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专题一：推理与证明
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
数学归纳法
间接证明
比较法
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
知识结构
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
M
·a S
用集合的观点来理解：若集合中的所有元素都具有性质,是的一个子集,那么中所有元素也都具有性质P.
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
专题二：数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位；
⑵复数的代数形式；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
3、相关公式
⑴
⑵
⑶
⑷
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
4、复数运算
⑴复数加减法：；
⑵复数的乘法：；
⑶复数的除法：
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）
5、常见的运算规律
设是1的立方虚根，则，
6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做复平面的实轴，轴叫做复平面的虚轴.
专题三：排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事情共有种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个排列.
⑵组合定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个组合.
⑶排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素的排列数，记作.
⑷组合数：从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数，叫做从个不同的元素中任取个元素的组合数，记作.
⑸排列数公式：
①
；
②，规定.
⑹组合数公式：
①或；
②，规定.
⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
⑻排列与组合的联系：，即排列就是先组合再全排列. ⑼排列与组合的两个性质性质
排列；组合.
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.
3、二项式定理
⑴二项展开公式： .
⑵二项展开式的通项公式：.主要用途是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如
在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.
⑷的展开式：，
若令，则有
.
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即
⑸二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设第项的系数最大，由不等式组
可确定.
⑺赋值法
若
则设 有：
①
②
③
④
⑤
专题四：随机变量及其分布
知识结构
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.
当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等于事件分别发生的概率的和，即
.
⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.
对立事件的概率和等于1. .
特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.
⑶相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.
当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于事件分别发生的概率的积.即
.
若A、B两事件相互独立，则A与、与B、与也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好发生次的概率
⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.
公式：
2、离散型随机变量
⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母等表示.
⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.
若是随机变量，是常数）则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布（分布列）
设离散型随机变量可能取的不同值为，…，，…，，
的每一个值（）的概率，则称表
…
…
…
…
为随机变量的概率分布，简称的分布列.
性质：① ②
⑵两点分布
如果随机变量的分布列为
0
1
则称服从两点分布，并称为成功概率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
其中，于是得到随机变量的概率分布如下：
0
1
…
k
…
n
…
…
我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，并称p为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是
⑷超几何分布
一般地, 在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下：
0
1
…
…
其中,.
我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称随机变量服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量的分布列为
…
…
…
…
则称
为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
性质：①
②若服从两点分布，则
③若，则
⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为
…
…
…
…
则称
为离散型随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越差，波动越大，取值越分散.
性质：①
②若服从两点分布，则
③若，则
专题五：矩阵与变换
重要知识要点
五种特殊变换
1.旋转变换
关于X轴对称
2.反射变换 关于Y轴对称
关于Y=X对称
纵轴伸缩
3.伸缩变换 横轴伸缩
横纵均伸缩
关于X轴正投影
4.投影变换 关于Y轴正投影
关于AX+BY=0投影
5.切变变换 沿X轴平行方向移ky个单位
沿Y轴平行方向移kx个单位
有关矩阵的乘法
1． 矩阵A= 与=相乘
=
= ===
复合变换
若向量先经过矩阵A再经过矩阵B变换后
（矩阵相乘没有交换律）
若AC=AB 但 （没有消去律）
若 为单位矩阵
应掌握的重要题型：已知曲线经过矩阵变换后得曲线
逆矩阵 （五种特殊变换，除了投影变换外其他都有逆矩阵）
已知 矩阵A= 求逆矩阵
若 =则
A有逆矩阵=
为单位矩阵 为零矩阵
用逆矩阵求二元一次方程组
已知 A= 为二元一次方程组的系数矩阵
这二元一次方程组可写成 =
=
已知
（其中是不全为0的常数） 则此二元一次方程组有非0解的充要条件是 =0
特征值与特征向量
已知A= = 求特征值、特征向量和
令 =0 解出
当 当
是A属于的一个 是A属于的一个
特征向量 特征向量
设 得
=
专题六：坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
r
q
O
图1
M
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
注：
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、极坐标与直角坐标的互化
设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：
r
q
q
r
cos
=
x
q
r
sin
=
y
2
2
2
r
=
+
y
x
)
0
(
tan
¹
=
x
x
y
q
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
y
y
x
O
M
H
N
（直极互化 图）
4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图1）
②以为圆心，
为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图2）
③以为圆心，
为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）
⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是和. （如图1）
②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图2）
③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图4）
5、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆的参数方程为 （为参数）；
（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；
椭圆的参数方程为 （为参数）；
（3）双曲线的参数方程 （为参数）；
双曲线的参数方程 （为参数）；
（4）抛物线参数方程 为参数，）；
参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.
8、参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.
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