冯慈璋马西奎综合项目工程电磁场导论课后重点习题解答.doc

122、求下列状况下，真空中带电面之间电压。(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为和（），每单位长度上电荷：内柱为而外柱为。解：同轴圆柱面横截面如图所示，做一长为半径为（）且与同轴圆柱面共轴圆柱体。对此圆柱体外表面应用高斯通量定理，得 考虑到此问题中电通量均为即半径方向，因此电通量对圆柱体先后两个端面积分为0，并且在圆柱侧面上电通量大小相等，于是 即 ， 由此可得 123、高压同轴线最佳尺寸设计高压同轴圆柱电缆，外导体内半径为，内外导体间电介质击穿场强为。内导体半径为，其值可以自由选定但有一最佳值。由于太大，内外导体间隙就变得很小，以至在给定电压下，最大会超过介质击穿场强。另一方面，由于最大值总是在内导体表面上，当很小时，其表面必然很大。试问为什么值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中束缚电荷可以脱离它分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受最大电场强度就称为该材料击穿强度）。解：同轴电缆横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷电量为，则内外导体之间及内导表面上电场强度分别为 ， 而内外导体之间电压为或 即 ， 133、两种介质分界面为平面，已知，且分界面一侧电场强度，其方向与分界面法线成角，求分界面另一侧电场强度值。解：， 依照 ，得， 于是： 142、两平行导体平板，相距为，板尺寸远不不大于，一板电位为0，另一板电位为，两板间布满电荷，电荷体密度与距离成正比，即。试求两极板之间电位分布（注：处板电位为0）。解：电位满足微分方程为 其通解为： 定解条件为：； 由得 由得 ，即 于是 143、写出下列静电场边值问题：（1）、电荷体密度为和（注：和为常数），半径分别为与双层同心带电球体（如题143图（a）； （2）、在两同心导体球壳间，左半某些和右半某些分别填充介电常数为与均匀介质，内球壳带总电量为，外球壳接地（题143图b）；（3）、半径分别为与两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度电量为，外圆柱面导体接地（题143图（c）。 由于对称并假定同轴圆柱面很长，因而介质中电位和及无关，即只是函数，因此 电位参照点： ； 边界条件：，即 173、在无限大接地导体平板两侧各有一种点电荷和，与导体平板距离均为，求空间电位分布。解：设接地平板及和如图（a）所示。选始终角坐标系，使得轴通过和且正轴方向由指向，而，轴方向与轴方向符合右手螺旋关系且导体平板表面在，平面内。计算处电场时，在（）处放一镜像电荷，如图（b）所示，用其等效在导体平板上感应电荷，因而计算处电场时，在（）处放一镜像电荷如图（c）所示，用其等效在导体平板上感应电荷，因而175、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距近来点和最远点电荷面密度。解：由于两根导线为长直平行导线，因而当研究它们附近中部电场时可将它们当作两根无限长且平行直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴位置及坐标如图所示。由于对称 而 设负电轴到点距离矢量为，正电轴到点距离矢量为（点应在觉得半径两个圆之外），则点电位为 两根导体之间电压为，因而右边圆电位为，即 由此可得 于是 由于两根导线带异号电荷互相吸引，因而在两根导线内侧最接近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。 18、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1）、（2）、（3）、（4）、解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中表达式不同。（1）、（2）、 （3）、 （4）、 解：（1）、设内球中电位函数为，介质介电常数为，两球表面之间电位函数为，介质介电常数为，则，所满足微分方程分别为 ， 选球坐标系，则由于电荷对称，因此和均与、无关，即和只是函数，因此 ， 定解条件为： 分界面条件： ； 电位参照点： ； 附加条件：为有限值（2）、设介电常数为介质中电位函数为，介电常数为介质中电位函数为，则、所满足微分方程分别为 ， 选球坐标系，则由于外球壳为一种等电位面，内球壳也为一种等电位面，因此和均与、无关，即和只是函数，因此 ， 分界面条件： 由分解面条件可知 。