线性预测模型)表示，同时模态参数的提取过程也能被详细描述。一个合适的模型定阶(即ARX模型中预测系数的阶)应是从实际应用的角度考虑的。分析数据得出两个不同部件的平均估计误差的实现过程被提出，同时他们对决定模型定阶的有效性被评估。使用ARX模型得出MIMO(多输入多输出)的合适性也被描述。结果表明，利用所提出的方法，详细的模态特性可以被成功地从静止、运行测试测得的数据中确定。关键词：铁路，模态分析，线性预测模型，信号处理，弯曲振动1. 介绍 要提高铁路车辆的行驶质量，重要的是要抑制车体纵向弯曲振动。为抑制这种振动，第一步要做的是对车体频率、模态属性等振动特性进行识别。静止和运行的振动测试通常就是为达此目的而进行的。运行测试在车辆运行时通过一个实际的商业服务性的途径对车辆进行了频率特性的分析和行驶质量的评估。平稳振动测试则适用于确定车体的模态性能，这是因为输入(激振力)和输出(响应加速度)之间的关系是明确的。由于进行铁道车辆测试的成本很高，所以通过单一的测量试验同时评估乘坐质量和模态性能是非常有效的。作者已经介绍了一种从静止测试中来评估运行质量的方法。本文主要介绍通过运行测试来评估车体模态性能的技术。 在运行过程中的铁道车辆的输入/输出关系是复杂和不稳定的。车辆受到多输入的作用，而激励条件会在很短的时间改变。因此运行测试难以确定车体频率和模态性能。 为了应对这一挑战，作者尝试运用类似ARX(自回归线性预测模型)的LPM(线性预测模型)来分析铁路车辆振动，因为LPM模式对待短时间数据和多输入多输出(MIMO)的问题更有效。然而，确定模型定阶(即ARX模型中预测系数的阶)仍是有问题的。本文介绍的对铁路车辆车体的模态识别采用ARX模型，而适当模型定阶的确定则是从实际使用的观点出发。2. 引入线性预测模型(LPM)的必要性 在运行过程中，由于赛道条件和运行速度总是在不断变化，铁路车辆的激励条件每时每刻都不相同。因此，车体中诱发弯曲的振动幅度也每时每刻都在变化。当使用有足够的频率分辨率F的FFT(快速傅立叶变换)对这样的非定常的振动数据进行分析时，例如用F = 0.1Hz来计算加速度的PSD(功率谱密度)时，因为缺乏平均我们难以得到可靠的结果。我们能使用足够的数据长度例如60秒来解决这个问题。 然而，对于一辆以300公里每小时的速度运行的列车，它能在60秒内行驶5公里。这样的话，对于有着显著弯曲振动发生的某一指定部分的数据长度有限的分析，FFT的方法就不再适合。 作者研究了利用LPM来分析铁路车辆振动特性的适用性，并表明了它是很有效的。LPM不仅能确定车体模态性能，同时还能确定车体的频率特性，例如运行时的加速度的PSD。通常，铁路车辆在八个轮子上运行，因此它在运行过程中受到八个垂直方向的激励。LPM模型可以被很容易地扩展用以容纳多个输入，这是另一种比运用FFT来进行模态分析优越的地方。3. 运用LPM进行模态分析 本节概述了利用LPM对铁道车辆车体的模态分析，分析中将铁路车辆看成一个多输入多输出(MIMO)系统。这里分析过程的叙述是基于以前发表的文献。3.1预测系数的计算 假设输入信号为u(n)，输出信号为y(n)，这些信号形成一个任意采样时间t下的离散数据序列。在这里，n表示数据样本的数目。现在，我们利用样品数为m的过去的输入和输出数据乘以加权系数对数据样本数为n的输出信号进行预测。如下： ， (1)表示预测误差。我们获得如下方程： ， (2)这个等式表明了M阶ARX(自回归线性预测模型)中输入输出信号的关系。输入输出信号是矢量u(n)=u(n)，.，u(n)和y(n)=y(n)，.，y(n)，P和Q输入输出的级数，表示向量的转置。