大学毕业论文-—一致收敛性及应用.doc

齐 齐 哈 尔 大 学毕业设计（论文）题 目 一致收敛性及应用学 院 理学院专业班级 数学与应用数学专业 数学092班学生姓名 黄晓杰指导教师 郑大钊成 绩 2013年 6月20日摘要 对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。本文利用定义来简单的介绍一致收敛性，利用柯西一致收敛准则，证明函数项级数一致收敛的判别法。通过研究定理当中，函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性以及含参变量广义积分的一致收敛性的一致收敛的充分必要条件、一般性质和判别方法，对比出三者之间的联系。通过例题，说明了一致收敛是和函数的充分分析性质，而不是必要条件。由此我们可以看出，在数学分析教学中，合理恰当的例题会更好的展现出定理。关键词：函数列；函数项级数；含参变量广义积分；一致收敛AbstractStudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. Using the definition of simple introduction to the uniform convergence. Using the Cauchy criterion of uniform convergence, Prove discriminance of uniform convergence in series of functions. Through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in uniform convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. Through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a necessary condition. From this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.Keyword: sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters；uniform convergence目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 函数列的一致收敛性2 1.1 函数列的一致收敛性定义 1.2 函数列的一致收敛性定理 一致收敛的充分必要条件 函数列一致收敛的性质 函数列一致收敛的判别法第2章 函数项级数的一致收敛性23 函数项级数的一致收敛性定义25 函数项级数的一致收敛性定理 一致收敛的充分必要条件 函数项级数一致收敛的性质 一致收敛判别法 第3章 含参变量广义积分的一致收敛性 含参变量广义积分的一致收敛性定义 含参变量广义积分的一致收敛性定理 一致收敛的性质 一致收敛的判别法结论32参考文献33致谢34绪论 本文从函数列、函数项级数、含参变量广义积分三类的一致收敛性的定义出发，来研究一致收敛性的一系列定理及应用。 函数列的极限来表示函数是函数表达的一种很重要的手段，特别是表达非初等函数的重要的数学工具。所以，研究函数的解析性质可以利用函数列的解析性质，而函数列的一致收敛性是我们学习的高等数学中的一个比较精细的概念，对于初学者，本文给出了详细的解析。一致收敛是保证和函数连续的重要条件，它也是保证和函数可积和可微的重要条件。函数项级数又是研究函数性质的一个很重要的手段。因此，在自然科学、工程技术和数学本身，函数项级数都有很广泛的应用。同样的，我们讨论含参变量广义积分的分析性质，一致收敛也发挥着重要作用。在数学分析发展迅速的今天，越来越多的数学教育工作者开始研究一致收敛性，并且取得了丰硕的成果。2006年马雪雅、齐晓波的函数列的收敛与一致收敛中，用函数列的收敛与一致收敛关系讨论数学分析中的收敛问题；2010年陈妙玲的函数项级数一致收敛判别法将数项级数收敛的一些判别法推广到判别函数项级数的一致收敛上来；2003年王秀红的含参变量广义积分一致收敛Heine定理当中，从二元函数一致极限的角度出发，给出了含参变量广义积分的一致收敛的Heine定理的证明及应用。对这些性质的理解与归纳，主要通过与之相关的图书、电子期刊以及所学知识归纳总结得到，本文的重点是一致收敛性的判别方法，并运用这些方法解决常见的数学问题。