2023年高一数学必修基本初等函数知识点总结归纳.doc

必修必修 1 1 第二章基本初等函数第二章基本初等函数()知识点整理知识点整理 2.12.1指数函数指数函数 2.1.12.1.1 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 假如,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表达；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表达，负的n次方根用符号na表达；0 的n次方根是0；负数a没有n次方根 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a 根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，(0)|(0)nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没故意义 注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0,)rsr saaaar sR ()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR 2.12.1.2.2 指数函数及其性质指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0 xya a且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a 定义域 R 值域（0,+）过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1 xay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)a变化对 图象的影 响 在第一象限内，a越大图象越高，越靠近 y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近 x轴 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近 y 轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近 x 轴 2.22.2对数函数对数函数【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算（1）对数的定义 若(0,1)xaN aa且，则x叫做认为a底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数 负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式:log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e）（4）对数的运算性质 假如0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog()aaaMNMN 减法：logloglogaaaMMNN 数乘：loglog()naanMMnR logaNaN loglog(0,)bnaanMM bnRb 换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且 【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域(0,)值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx a变 化 对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近 x轴 在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近 y轴 在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近 x 轴 在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近 y 轴(6)反函数的概念 设函数()yf x的定义域为A，值域为C，从式子()yf x中解出x，得式子()xy假如对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一拟定的值和它相应，那么式子()xy表达x是y的函数，函数()xy叫做函数()yf x的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx（7）反函数的求法 拟定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式()yf x中反解出1()xfy；将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质 xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x logayx 原函数()yf x与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称 函数()yf x的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域 若(,)P a b在原函数()yf x的图象上，则(,)P b a在反函数1()yfx的图象上 一般地，函数()yf x要有反函数则它必须为单调函数 2.32.3幂函数幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：假如0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数假如0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中,p q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数 图象特性：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方 补充知识二次函数补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 一般式：2()(0)f xaxbxc a顶点式：2()()(0)f xa xhk a 两根式：12()()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x更方便（3）二次函数图象的性质 二次函数2()(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa 顶点坐标是24(,)24bacbaa 当0a时，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减，在,)2ba上递增，当2bxa 时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,2ba 上递增，在,)2ba上递减，当2bxa 时，2max4()4acbfxa 二次函数2()(0)f xaxbxc a当240bac 时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),|M xM xM Mxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,x x，且12xx令2()f xaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置：2bxa 判别式：端点函数值符号 kx1x2 xy1x2x0aOabx20)(kfk xy1x2xOabx2k0a0)(kf x1x2k xy1x2x0aOabx2k0)(kf xy1x2xOabx2k0a0)(kf x1kx2 af(k)0 0)(kfxy1x2x0aOk xy1x2xOk0a0)(kf k1x1x2k2 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2 xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2 有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kf xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数2()(0)f xaxbxc a在闭区间,p q上的最值 设()f x在区间,p q上的最大值为最大值为M，最小值为，最小值为m，令01()2xpq（）当0a时（开口向上）若2bpa，则()mf p 若2bpqa，则()2bmfa 若2bqa，则()mf q ff()2bfaff()2bfaff()2bfa 若02bxa，则()Mf q 02bxa，则()Mf p ()当0a时(开口向下)若2bpa，则()Mf p 若2bpqa，则()2bMfa 若2bqa，则()Mf q 若02bxa，则()mf q 02bxa，则()mf p ff()2bfa0 xff()2bfa0 xff()2bfaff()2bfaff()2bfa0 xff()2bfaff()2bfa0 x