和表示QQ和QP阶矩阵。 接下来我们写出反向形式的输入输出等式: ， (3)这里和表示PP和PQ阶的预测系数的矩阵。(n)表示u(n)的预测误差。由于等式(2)和(3)是独立的，因此它们能被合并。我们得出以下等式。 ， (4)这里x(n)=u(n) y(n)是合并输入输出二矢量一系列的时间数据得到的，= (n) 表示合并的预测误差，表示以下的包含预测系数的分块矩阵： 。方程(4)表示x(n)可以表示为有P + Q模型独立变量的AR(自回归)模型，能够运用现有的普通AR模型计算得出。在这项研究中，我们采用Burg法这被认为更有利于短时数据的谱估计，而且对一定量的预测系数的计算也有一些有效的算法。 为补充(2)-(4)等式表示的的ARX模型。我们定义一个新的应用Burg法的ARX模型，如下： ， (5) ， (6) ， (7)这里，式子后面的预测误差和预测系数矩阵能被表示为 ，Burg法的基本准则是要为了减少方程(4)(7)的预测误差方差的总和而计算预测系数。通过求解下面的递推公式可得此目的。 (8) (9) (10)这里N表示数据长度，R表示。3.2 模态参数的提取 假设m阶的等式(4)中的预测系数是通过上述程序得到。在这一部分，我们利用这些预测系数计算模态特性。注意，仅在系数矩阵中用到和。通过引入以下的状态向量 ， ，等式(2)能被表示如下： ， (11)这里上角标s代表状态空间的值，和可表示为以下块矩阵： ， ，这里I和0分别是单位矩阵和零矩阵，对(11)进行z变换，可得如下方程： ， (12)这里，Y(z)，Y(Z)和U(z)分别是y(n)，y(n)和u(n)的z变换。由于的应用，u(n-m)的z变换的关系可被写出。 ， (13)由等式12的第一个方程我们可得 ， (14)将(14)代入等式(12)的第二个方程，得到 ， (15)这里G(z)是输入输出信号间的脉冲传递矩阵： (16)在这个等式中，是指含有我为第i个对角元素的对角矩阵，是系数方阵的第i个特征值，矩阵（z)的第i列对应于特征值的特征向量。矩阵和（z)的大小是QMQM。注意应该是没有重复特征值的矩阵。 这种脉冲传递矩阵产生部分分式分解 ， (17)这里是G（z)的复杂的残留，它能用QMQM矩阵（除第i个对角元素为1外其余元素均为0)表示如下： （18) 在脉冲响应不变的情况下，通过将G（z)转换到s域下，同时在复杂共轭复根中找出表示系统处于振动模式的r对根，我们能得到方程（19)。 (19)式右边的第一项，R（指对第p个输入的响应在第p列的QP矩阵)对应于系统的模态形状。固有频率f和对应于第i种模态的模态阻尼比能被表示如下： ，。 （20)4.稳态振动测试中模态特性的鉴别4.1 实际铁路车辆稳态振动测试概述 实际铁路车辆的测量测试是用来对基于LPM的模态属性识别方法的有效性进行评估。静止的振动测试使用激励（一种能清楚地确定模态性质的合适的方法，这种方法的原理是输入/输出关系是明确的，因此结果是很容易与其他方法比较)作为第一步。在该试验中，坐落在轨道上的铁道车辆受激，车体的振动响应可被激励器测出。 图1示出测试时的铁道车辆。这是一个属于铁路技术研究所（RTRI)的测试车辆，它与当前通勤型商业服务中使用的车辆具有几乎相同的车体结构。车体外壳采用不锈钢，这是目前日本用于通勤型车辆的主导型材料。测试车辆没有类似乘客座椅或照明之类的设备，而且屋顶上仅是一个虚拟的单位质量和惯性相当于某一时刻实际空调系统的模型。车体的长度，宽度和高度分别是19.5米，2.95 米和2.67米，它的质量（无转向架)约10.7吨。 图二表示出了车体的加速度测量点和激励点。