令 ，则在两导体球壳之间电位满足微分方程为 电位参照点： ； 边界条件：，即 （3）、设内外导体之间介质介电常数为，介质中电位函数为，则所满足微分方程分别为 ， 选球柱坐标系，则 194、一种由两只同心导电球壳构成电容器，内球半径为，外球壳半径为，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是和，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。解：以球形电容器心为心做一种半径为球面，并使其介于两导体球壳之间。则此球面上任意一点电位移矢量为 电场强度为 而电场能量密度为 球形电容器中储存静电场能量为=195、板间距离为电压为两平行板电极浸于介电常数为液态介质中，如图所示。已知液体介质密度是，问两极板间液体将升高多少？解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示坐标，设平板电容器在垂直于纸面方向深度为，则此电容器电容为 电容中储存电场能量为 液体表面所受力为 此力应和电容器中高出电容器之外液面液体所受重力平衡，由此可得 即 25、内外导体半径分别为和圆柱形电容器，中间非抱负介质电导率为。若在内外导体间加电压为，求非抱负介质中各点电位和电场强度。 解：设圆柱形电容器介质中电位为，则 选取圆柱坐标，使轴和电容器轴线重叠，则有 假定电容器在方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数只能是函数，因而所满足微分方程可以简化为 即 ， 两边再积分得电位通解 定解条件：， 将电位函数通解带入定解条件，得由上述两式解得 ， 于是 而 27、一导电弧片由两块不同电导率薄片构成，如图所示。若西门子/米，西门子/米，厘米，厘米，钢片厚度为2毫米，电极间电压，且。求： 、弧片内电位分布（设轴上电极电位为0）； 、总电流和弧片电阻；、在分界面上，与否突变？、分界面上电荷密度。 解：（1）、设电导率为媒质中电位为，电导率为媒质中电位为，选用柱坐标研究此问题。由于在柱坐标中电极上电位和及无关，因而两某些弧片中电位也只是函数，即由上边两式可得、通解分别为 此问题定解条件是： （a） （b）（c） （d）依照上述四式可得， ， 联立以上四式解得， ， 于是 （2）、依照 得 又，因而 而 （3）、由于电流密度法向分量在分界面上持续，且在此题目中电流密度只有法向分量，因而 。分界面处电场强度等于分界面处电流密度与电导率比值，又，因而 。对于导电媒质中电流场，媒质介电常数一律为，因而。（4）、 211、以橡胶作为绝缘电缆漏电阻通过下属办法测定：把长度为电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可测得电流。有一段米长电缆，浸入后加电压，测得电流为。已知绝缘层厚度和中心导体半径相等，求绝缘层电阻率。解： 设导体电位高于盐水电位，则绝缘层中漏电流密度为：而绝缘层中电场强度为： 设导体半径为，电缆绝缘层外半径为，则导体和盐水之间电压为：即 将已知数据代入上式，得 321、一半径为长圆柱形导体，被一同样长度同轴圆筒导体所包围，圆筒半径为，圆柱导体和圆筒导体载有相反方向电流。求圆筒内外磁感应强度（导体和圆筒内外导磁媒质磁导率均为）。解：求解此问题可将圆柱导体和圆筒导体视为无限长。在垂直于平面上以轴和此平面交点为心做一半径为圆，设方向和符合右手螺旋关系。由安培环路定律得：式中为中包括电流，其方向与符合右手螺旋关系时为正，否则为负。考虑到在上大小相等，方向为切线方向，则有 即 ， 而 ， 当时，有 而 当时，有 而 当时，有 因而 333、在恒定磁场中，若两种不同媒质分解面为平面，其上有电流线密度，已知，求。解：设区域中磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为、；区域中磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为、。由已知条件得：； ； 由分解面条件得：； ；将已知条件代入，得：； ； 而 于是 343、已知电流分布为为常数，求矢量位和磁感应强度（注参照点选为处）。 解：设区域中矢量磁位为，区域矢量磁位为，则、所满足微分方程分别为： 考虑到电流密度只有分量，矢量磁位也只能有分量，上两可改写为 选圆柱坐标系，上两式变为 由于电流密度不随和变化，因此矢量磁位也不随和变化，因而上述两式可简化为 （1） （2）（1）、（2）两式通解分别为 （3） （4）定解条件： 附加条件：当时，应为有限值；参照点处矢量磁位为0，即 分解面条件：；依照定解条件，得： （5） （6） （7） （8）即 联立上述三式解得：； ；于是 由柱坐标中旋度公式可得：361、在磁导率半无限大导磁媒质中距媒质分界面2cm有一载流为10A长直细导线，试求媒质分界面另一侧（空气）中距分界面1cm处点磁感应强度。