第1章 函数列的一致收敛性 函数列的一致收敛性，表现了函数列在整个点集上的整体性质。1.1 函数列的一致收敛性定义 定义 设函数列与函数均定义在点集X上，若对0，都存在自然数N和xX，恒有成立，则称函数列在点集X上一致收敛于。 从定义中可以知道，如果函数列在点集X上一致收敛于，那么在点集X上收敛于。定义 设函数序列的每个函数及函数定义在上，如果对任给的，存在自然数N，使得时，对一切成立 ，则称在上一致收敛于。函数序列在上一致收敛于，从几何上来讲：对任给的，存在自然数N，使得nN时，曲线都落在以曲线与为边（也就是以曲线为“中心线”，宽度为）的带形区域内。定义 设函数列在区间收敛于极限函数，若，有。则称函数列在区间一致收敛于极限函数。1.2函数列的一致收敛性定理1.2.1一致收敛的充分必要条件定理 在点集上一致收敛于的充分必要条件是。证明：充分性，自然数,当时，恒有成立，故对于任何的，都有成立，根据定义，在上一致收敛于。必要性，由于在上一致收敛于，故存在自然数,当 时，都有成立，因此有成立，依据定义。定理 在点集上一致收敛于的充分必要条件是对任意数列，都有。证明：必要性任取,则对任意自然数，都有成立，又由已知定理1，再依据数列极限的性质，可知充分性（反证法）假设在上不一致收敛于，即存在，对任意自然数,都存在和,使成立，对于，存在，和，使成立，对于存在和，使成立，对于，存在和，使成立，现在取，使得。于是，对任意自然数k，均有成立。由此可以知道，不收敛于0，而它是的子列，根据数列与其子列的关系定理，不收敛于0，这与已知相矛盾。定理 在点集上一致收敛的充分必要条件是对任意，都存在自然数，当时，恒有成立。证明：先证必要性 对任意，因为在上一致收敛，不妨设收敛于，于是，存在自然数，当时，恒有成立。因此，当和时，恒有成立，所以，恒有成立。再证充分性对于任意，由已知，存在自然数，当时，恒有成立。于是，对于任一，当时，恒有成立，根据柯西收敛准则，数列收敛，那么，函数列在上收敛，不妨设收敛于。因此，对任意自然数和，都有，根据数列极限的性质，存在自然数，当，和时，对任意自然数，都有成立。1.2.2 函数列一致收敛的性质定理 设与在点集上分别一致收敛于与，则在上一致收敛于。定理 设与在点集上分别一致收敛于与，且与均在上有界，则在上一致收敛于，且在上有界。定理设在点集上一致收敛于，又在有界，则在上一致收敛于。例如，在内一致收敛于，而在内有界，根据定理5，在内一致收敛于。并且，本定理当中的在上有界，也是不能缺少的。定理 设在点集上一致收敛于0，又在上往后一致有界，则函数列在上一致收敛于0.定理设与在上分别一致收敛于与，且在上有界，又存在，使对任意，都有成立，则在上一致收敛于，且在上有界。例3 试证在内一致收敛于。证明：因为与在内分别一致收敛于与，又有界，且，依据定理，在内一致收敛于。在定理当中的在上有界，以及存在，使对任意，都有成立，全都是不可缺少的。定理设存在，使在内一致收敛于，又存在自然数，使对任意，都有，则，即，说明极限号与可以交换次序。推论 设存在，使在内一致收敛于，又存在自然数，使对任意，都有，则，即，说明极限号与可以交换次序。定理设在有限区间上一致收敛于，又存在自然数。当，对任，均在上可积，那么，即说明积分号与极限号可以交换次序。定理设存在自然数。当，函数均在有限区间上有连续的导数，函数列在是那个收敛于，在上一致收敛于，则在上有连续的导数，即，说明求导数号与极限号可以交换次序。又在上一致收敛于。 注（ 前面介绍的函数列的一致收敛性的充分必要条件、性质，都能够作为判定函数列的一致收敛性的方法，有的可以判定函数列的一致收敛性，有的可以判定函数列的非一致收敛性，有的两种都可以判断。）1.2.3一致收敛的判别法在本节当中，判别法只是对函数列的一致收敛性的补充。定理设函数列在上收敛于，且在上连续，又存在自然数，使时，对任意，都有（或）成立，且都在上连续，则在上一致收敛于。定理 若存在自然数N，当时，都在左（或右）连续，又不存在，则对任意，在（或）内都不一致收敛。定理（Dini定理）设是一有界闭区间，连续函数且满足下列条件：1）函数序列是单调的，即，；2）函数序列在上逐点收敛于一连续函数，那么，函数序列在是一致收敛于函数。在之后的函数项级数的一致收敛性与含参变量广义积分的一致收敛性的判别法当中，它也是一个很重要的定理。第2章 函数项级数的一致收敛性2.1 函数项级数的一致收敛性定义定义 设函数级数的部分和函数列在点集上收敛于，即对任意和，都存在自然数，当时，恒有成立，则称函数级数在点集上收敛于，称为函数级数在上的和函数。