在此振动试验中，一共有43个加速度传感器被连接到车体（地板上分布着纵向的17个，顶板上分布着纵向的14个，侧板上分布横向的6点，每个端板上分布纵向的三个)，一个电动激励器（最大激发容量1千牛顿)被装在地板中心的驱动杆下方。 A称重传感器被安装在驱动杆和车体之间用以测量的激振力。在这种情况下，输入和输出信号的数字分别为P = 1，Q = 43.用来激发车辆的带限随机信号具有均匀的在5-30Hz的范围内变化的频率分量，每次的激发试验持续时间为120秒。测量数据以数字格式被记录，采样时间为t= 0.005秒（200赫兹)，抗混叠滤波器的截止频率被设置为80赫兹。图1、测试时的铁道车辆图2、车体的加速度测量点和激励点4.2确定模型阶数利用所提出的方法进行模态特性的识别，就必须预先确定模型阶数M。为了达到这个目的，AIC法被广泛应用。我们要确定模型的阶次以使得AIC最小。在已发表的文献中，模型的阶被确定以使得前后的预测误差和协方差矩阵的微量减少。我们首先检查这些使用上述平稳振动试验得到数据算出的指标值；即，考虑激振力，加速度数据，前置预测误差的协方差矩阵的微量。多变量的AIC（MAIC)可用下式计算。 . (21)图3显示计算结果。在这里，误差协方差矩阵的微量（左边红线)和MAIC（右边蓝线)随模型的阶的变化图被绘制。请注意这两个值是用归一化的形式表示。可以看出，这两个指标都有类似的趋向；他们都随模型阶数的增加不断减少，他们没有最小值。该图表明，在M = 2处一个激进的下降，但这不是确定模态特性的一个适当的模型阶，原因在后文中描述。因此，很难利用从振动的铁路车辆车身测量的数据来使用这些传统指标以确定模型的阶。图3、误差协方差矩阵的微量和MAIC因此，作者试图利用以前的工作中得到的例如模态形状这样的信息来确定模型的阶。如果一个更客观现实的方法可以在模型阶数的确定过程中建立起来的，那么它的预期是分析的合理性要增加，同时试验的需要量要减少。参考图3，似乎在模型的阶变到10或更大时，各指标的变化量会减少，尤其是MAIC。如果某个阈值可以指定，我们可以合理确定模型的阶。然而，MAIC或预测误差协方差矩阵的微量的值会根据所分析的数据变化，这导致难以得到正确的临界值。 考虑到问题中的数据要被分析（即，由测得的数据，而不是在以后的时间序列预测的数据来确定振动特性)，我们提出了一个现实测定程序如下：（1)将长度为N的长度分为和两部分来测量数据（)，并使用其中的一部分来计算ARX模型的预测系数。此后，在这项研究中的部分将被用于预测系数的计算。（2)运用获得的预测系数来估计每个的和的时间序列，并评估测量和估计值之间的误差，这里，和分别表示在和部分的数据。（3)不断增加M来重复此过程，当和足够小使用M作为模型的阶。在该方法中，测得的数据分为两部分；一个用于预测系数的计算，另一部分用于评估。请注意，此方法假设所测得的数据没有剧烈变化，这要求运行速度和场地条件变化很小。该方法还假设利用得出的模型阶数和预测系数合适时，对的估计十分准确。以下可用于时间序列中估计误差的评价： （22)在这里和分别表示估计误差（估计和测量值之间的差异)的均方根和q输出测得的均方根。请注意，这里Q表示输出信号的数量。值表示的平均估计误差率（%)。 图4和图3一样显示出相同测量数据下的平均估计误差率。在这种情况下，N = 24000（120s)被分为分为两部分长度 = = 12000（60s)，前部分是用于计算预测系数。绿色和黑色的线分别表示出和的。可以看出也随模型阶数的增加不断减少，而且和MAIC类似也没有最小值。然而，值有一个物理意义，它表示估计误差比与实际测量值。因此我们可以为数据初步设定一定的阈值，这对ARX模型在实际问题中的应用是有利的。