1、实数知识点一、【平方根】假如一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:。因此:1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0自身;2、当a0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:。3、当a0时,也即a为负数时,它不存在平方根。例1.(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ;(2) 的平方根是它自身。(3)若的平方根是2,则x= ;的平方根是 (4)当x 时,故意义。(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?这个正数是多少?知识点二、【算术平方根】: 1、假如一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数
2、x就叫做a的算术平方根,记为:“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:。3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表达为:;而平方根具有两个互为相反数的值,表达为:。例2.(1)下列说法对的的是 ( )A1的立方根是; B; (C)、的平方根是; ( D)、0没有平方根; (2)下列各式对的的是( )A、 B、 C、 D、(3)的算术平方根是 。(4)若故意义,则_。(5)已知ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围
3、。(7)假如x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.(8)求下列各数的平方根和算术平方根.64; ; 0.0004; (25)2; 11. 1.44, 0,8, , 441, 196, 104(9)()2等于多少?()2等于多少?(10) ()2等于多少?(11)对于正数a,()2等于多少?我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) =_,=_;(2) (2)=_,=_;(3) =_,=_;(4) (4)_,=_.知识点四、【立方根】: 1、假如x的立方等于a,那么,就称x是a的立方根,或者三
4、次方根。记做:,读作,3次根号a。注意:这里的3表达的是根指数。一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。2、平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才干有平方根。例3.(1)64的立方根是(2)若,则b等于( ) A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000(3)下列说法中:都是27的立方根,的立方根是2,。其中对的的有 ( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个知识点五、【无理数】: 1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,无理数
5、的表现形式重要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率以及具有的一些数,如:2-,3等;(2)开方开不尽的数,如:等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01(两个1之间依次多1个0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:等;无理数也不一定带根号,如:2、 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以当作是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。例4.(1)下列各数:3.141、0.33333、0.3(相邻两个3之间0的个数逐次增长2)、其中是有理数的有;
6、是无理数的有。(填序号)(2)有五个数:0.125125,0.,-,其中无理数有 ( )个A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、【实数】:1、有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.2、实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左
7、边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.(1)下列说法对的的是( );A、任何有理数均可用分数形式表达 ; B、数轴上的点与有理数一一相应 ;C、1和2之间的无理数只有 ; D、不带根号的数都是有理数。(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式故意义的是( )b0aA、 B、 C、 D、(3)如右图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点相应的实数是和-1,则点C所相应的实数是( )A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1(
8、4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为( )A B. C . D.(5)比较大小(填“”或“”).3 , , , ,(6)将下列各数:,用“”连接起来;_。(7)若,且,则:= 。(8)计算: (9)已知:,求代数式的值。基础练习一一、选择题1.下列数中是无理数的是( ) A.0.12 B. C.0 D.2.下列说法中对的的是( )A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数3.下列语句对的的是( )A.3.88是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数4.在直角ABC中,C
9、=90,AC=,BC=2,则AB为( )A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能拟定5.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为( ) A.小数B.分数C.无理数 D.不能拟定 6.的化简结果是( ) A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算术平方根是( ) A.3 B.3 C. D. 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中,对的的是( )A.B.=0.6 C.=13D.=610.72的算术平方根是( ) A. B.7 C. D.411.16的平方根是( ) A.4 B.24 C. D.212.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是( )
10、A.a+2 B.2 C.+2 D.a2+213.下列说法对的的是( )A.2是4的平方根 B.2是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平方根是2 D.8的平方根是414.的平方根是( ) A.4 B.4 C.4 D.215.的值是( ) A.7 B.1 C.1 D.716.下列各数中没有平方根的数是( )A.(2)3 B.33 C.a0 D.(a2+1)17.等于( ) A.a B.a C.a D.以上答案都不对18.假如a(a0)的平方根是m,那么( )A.a2=m B.a=m2 C.=m D.=m19.若正方形的边长是a,面积为S,那么( )A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.
