20152016高二数学理科期中试题带答案.docx

吉林省实验中学2015---2016学年度上学期 高二年级数学学科（理科）期中考试试题 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）方程 所表示的曲线是 (A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆 （2）两条直线 互相垂直，则 的值是 (A) (B) (C) 或 (D) 或 （3）已知点 在圆 上运动，则代数式 的最大值是 (A) 　 (B)－ 　 (C) 　　　 (D)－ （4）圆O1: 和圆O2: 的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C) 外切 (D) 内切 （5）已知实数 满足 ，则 的最大值为 (A) (B) 0 (C) (D) （6）若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称，则 的值分别为 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ， （7）已知直线l经过点M(2，3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截l所得弦长最长时，直线l 的方程为 (A) x－2y＋4＝0 (B) 3x＋4y－18＝0 (C) y＋3＝0 (D) x－2＝0
（8）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 12 ，它的长轴长等于圆x2＋y2－2x－15＝0的 半径，则椭圆的标准方程是
(A) x24＋y2＝1 (B) x216＋y212＝1 (C) x24＋y23＝1 ((D) x216＋y24＝1 （9） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆 上点 满足 . 若点 是椭圆 上的动点，则 的最大值为 (A) (B) (C) (D) （10）在三棱柱 中，底面是正三角形，侧棱 底面 ,点 是侧面 的中心，若 ,则直线 与平面 所成角的大小为 (A) (B) (C) (D) （11）椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ） (A) (B) (C) (D) （12）已知椭圆 ， 为其左、右焦点， 为椭圆 上任一点， 的重心为 ，内心 ，且有 （其中 为实数），椭圆 的离心率 (A) (B) (C) 　 (D)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）过点 且垂直于直线 的直线方程为 （14）若圆 的半径为 ，其圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标准方程为________
（15）在正方体 中， 是底面 的中心， 、 分别是 、 的中点．那么异面直线 和 所成角的余弦值为 （16）椭圆 的左．右焦点分别为 ，焦距为 ，若 与椭圆 的一个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分） 已知 、 为椭圆 的左、右焦点，过 做椭圆的弦 . （Ⅰ） 求证： 的周长是常数； （Ⅱ） 若 的周长为16，且 、 、 成等差数列，求椭圆方程．
（18）(本小题满分12分) 已知点 的坐标是 ，过点 的直线 与 轴交于 ，过点 且与直线 垂直的直线 交 轴与点 ，设点 为 的中点，求点 的轨迹方程．
（19）(本小题满分12分) 已知 ，求（Ⅰ） 的取值范围; （Ⅱ） 的最小值.
（20）(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上的动点， 是 中点 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若二面角 的大小是 ，求 的长．

（21）(本小题满分12分) 已知圆 直线 (Ⅰ)求证：直线 与圆C相交； (Ⅱ)计算直线 被圆 截得的最短的弦长．

（22）（本小题满分12分） 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上． （I）求椭圆的离心率； （II）点 在圆 上，且 在第一象限， 过 作圆 的切线交椭圆于 , 两 点，求证：△ 的周长是定值．
吉林省实验中学2015-2016高二上学期期中考试 数学学科（理科）答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）D （2）C（3）A （4）B （5）D（6）B （7）D （8）C （9）B （10）A （11）C（12）A 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13） （14） （15） （16） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17（本小题满分10分）解：（Ⅰ） （Ⅱ） 、 、 成等差数列 椭圆方程为 （18）解：设 ， ，
是 的中点， ， ， 若用斜率乘积为 ，需讨论分式的分母是否为 ，不讨论的扣 分（检验 求出直线上的不扣分） （19）解：（Ⅰ）三条直线的交点分别是 ，表示点 到 两点斜率的取值范围。 , 的取值范围是 （Ⅱ） 表示到可行域中的点的距离的平方最小值。 到直线 的距离的平方为 是最小的。
（20）（Ⅰ）证明：∵三棱柱 是直棱柱，∴ 平面 . 又∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ， 是 中点，∴ . 又∵ ∩ ， ∴ 平面 . （Ⅱ）解：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 , , . 设 ，平面 的法向量 ， 则 , . 且 ， .于是 所以 取 ，则 ∵ 三棱柱 是直棱柱，∴ 平面 . 又∵ 平面 ，∴ .∵ ， ∴ .∵ ∩ ， ∴ 平面 .∴ 是平面 的法向量， . ∵二面角 的大小是 ， ∴ . 解得 . ∴ . （21）（I）证明：圆的标准方程 ，圆心 ， 分 直线经过定点 分 点 在圆的内部，则直线和圆相交。 （II）当 垂直弦 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为 （22）（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是 ， ， ， ∵ 在椭圆上，代入椭圆方程得： ， ，椭圆的方程是 ， …（6分） （II）方法1：设 ，则 ， ， ∵ ，∴ ， 在圆中， 是切点， ∴ ， ∴ ， 同理 ，∴ ， 因此△ 的周长是定值 ． …………（12分） 方法2：设 的方程为 ， 由 ，得 设 ，则 ， ， ∴ ， ∵ 与圆 相切，∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∵ ，∴ ，同理 ， ∴ ， 因此△ 的周长是定值 ． …………（12分）

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