下面，我们将，的平均估计误差分别表示为，。用于预测系数计算的部分的估计误差将随模型阶数的增加而单调减小；另一方面，部分的估计误差会因为预测系数很适合部分而增加。对于本文中要解决的问题，适当的预测系数是指那些正确地识别车辆模态特性的；如果系数是合适的，它们对于其他时间序列车体响应的精确估计也是使用的。因此，这种预测系数并不适合我们的要求，除非他们给部分一个小的估计误差，而给另一部分一个大误差。为此，我们引入，估计误差的差值。图5显示了对于模型阶数M的的变化。M略大于20时，达到其最小值时，其后它增加。如图4所示，随模型阶数M的增加不断减少。在这种情况下，当的下降率比的小时，增加。如果我们把的增值看做过度拟合N1的部分，我们可以使用达到其最小值时的M值作为模型阶数的上限。接下来，我们检查所提出的方法对于短时分析数据的适用性。Burg法应用于预测系数计算的一个主要方面就是对短时数据的处理。为了证明这一特征，我们使用不同长度的数据计算频响函数（频率响应函数)。图6显示了在车体转向架中心正上方测量的输入力和加速度响应的频响函数。绿色线显示使用 60s数据的FFT获得的频响函数，黑色，蓝色和红色的虚线表明使用60s，15s，5s数据的ARX模型计算的频响函数。这样的ARX模型的模型的阶数M = 12。由ARX模型使用60秒和15秒数据的频响函数与FFT的结果吻合。不过，使用5s数据获得的频响函数显示了比较大的波动，表明了频响函数较低的可靠性。对应于模型阶数M变化的值绘制在图7中。在数据长度为5秒的情况下，当M8时增加，这表明在图6（M=12)中使用的模型的阶次过大。因此，我们修改了模型的阶为M =8，并重新计算了数据长度为5s时的频响函数。其结果示于图8中。频响函数的波动减少，可靠性增加。这个例子展示了利用对模型的阶上限确定的有效性。图4、平均估计误差的变化图5、，平均估计误差的差值图6、在车体转向架中心正上方测量的输入力和加速度响应的频响函数图7、不同长度数据下的平均估计误差的差值图8、利用FFT和ARX模型得出的频响函数的比较4.3.平稳振动试验模态分析接下来要进行的是用已得的预测系数对平稳振动试验模型进行模态分析。ARX模型的阶（方程（1)被设置为M = 12。这种选择的原因会在下面的章节中描述。图9显示了模态参数识别（振型和相应自振频率)。在此图中，黑色的线显示加速度应变片连接着原始位置的未变形的状态，红色的线表示相对于自身模态的振动形状。请注意，端板的变形在图中未被显示。在图9，11和12中的符号Z-10，S-11等代表振动形态的特征。前面的S和A分别意味着车顶和车地板在在车体纵向中心相同和相反的方向的变形。Z用于当车顶和车底板的位移方向不明显，或当车顶和车地板的振幅非常地不同时的情况。J代表在车体壳的横截面剪切变形的模态形状。字母后面的数字由两部分组成。前者和后者分别代表在车顶和车地板观察到的的振动环数。注意，当振动的形状与J相关时将第二个数字省略，这是由于在这些振动试验车顶和车地板有相同数量的振动环。以赫兹为单位的数值显示了一定振动模式下的固有频率。图9、通过平稳振动实验得到的振型和相应自振频率基于ARX模型的固有频率特性和模态阻尼比被总结在表1中，并与基于传统FFT方法的识别相比。使用这两种方法得到的的固有频率和阻尼比非常接近。请注意，这两种方法（由于本文的篇幅，FFT得到的阵型被省略)得到的振型也非常类似，所以我们可以得出结论，所提出的方法是合适的。表2显示由不同阶的ARX模型得出的固有频率特性。括号中的数据表明固有模态是不能从其他模态中有效的分离出。在这项研究中，模式之间的依赖或关联由MAC（模态保证准则)确定，表二中括号用于频率的MAC值大于0.3的情况。