定义设函数级数的部分和函数列在点集上一致收敛于，即对任意，都存在自然数，当和时，恒有成立，则称函数级数在点集上一致收敛于。由定义我们可以知道，若函数级数在点集上一致收敛于，则在上收敛于。还有，若级数收敛于，则当把它看作是函数级数时，在任意点集上都一致收敛于。定义 设函数项级数在区间收敛于和函数。若，有。若和函数在区间的图像是一条连续的曲线，那么函数项级数在区间一致收敛于和函数的几何意义是，无论给定的以曲线与为边界的带形区域怎样窄，总存在正整数，任意一个部分和的图像都位于这个带形区域之内。2.2 函数项级数的一致收敛性定理2.2.1 一致收敛的充分必要条件定理 在点集上一致收敛于的充分必要条件是。例1 研究在上和内的一致收敛性。解 显然在内收敛于。 = = =0，=1定理 在点集上一致收敛于的充分必要条件是对任意数列，都有。例2 试证在内不一致收敛。证明：显然在内收敛于。 现在取，则 ， 依据定理2，在内不一致收敛。定理 在点集上一致收敛的充分必要条件是对任意，都存在自然数，当和是，对任意自然数，都有 = =成立。推论：设在点集上一直收敛，则在上一致收敛于0.例3 试让在内不一致收敛。证明：显然在内收敛于。取，则，根据定理2，在内不一致收敛。再根据本推论，在内不一致收敛。2.2.2函数项级数一致收敛的性质定理 设级数在的某个空心领域里一致收敛，则收敛，且。此定理也可以称为逐项取极限定理。定理 假定函数在区间里单调增加，并且，又假定在里逐点收敛，并且有上界，那么在里一致收敛，并且。这是函数项级数一致收敛的一般性质，下面本文给出和函数的分析性质。a 和函数的连续性定理 若函数项级数在区间一致收敛于和函数，且，在区间连续，则和函数在区间也连续。 和函数的连续性定理还有三种叙述方式，在定理6中，可以得出，在函数级数一致收敛的条件下，极限运算与和运算可以交换顺序。b 和函数的可微性与逐项求导 如果要证明在区间上可微，且可以逐项求导，即在上， ，只需要证明三条就可以了：1） 级数在上收敛；2） 在上有连续导数；3） 在上一致收敛。注：逐项求导的定理中的条件，只是充分条件，在条件不满足时，也可以利用导数的定义证明和函数的可微性。c 逐项积分与积分号下取极限定理 若函数项级数在一致收敛于和函数，且，在连续，则和函数在可积，且。从上述当中的三个定理，可以了解到收敛的和函数在一致收敛的条件下，若收敛的函数项级数每一项都有分析性质，那么，和函数也有同样的分析性质，但是，一致收敛不是和函数保持同样分析性质的必要条件。定理 设与在点集上分别一致收敛于与，则在上一致收敛于。定理 设在点集上一致收敛于，在上有界，则在上一致收敛于。2.2.3一致收敛判别法判别函数项级数的一致收敛性，通常有以下几种方法：利用定义；利用Cauchy准则；利用常用的几种判别法；利用一致有界与等度连续等。定理 （Cauchy一致收敛准则）函数项级数在区间一致收敛,有。例4 证明函数项级数在上非一致收敛。证明：只需要证明它的通项 在上非一致收敛于0，即，有。 于是，函数项级数在上非一致收敛。定理（M判别法）（Weierstrass判别法）有函数项级数，是区间。若存在收敛的正项级数，有，则函数项级数在区间一致收敛。定理（De Lickley判别法） 若级数满足下面的条件：1) 函数列对每个是单调的，且在区间一致收敛于；2) 函数项级数的部分和函数列在区间一致有界。则函数项级数在区间一致收敛。定理（Abel判别法）若级数满足下面两个条件：1） 函数列对每个是单调的，且在区间一致有界；2） 函数项级数在区间一致收敛。则函数项级数在区间一致收敛。定理（Dini定理）设每个在有穷闭区间上连续而且非页，若在处处收敛于连续函数，则在闭区间上一致收敛。 根据函数项级数的一致收敛性定义和定理，我们总结出函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性的区别（表2-1）： 表2-1函数项级数在区间一致收敛于有非一致收敛于有第3章 含参变量广义积分的一致收敛性3.1.含参变量广义积分的一致收敛性定义定义 若当时，对一致收敛，则称积分对一致收敛。3.2含参变量广义积分的一致收敛性定理3.2.1一致收敛的性质定理（连续性定理）设在，连续，积分对一致收敛，则。定理（积分顺序交换定理）设在，连续，积分对一致连续，则。定理（积分号下求导数定理） 设，在，连续，存在，对一致收敛，则在有连续导数，且。例1 求。解1：令 ，则 = =于是令，得 ，。因此 。 运用此方法需要满足以下三个条件：1） 被积函数及其对的偏导数作为，的二元函数在，连续；2） 当时收敛；3） 对于任给的，时一致收敛。