解：此题如图1所示，图中，（设其方向和正z轴方向一致）求空气中磁场等效模型如图2所示。图中而 372、有一截面为正方形铁磁镯环，均匀绕有匝导线，镯环内外半径分别为和，高，求线圈自感系数。解：做一种半径为圆，使此圆所在平面在正方形铁磁镯环两个端面之间，且与端面平行，圆心在铁磁镯环轴线上。设线圈匝数为，依照安培环路定理，得 对于此题，在上述所做圆上磁场强度大小处处相等，方向沿圆切线方向，于是上述积提成果为 即 ， 磁通为 线圈磁链为 再由，得 373、如图所示，求真空中：（1）、沿Z轴放置无限长直线电流和匝数为1000矩形回路之间互感；（2）、如矩形回路及其他长度所标尺寸单位，不是米而是厘米，重新求互感。解：(1)、在，半平面内 设互感磁通方向如图中所示，则 与线圈交链总互感磁链为 而 （2）、如图中尺寸单位为厘米时381、求无限长同轴电缆单位长度内导体和外导体之间区域内所储存磁场能量。设内导体半径为，外导体很薄，半径为，内导体和外导体之间媒质磁导率为，电缆中电流为。 解：设同轴电缆横截面及内导体中电流方向如图所示，则内外导体之间磁场强度为（取圆柱坐标，使z轴和同轴电缆轴线一致，其方向和方向相似） ， 而 由 得 而 3 82、在题3 72镯环线圈中，通以电流。求磁场能量：（1）、用求解； （2）、用求解。解： 运用题3 72某些成果，有 ， ， （1）、 （2）、 41、长直导线中通过电流，一矩形导线框置于其近旁，两边与直导线平行，且与直导线共面，如图所示。（1）、设，求回路中感应电动势（设框尺寸远不大于正弦电流波长）。（2）、设，线框环路以速度向右平行移动，求感应电动势。（3）、设，且线框又向右平行移动，再求感应电动势。解：取电动势和磁通方向如图所示，选柱坐标且使z轴与线电流重叠，方向与电流方向一致。 （1）、线圈不动，电流随时间变化： 由于和符合右手螺旋关系，因此 （2）、电流不变，线圈运动： 取积分途径方向和电动势方向一致，则 （3）、电流和线圈位置都随时间变化： 42、已知一种有损耗媒质中电流密度，若媒质，求位移电流密度。解：用相量表达电流密度，则 电场强度为 电位移相量为 而 因此 45、由圆形极板构成平板电容器如图所示，两极板之间布满电导率为、介电常数为、磁导率为非抱负介质。把电容接到直流电源上，求该系统中电流及电容器极板之间任意一点坡印亭向量，并证明其中消耗功率等于电源供应功率。解：忽视边沿效应后有， 电容中任意一点坡印亭矢量为：电流为： 电源提供功率为：电容消耗功率为：上式中，和分别是电容器外表面、介质与上极板分界面、介质与下极板分界面和电容器外侧面。由于在介质与导体分界面处，导体一侧电场强度为0，因此47、已知空气中电场强度为 求相应和。解： 由 ，得 623、已知自由空间中电磁场电场分量表达式为 这是一种什么性质场？试求出其频率、波长、速度、相位常数、传播方向及表达式。解：此场为一种沿负z轴方向传播均匀平面波。， 624、某电台发射电磁波，在离电台足够远处可以以为是平面波。设在某一点，某瞬间电场强度为，求该点瞬间磁场强度。若沿电磁波传播方向前行，到达另一点，问该点要迟多少时间才具备此电场。解：空气可以视为抱负介质，设电磁波沿方向传播，因而 设电磁波传播到点时间为，点坐标为，则 即 于是 依照抱负介质中磁场强度和电场强度关系，有 当，时，有设电磁波传播到点时间为，点坐标为。根据题意可得即 将带入上式，得 依照上式，可得 631、均匀平面波在海水中垂直向下传播，已知，海水，在处 求：（1）、海水中波长及相位速度；（2）、处，和表达式；（3）、由表面到深处，每立方米海水中损耗平均功率。解：由于，因此此时海水为良导体。（1）、； （2）、 在处 （3）、 633、设一均匀平面电磁波在一良导体内传播，其传播速度为光在自由空间波速1且波长为0.3mm，设煤质磁导率为，试决定该平面电磁波频率及良导体电导率。 解： ，而在良导体中： ， 由上两式得： 即 而 ， 78、已知传播线在时分布参数为：；，。试求传播线特性阻抗，衰减常数，相位常数，传播线上波长及传播速度。解：特性阻抗衰减常数和相位常数： 由此可见 ， 波速和波长： ， 742、特性阻抗，长度为无损耗传播线，输出端接有负载，输入端接有内阻为、电压为电源。试求：（1）、传播线输入端电压；（2）、负载吸取平均功率；（3）、负载端电压。解：（1）、传播线输入阻抗为 （2）、负载吸取平均功率 由于传播线是无损线，因此负载吸取平均功率等于传播线始端输入平均功率 （3）、负载端电压 717、长度为无损耗线联接如题717图。其特性阻抗为。若要使电源发出最大功率，试决定集中参数值及电源内阻。解： 当 时电源发出功率最大，由此可得 即 ，