由于模态J-1和 Z-10的固有频率接近该测试车，这两种模态在阶数M较小的情况下不能被清楚地分开。因此，应在M12的情况下进行模态参数识别，且这两种模态应符合表2。一般情况下，虽然较小的阶数从计算成本来看是可取的，但较大的阶数将得到更准确的模态参数识别；对M值上限的确定可以使用。此外，根据M的值变化，特征值的数量会增加，M值大时，虚假的模态往往出现。我们得出聚焦的模态特性可以在观察阻尼比和/或RPF这种情况下被识别。表一、运用传统方法得到的固有频率和模态阻尼比的比较表二、不同阶数ARX模型下的固有频率5. 运行条件下的多输入数据的分析 本节介绍了用运行试验得到的实测数据进行的模态分析。测试车，类似但不同于图1所示的车，它有不锈钢车体，车内部件和车下设备。在日本，普通铁路客车的车体由两个转向架支撑，每个转向架有两个轮对（每一轮对由一对车轮和一根车轴组成)，因此铁路车辆运行在八个车轮上。每一轮对是用两个装在其两端的轴承连接转向架构架。持有这些轴承的外壳被称为轴箱。车辆有八个轴箱。 我们知道一个运行的铁路车辆的垂向振动与垂直轨道不平顺是密切相关的。因此我们预计，轴箱的垂向加速度会随车轮所运行的轨道的不平顺状况而变化，这是由于车轮比汽车的橡胶轮胎有更高的刚度。因此，在此研究中，轴箱的垂直加速度被当做车体的输入信号。此外，由于铁路车辆运行在一对导轨（左、右)上，在同一轨道上的轴箱加速度值可以视为一定的时间延迟的相同信号。尽管输入信号包含八个组成部分（即八个轴箱的加速度)，与第二，第三和第四轮对相关的六个加速度可以用第一轮对上轴箱的加速度结合各自的时间延迟计算。我们选取车辆运行恒定速度为83km/h时，数据总长度为N=10000（50s)的一组时间序列数据进行分析。两个不同部位的平均估计误差(30s)的和的用来确定ARX模型的预测系数的阶数。图10显示计算的平均估计误差和。请注意，预测系数是由的样本数据确定。阶数M增加时，均减少。我们还观察到一种趋势，M大于一定值（约10)时增加。因此，确定运行情况下的阶数M = 10用以模态分析。图10、运行状态为83km/h下两部分的平均估计误差和它们的差值图11显示了运行速度为83km/h时，运用（30s)的测量数据进行的有垂向加速度的模态特性分析。要注意尽管加速度在运行测试中也被测量，在模态分析也要运用，但只有车体的振形被图11所展示。图12显示了用与图11中相同的车进行平稳振动试验，用得到的60s数据进行模态参数识别。根据以上图十所示的的类似研究，预测系数的阶数被确定为M = 12。除了模态J-1在稳态振动试验（图12)中未被得出，图11和12的模态和固有频率是几乎相同的。请注意，这两个条件下相对应模式的固有频率的差别小于3%。在稳态振动试验模式J-1缺失大概是由于选择了激发点；也就是说，平稳性试验中励磁机被设置在了车体的中心，这是J-1的模态的节点。图11、运行测试下车辆的振型和固有频率（V=83km/h)图12、静止振动试验下的车辆的振型和固有频率请注意，运行条件下车地板的加速度PSD（本文未说明)意味着模式J-1影响乘坐舒适性。它应该这样被理解，即由于激发器的放置原因，一些重要的模态在所获得的结果中未被显示。另一方面，这样的问题可以通过在运行测试中获得数据来进行模态分析来解决，因为这些数据包含影响运行条件下乘坐舒适性的所有模态。由于运行时激励输入由轨道条件确定，而不是人为决定，它并不总是能够获得包括有效长度弯曲振动的加速度数据。上述方法能够利用在运行过程中一个相对较短长度的测量数据来识别模态特性。6.结论本文叙述了运用一个多输入多输出（MIMO)的线性预测模型（LPM)对铁路车辆进行的模态特性研究。