解2 由于，所以 = = =运用此方法需满足两个条件：1）对任意，连续；2），积分对一致收敛。3.2.2一致收敛的判别法定理（M判别法） 设任意，有，且收敛，则对一致收敛。定理 设（1）对一致收敛； （2）对任意固定的是的单调函数，存在常数，对任意，有。则积分对一致收敛。定理 设（1）存在正常数，对任意，有；（2）对任意固定的，是的单调函数，时，对有，则积分对一致收敛。定理 对一致收敛的充分必要条件是：任给，存在，（与无关），只要，就有对任意成立。注：此定理不仅可以判别积分是否收敛，还是判别积分一致收敛的充要条件的定理。在判定含参变量广义积分的一致收敛性当中，还有Wells Dreas定理、Heine定理等。定理8 含参变量广义积分在区间上一致收敛和，都有。结论在数学分析当中，我们把按照一定规律排成的一列函数，叫做函数列。那么，函数项级数也就是一列无限个函数的求和。它们之间的关系可以这样叙述：对函数列的求和，就变成了函数项级数；而把函数项级数的每一项都拿出来，而组成的一组函数，就是函数列。函数项级数与含参变量广义积分之间的桥梁是Heine定理，此外，在判别法上也有很多相同的判别法。比如：Weierstrass判别法、Abel判别法、M判别法、De Lickley判别法等。本文主要从函数列的一致收敛性、函数项级数的一致收敛性、含参变量广义积分的一致收敛性进行研究，讨论它们的定义、性质、判别法等，进而给出了证明和例题，最后讨论了它们之间的联系由于本人知识有限，在本文当中仍有许多不足和遗漏之处，例如，三者之间的区别等或其它方面仍有待进一步发掘。参考文献吕通庆. 一致连续与一致收敛（第一版）.北京:人民教育出版社.廖可人,李正元.数学分析.(第三册)(第一版).北京:高等教育出版社.裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京：高等教育出版社,宋国柱，任国贤.数学分析教程下册(第一版) .南京: 南京大学出版社,刘玉琏，林玎.数学分析讲义(第五版) .北京:高等教育出版社欧阳光中.简明数学分析(第一版) .上海:复旦大学出版郭大钧，陈玉妹，裘卓明.数学分析.济南:山东科学技术出版社金玮.函数列一致收敛的判定方法.甘肃联合大学学报（自然科学版）刘秀梅.一类函数列一致收敛性的研究.赤峰学院学报（自然科学版）毛一波.函数项级数一致收敛性的判定.重庆文理学院学报（自然科学版）陈妙玲.函数项级数一致收敛判别法.长春理工大学学报王秀红.含参变量广义积分一致收敛的Heine定理.烟台师范学院学报（自然科学版）赵文强.关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究.重庆工商大学学报（自然科学版）.Haitao Cai . Uniform Convergence of Sequence of Homomorphism Functions in the Unite Disk. Complex Variables and Elliptic Equations,2002,Vol.47(1),pp.17-23. E. W. Chittenden Relatively uniform convergence of sequences of functions. Transactions of the American Mathematical Society,1914,Vol.15(2),pp.197-201.J. Klippert , G. Williams. Uniform convergence of a sequence of functions at a point . International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,2002,Vol.33(1),pp.51-58.K.Tandori. On convergence of function series.Analysis Mathematic,1975,Vol.1(1)致谢在论文即将完成之际，首先，我要感谢我的论文指导老师郑大钊老师，在搜集资料、整理写作、修改定稿中得到了郑大钊老师的悉心帮助与指导。虽然我的论文初稿还有很多欠缺的地方，郑大钊老师仍细心帮助我改正，对于不懂的知识也是耐心的指导。通过这一段时间的接触，使我受益匪浅。同时，也要感谢帮助我的同学和朋友。总之，顺利的完成论文，得益于老师、同学、朋友的无私帮助和鼓舞。在此，感谢老师、同学、朋友的帮助。