初中数学竞赛中的轴对称.doc

初中数学竞赛中的“轴对称”
陆 腾 宇
（江苏省常熟市昆承中学，215500）

许多数学问题所涉及的对象具有对称性，轴对称是常见的形式之一．我们利用轴对称的性质，在探求几何最值、解决生活实际问题等方面有着奇妙的作用．
1 利用轴对称计算角的度数
例1 如图，在中，，为形内一点，使得,．求的度数．
（2005，北京市中学生数学竞赛（初二））
解 由，得，．
作于D，延长CM交BD于点O，连结OA．
易知BD是的对称轴．
所以，
，
．
所以．
又,所以．
又，所以≌．
故．
由于，从而．
因此，．
例2 如图，在中，，是BC边上的一点，，．试求的度数．
解 作关于AD的轴对称图形，
则，，所以．
易知．
故，
．
连结CE，因为，所以≌≌．
设O为AE与DC的交点，则．因为，于是．
又，则．
所以，．
2 利用轴对称求线段的长度、证明线段相等
例3 如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B．4 C． D．6
（2010，四川省初中数学联赛（初二））
解 如图，根据轴对称的性质，的斜边是四边形EFGH的周长．
而直角边分别是矩形边长的两倍，又矩形
对角线与矩形两边构成直角三角形，因此四边
形EFGH的周长是矩形对角线长的2倍．

例4 如图，在的边AB、AC上
分别取点Q、P，使得．
求证：．
证明：因为．
则
．
作点P关于BC的对称点，连结、．
于是，．
所以B、、C、Q四点共圆．
于是，则．
故（夹在平行弦间）．
因此，．

3 利用轴对称求图形的面积
例4 如图，在中，，I是、的平分线AD与BE的交点．已知的面积为12．则四边形ABDE的面积等于 ．
（2004，北京市中学生数学竞赛（初二））
解 分别作点E、D关于AD、BE的对称点F、G，
则点F、G在AB上，连结IF、IG．
易知．
由轴对称的性质知，，，
．
所以．
作于H，于K．易证≌．所以．
故，即．
因此．
例5 在四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积．
解 如图，有，，
，，
于是有．
故，在Rt中，．
在中，
．
所以．
因此，．
4 利用轴对称探求几何最值
例6 如图，，P为角内一点，，两边上各有点Q、R（均不同于O），则的周长的最小值为 ．
（2001年第12届“五羊杯”邀请赛试题）
解 分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连结MN交OA、OB于Q、R，则△PQR即为符合
条件的三角形．
如图，由轴对称的性质知，
而，
所以△ABC的周长．

例7 河岸同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为m、m（即图1中所示m，m），m．现欲在河岸边建一个长度为s m的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．
（1）在图2中画出绿化带的位置，并写出画图过程；
（2）求的最小值．
（2006，第20届江苏省初中数学竞赛）

解 （1）如图3，作线段，使，且点P在点A的右侧．取点P关于的对称点，连结交于点D，在上点D的左侧截取，则CD即为所求的绿化带的位置．
证明 如图3，设绿化带建于另一位置．
连结、、、．则由对称性
知，，．
由CD及AP，知，．
但，
即．就是．
（当且仅当在线段与的交点时等号成立）
所以，这样画出的最小．
（2）的最小值即为线段的长度．
延长，作于H，，则BH，．
所以．
即的最小值为．
练 习 题

1．（1）已知A、B两点在直线MN的同侧，在MN上求一点P，使PA与PB的和最小；
（2）若A、B两点在直线MN的两侧，在MN上求一点，使、中较长一条与较短一条的差最大．
提示：作法（1）如图1，作点A关于MN的对称点，连结，交MN于点P，则点P即为所求。
（2）如图2，作点B关于MN的对称点，连结并延长，交MN于点，则即为所求．

2．如图，矩形中，cm，cm ，若在、上各取一点M、N，使的值最小，求这个最小值．
（1998，北京市初中数学竞赛）
解：如图，作点B关于直线AC的对称点，交AC于E，过作于N交AC 于点M，则M、N即为所求的点．
由，得．
所以．
易证∽．所以．
于是 故的最小值为16cm．
3．在中，，，O为形内一点，，．求的度数．
提示： 作于H，因为，所以平分，
即．
延长交AH于P，则．
连结，由对称性知，．
所以．
因此，．
在和中，，，．
所以≌．故．因为，
所以．
4．在中，，，D是边BC上一点，．
求证：．
（2008，我爱数学初中夏令营数学竞赛）
提示：如图，延长BC到E，使．由题设知，则，即是等腰三角形．过点A作于点M，则M为边BE的中点．取BD的中点F，则．连结AF．
在Rt中，
．

5． 在矩形ABCD中，，，E、F分别是AB、DC上的点．则折线AFEC长的最小值为 ．
（2009，全国初中数学联赛四川省初赛）
提示：如图，分别作点A、C关于DC、AB的对称点、．连结分别交AB、DC于点、，连结、．过作延长线的垂线，垂足为．
又，则由勾股定理知
．
故．
当点E、F分别与、重合时，取到最小值．
6．在直角坐标系中，已知两点A（，3）、B(，5)以及动点C(0，n)、
D(m，0)，则当四边形ABCD的周长最小时，比值为（ ）
A． B． C． D．
（2004，第19届江苏省初中数学竞赛（初三））
提示：如图，设点A关于轴的对称点为，点B关于轴的对称点为，则，．所以，当点C、D均在直线上时，四边形ABCD的周长最小，即为．设直线的方程为，因为、在直线
上，故有，解得．
即的方程为．从而知点，D(，0)，即，．
所以．故选C．

在中，，形内的点P满足，．证明：AP是的三等分线．
（1994，中国香港数学奥林匹克）
解：如图，以边BC的中垂线为轴，作的轴对称，连结AD、CD、PD．易知四边形ABCD为等腰梯形，则A、B、C、D四点共圆．
因为，所以．
在上述圆中，可得．于是，DA=AB=DC=AP．
故是正三角形，且D是的外心．
此时，．故．

已知在中，，，点A关于BC的对称
点是，点B关于AC的对称点是，点C关于AB的对称点
是．若的面积是1，则的面积是 ．
连结，并延长交于点D，交AC于点E．由题设
，，AC∥，，
，，得．
故．