11、a= D.S= 二、填空题1.在0.351, ,4.969696, 6., 0,5.2333, 5.中,无理数的个数有_.2._小数或_小数是有理数,_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数,_整数,_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长_有理数;面积为4的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_; 6.()2的算术平方根是_; 7.一个正数的平方根是2a1与a+2,则a=_,这个正数是_; 8.的算术平方根是_; 9.92的算术平方根是_; 10.的值等于_,的平方根为_; 11.(4)2的平方根是_,算术平方根是_.三.判断题 1.0.01是0.1
12、的平方根.( ) 2.52的平方根为5.( ) 3.0和负数没有平方根.( ) 4.由于的平方根是,所以=.( ) 5.正数的平方根有两个,它们是互为相反数.( )四、解答题 1.已知:在数,,3.1416,0,42,(1)2n,1.中,(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数; 2.要切一块面积为36 m2的正方形铁板,它的边长应是多少? 3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a15,求这个数. 分母有理化1分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2有理化因式:两个具有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不具有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式拟定方法如下:单
13、项二次根式:运用来拟定,如:,与等分别互为有理化因式。两项二次根式:运用平方差公式来拟定。如与,分别互为有理化因式。例题:找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法与环节:(1)先将分子、分母化成最简二次根式;(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题:把下列各式分母有理化 例题:把下列各式分母有理化:(1) (3) (4) 【练习】1找出下列各式的有理化因式 2把下列各式分母有理化 3计算 4比较大小与 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;6.计算
14、: (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) ;1. 计算(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 专题讲解:类型一有关概念的辨认1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数,初中重要学习了四类:含的数,如:等,开方开不尽的数,如等;特定结构的数,例0.010 010 001等;某些三角函数,如sin60,cos45 等。判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如是有理数,而不是无理数。例1下面几个数:0.23 ,1.,3,其中,无理数的个数有( )A、1 B、2 C、3 D、4例2.(2023年浙江省东阳县) 是 A无理数 B有理数 C整数 D负数 举一
15、反三:1.在实数中,0,3.14,中无理数有( ) A1个 B2个 C3个 D4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a0,则a的平方根是,a的算术平方根;若a0,则ab=1;()2把下列各数分别填入相应的集合里|3|,213,1234,,0,, , ()0,32,1.中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知1x2,则|x3|+等于()(A)2x(B)2(C)2x(D)24下列各数中,哪些互为相反数?哪些互为倒数?哪些互为负倒数?3, 1, 3, 03, 31, 1 +, 3互为相反数: ;互为倒数: 互为负倒数: *5已知、是实数,且(X)2和2互为相反数,求,y的值6.
16、若,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2,则+4m-3cd= 。*7已知0,则= 。三、解题指导:1下列语句对的的是()(A)无尽小数都是无理数 (B)无理数都是无尽小数(C)带拫号的数都是无理数 (D)不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一相应的数是()(A)整数 (B)有理数 (C)无理数 (D)实数4.假如a是实数,下列四种说法:(1)2和都是正数; (2),那么一定是负数,(3)的倒数是; (4)和的两个分别在原点的两侧,几个是对的的()(A)0(B)1(C)2(D)3*5比较下列各组数的大小:(1) (2) (3)ab0时, 6若a,b满足=0,则的值是 *7实数a,
17、b,c在数轴上的相应点如图,其中O是原点,且|a|=|c|(5) 鉴定a+b,a+c,c-b的符号(6) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点A表达数1,若AB3,则点B所表达的数为 9已知x0,且y|x|,用连结x,x,|y|,y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么?11(2023广东茂名,9,3分)对于实数、,给出以下三个判断: 若,则 若,则 若,则 其中对的的判断的个数是( )A3 B2 C1 D012若的值在两个整数a与a+1之间,则a= *13.数轴上作出表达,的点。四独立训练:10的相反数是,3的相反数是, 的相反数是;的绝
18、对值是,0的绝对值是,的倒数是2数轴上表达32的点它离开原点的距离是。A表达的数是,且AB,则点B表达的数是。3,(1),01313,2cos60, 31 ,1 (两1之间依次多一个0),中无理数有 ,整数有 ,负数有 。4. 若a的相反数是27,则a| ;5若|a|,则a= 5若实数x,y满足等式(x3)24y0,则xy的值是 6实数可分为()(A)正数和零(B)有理数和无理数(C)负数和零 (D)正数和负数*7若2a与1a互为相反数,则a等于()(A)1 (B)1 (C) (D)8当a为实数时,=a在数轴上相应的点在()(A)原点右侧(B)原点左侧(C)原点或原点的右侧(D)原点或原点左侧*9代数式的所有也许的值有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)无数个10已知实数a、b在数轴上相应点的位置如图(1)比较ab与a+b的大小(2)化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的相应点如图所示,其中试化简:2*12已知等腰三角形一边长为,一边长,且(2)2920 。求它的周长。13若3,5为三角形三边,化简: