2015高中数学必修4经典习题含答案.doc

第三章经典习题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．sin2－cos2的值为(　　)
A．－　　　 B.　　　
C．－　　　 D.
[答案]　C
[解析]　原式＝－(cos2－sin2)＝－cos＝－.
2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是(　　)
A.3 B．π
C．2π D．4π
[答案]　B
[解析]　f(x)＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，故T＝＝π.
3．已知cosθ＝，θ∈(0，π)，则cos(＋2θ)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　C
[解析]　cos(＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.
4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.
[答案]　D
[解析]　tan(α－β)＝＝＝.
5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是(　　)
A. B.
C. D．1＋
[答案]　A
[解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.
6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
[答案]　B
[解析]　y＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)，∴ymax＝－.
7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝(　　)
A．－1 B．－
C. D.
[答案]　D
[解析]　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是(　　)
A. B．2
C．4 D.
[答案]　B
[解析]　＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则||＝＝，故||的最大值为2.
9．函数y＝的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C. D.
[答案]　C
[解析]　y＝＝tan(2x＋)，∴T＝.
10．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
[答案]　D
[解析]　f(x)＝sin2x－＝－(1－2sin2x)＝－cos2x，∴f(x)的周期为π的偶函数．
11．y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是(　　)
A．[－，] B．[，π]
C．[π，π] D．[，]
[答案]　B
[解析]　y＝sin(2x－)－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－(sin2xcos＋cos2xsin)＝－sin(2x＋)，其增区间是函数y＝sin(2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．
12．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log()2等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案]　C
[解析]　由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得，∴，
∴＝5，
∴log()2＝log52＝4.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.
[答案]　2
[解析]　原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.
14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为______．
[答案]　
[解析]　∵α为锐角，∴<α＋<，∵cos＝，∴sin＝；
∴sin＝2sincos＝，
cos(2α＋)＝cos(α＋)2－sin2(α＋)＝
∴sin＝sin＝sincos－cossin＝.
15．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α＝________.
[答案]　
[解析]　cos2α＝2cos2α－1＝得cos2α＝，由cos2α＝1－2sin2α＝得sin2α＝(或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝)，代入计算可得．
16．设向量a＝(，sinθ)，b＝(cosθ，)，其中θ∈(0，)，若a∥b，则θ＝________.
[答案]　
[解析]　若a∥b，则sinθcosθ＝，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，)，∴θ＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．
[解析]　因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.
又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－＝－，
所以＝＝＝＝－.
18．(本题满分12分)设x∈[0，]，求函数y＝cos(2x－)＋2sin(x－)的最值．
[解析]　y＝cos(2x－)＋2sin(x－)
＝cos2(x－)＋2sin(x－)
＝1－2sin2(x－)＋2sin(x－)＝－2[sin(x－)－]2＋.
∵x∈[0，]，∴x－∈[－，]．
∴sin(x－)∈[－，]，
∴ymax＝，ymin＝－.
19．(本题满分12分)已知tan2θ＝2tan2α＋1，求证：cos2θ＋sin2α＝0.
[证明]　cos2θ＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝＋sin2α＝－sin2α＋sin2α＝0.
20．(本题满分12分)已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，c＝(－1)，其中x∈R.
(1)当a⊥b时，求x值的集合；
(2)求|a－c|的最大值．
[解析]　(1)由a⊥b得a·b＝0，即coscos－sinsin＝0，则cos2x＝0，得x＝＋(k∈Z)，∴x值的集合是{x|x＝＋，k∈Z}．
(2)|a－c|2＝(cos－)2＋(sin＋1)2
＝cos2－2cos＋3＋sin2＋2sin＋1
＝5＋2sin－2cos＝5＋4sin(－)，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.
21．设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋)＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。
[解析]　f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos2x－sin2x＋(1－cos2x)＝－sin2x
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝＝π
(Ⅱ)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x
当x∈，(x＋)∈g(x)＝g(x＋)＝sin2(x＋)＝－sin2x
当x∈时，
(x＋π)∈　g(x)＝g(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x
得：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(1－tanx)·[1＋sin(2x＋)]，求：
(1)函数f(x)的定义域和值域；
(2)写出函数f(x)的单调递增区间．
[解析]　f(x)＝(1－)(1＋sin2xcos＋cos2xsin)＝(1－)(2sinxcosx＋2cos2x)＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.
(1)函数f(x)的定义域{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2.
∴函数的值域为(－2,2]
(2)令2kπ－π<2x≤2kπ(k∈Z)得kπ－<x≤kπ(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ－，kπ](k∈Z)．