确定一个合适的模型阶数（即LPM模型预测系数的阶数)被从实际应用的角度着重讨论了。作者提出了用估计误差的均方根与测量输出的均方根相比得到的平均估计误差率来确定模型的阶。所提出的确定过程的一个显着特征是使用了分析数据的两个不同部位的平均估计误差率，一个用来确定预测系数，另一个用来检查结果的有效性。这两个部分的平均估计误差率的差值对估计模型阶数的上限很有效。利用所提出的方法，运用静止和运行测试得到的数据，可以成功的对模态特性进行识别。将在静止试验（单输入的情况下)中得到的特性与用传统的FFT程序得到的结果比较，然后与运行测试的结果（多输入条件)比较。在试验和错误中，模型的阶也能被逐步确定，但本文介绍了一种可以直接执行任务和实践合理的方法。由于将LPM作为一种工具来评估铁路车辆的振动，提出的测定过程提高了该分析方法的价值。未来的工作中，我们将不断获得铁路车辆的车体振动数据用来排序并讨论的平均估计误差率的阈值。谢 辞本篇论文参考了之前就读于Tokyo Metropolitan大学（现在在Odakyu Electric Railway Co.Ltd公司工作)的Masatoshi Itagaki在两位教授emeritus Kohei Suzuki和Takuya Yoshimura指导下完成的硕士论文中的资料。作者十分感谢他们的合作。对于Tokyu Car Corporation和Niitsu Rolling Stock Manufacturing in JR East这两家公司的员工在振动测量上的协助，作者也十分感谢。同时也感谢来自Toyohashi University of Technology大学的Shigenori Sano博士对于本文提出的关于模型定阶的宝贵建议参考文献(1) Tomioka T.和takigami T.，有野外便携式驱动器的铁路车辆垂向振动评价系统的开发（第一报告，从稳态振动测试估计运行车辆振动的数据处理法)，系统设计和动力学学报， 第二卷，6（2008)，12501261。(2) Tomioka T.和takigami T.，有野外便携式驱动器的铁路车辆垂向振动评价系统的开发（第二报告，实际的通勤车的激发试验)，系统设计和动力学学报，第2卷，6（2008)， 12621273。(3) Tomioka T.和takigami T.，使用线性预测模型对车辆的振动分析，RTRI报告，第15卷，5（2001)，3540。(4) Tomioka T.和takigami T.，使用线性预测模型对车辆的振动分析，系统设计和动力学2001会议记录（光盘)，15（2001-8)，711。(5) Tomioka T.和takigami T.，对三维结构铁路车辆振动特性的测量试验，运输与物流第十次会议（2001)，01-36（2001-12)，287290。(6) Tomioka T.和takigami T.，新型轻质车辆的弹性振动特性，RTRI报告，第16卷，5（2002)，2328。(7) Aida，K.，Tomioka T.和takigami T.，不同车体结构通勤车的振动模态特性的比较，第十四届铁路技术研讨会（2007)，（2007-12)，143146。(8) Suzuki， K.和kawanobe，K.，基于ARMA模态拟合的模态识别（第一报告，采用递归方法的标量方法)，日本机械工程师学会的交流，C系列，卷53，496（1987)，24452452。(9) Suzuki， 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