简化Volterra级数的S模式信号失真恢复.pdf

114现代导航2024年简化Volterra级数的S模式信号失真恢复宫峰勋，刘焘（中国民航大学电子信息与自动化学院，天津30 0 30 0）摘要：机场场面多点定位利用S模式信号到达时间差实现目标定位。针对S模式信号易受接收系统内部非线性影响和机场场面复杂电磁干扰的问题，研究S模式信号失真恢复方法。根据S模式信号频谱特征和接收基站弱非线性记忆系统特征简化Volterra级数，降低计算量的同时满足Volterra级数关键核函数对S模式信号非线性失真表示能力，得到S模式信号失真恢复模型。仿真结果表明：3阶简化Volterra级数模型恢复15dB和0 dBS模式信号前导脉冲的失真前波形，误差仅有2.2 3%和12.59%，且模型在典型运用环境下满足一定的适用性、抗干扰性和稳定性，为S模式信号到达时间戳的准确提取提供基础。关键词：多点定位；S模式信号；到达时间；简化Volterra级数；非线性失真中图分类号：TN851文献标识码：A文章编号：16 7 4-7 97 6-(2 0 2 4)-0 2-114-0 8Mode-S Signal Distortion Recovery Based on Simplified Volterra SeriesGONG Fengxun,LIU TaoAbstract:The multi-point location of the airport scene uses the arrival time dfference of the mode-s signal to realize thetarget location.Aiming at the problem that the mode-s signal is susceptible to the internal nonlinear influence of the receiving systemand the complex electromagnetic interference of the airport,the method of restoring the distortion of the mode-s signal is studied.According to the spectrum characteristics of mode-s signal and the characteristics of the weak nonlinear memory system of thereceiving base station,the Volterra series is simplified,and the ability of the key kernel function of Volterra series to represent thenonlinear distortion of mode-s signal is reduced.The distortion recovery model of mode-s signal is obtained.The simulation resultsshow that the 3-order simplified Volterra series model can recover the pre-distorted waveforms of the leading pulses of 15 dB and0 dB mode-s signals,and the errors are only 2.23%and 12.59%.The model meets certain applicability,anti-interference and stabilityin typical application environment,which provides a basis for accurate extraction of arrival time stamps.Key words:Multilateration;Mode-S Signal;Time of Arrival;Simplify Volterra Series;Nonlinear Distortion目标位置 1-2 。但接收基站内部易受到谐波失真、互0引言多点定位系统（Multilateration，M LA T）的多个地面接收基站协同工作，接收S模式信号并估计其到达时间（Timeof Arrival，T O A），进而解算出收稿日期：2 0 2 3-12-31。宫峰勋（196 5.0 6），吉林九台人，硕士，教授，主要研究方向为电磁辐射与电磁兼容、民航通信导航监视及多源数据融合等。调、增益压缩等非线性影响，导致接收的S模式信号失真，进而造成TOA解算误差 3-4。为了解决这一问题，研究者提出多种非线性失真信号恢复方法。包括非线性预失真回退方法，但大规模的功率回退会降低系统效率 5，非线性模块线性补偿和记忆校正，但需事先知道各模块传递函数 ，以及对非线性失真提取与补偿，但时延滞后信号不利于TOA的提取 7 。第2 期频域Volterra级数是一种广泛用于弱非线性记忆系统建模方法，可以通过先验输入输出数据对频域核进行非参数识别建模，满足S模式信号实时恢复需求 8 。但建模阶数上升和记忆存储长度增长导致待辨识的系数急剧增多，一般最多只用3阶传统Volterra级数建模 9，故一些简化Volterra级数方法相继被提出。例如截断法 10 、记忆多项式模型!、正交三角分解12-13 等，这些方法多考虑的是“近对角线”结构移除长记忆时延分量和带有记忆的高阶分量，或者用一组基函数表示Volterra 核函数，会降低Volterra 级数对非线性系统的表示能力。若系统输入信号已知，一些基于输入信号频谱特征简化Volterra 级数方法也被提出。例如一种基于准正弦输入信号的频谱特征简化Volterra级数方法，但不适用于类似方波的S模式信号失真建模 14。本文基于S模式信号频谱特征和MLAT接收基站弱非线性记忆系统特征，提出一种新颖的基于方波频谱规律简化Volterra级数方法，用于对接收基站的S模式信号非线性失真建模，恢复S模式信号失真前波形。并分析该模型的精确度、计算复杂度、适用性、抗干扰性与稳定性等。最后用实测信号验证了该模型对于恢复失真前波形的有效性。1 简化 Volterra 级数S模式应答信号的4个前导脉冲格式固定，可以将其视为周期性的方波，与一串方波信号的频谱特征具有相似性 15。方波研究比较简单，故用方波替代S模式信号输入到非线性系统，研究针对输出的简化Volterra级数方法，从而构建起非线性失真模型。当得到输出波形的时候，可通过简化Volterra级数模型反推恢复无失真的输入波形。输入方波形式如式（1）所示U ume()=Zu(q)P(t-qT)q-1式中：T是脉冲重复宽度；P是方波脉冲序列P=1,0,1,0,1,0,1,0。方波波形如图1 所示。图1方波波形宫峰勋等：简化Volterra级数的S模式信号失真恢复I(m)=2I(m)d=1I(m)=输入输出信号频谱U（j n o）和I（j mo）简化表示为U(n)和I(m)，其中n和m分别表示输入输出频谱分量的谐波次数，满足n+.+na=m。第m次输出谐波由d阶子系统的贡献总和组成，贡献过程由输入信号的d个频谱分量乘积与H加权得到，d个频谱分量乘积被称为组合频率产物，加权系数H被称为核函数。向系统输入一组适当的先验信号并得到响应，用矩阵表示为I=WH,核函数H通过H=(WW)WI得到。当已知待验证输入信号的失真输出信号，可反推输出的频率组合产物及其对应的核函数，从而恢复出无失真的输入信号，构建起用输出信号恢复输入信号的非线性系统模型。式（2）前D阶所需要计算的核函数总数为14 Ctot,ind式（3）可以看出若信号的谐波项越多，即N值越大，建模阶数越高，即D值越大，那么待辨识核函数个数将会巨大，造成维数灾难影响建模，所以要对式（2）进行简化。简化的机理是基于输入信号的频谱规则选择对输出影响较大的组合频率产物，并计算其对应的核函数，在尽量减少核函数数量的前提下，保证模型精度。由方波频谱图可知第三周期的衰减比为10 dB左右，对一个占空比50%(1)的方波傅里叶变换可以知道前5次谐波在前3周期之内，对估计方波波形影响较大。故可用前5次谐波（及共轭项）组成d阶组合频率产物的大部分（前d-1项），得到组合频率产物如式（4）所示：dITU(n,)U(p)U(p2).U(pa-)U(n)p=1115.1.1基于方波简化Volterra 级数非线性输出I的广义频率响应函数的Volterra级数频域表达式，如式（2）所示(2)dp=1P(N+d-1)!Ctot,ind=台(N-1)!d!(3)(4)116满足-5Pl,P Pa-5，即d阶组合频率产物的前d-1项由前5次谐波及其共轭项组成。且满足 pi+p2+.+pa-i+n=m,即 U(p)U(p,).U(Pa-1)与自由谐波项U(n)组成的组合频率产物是对输出谐波I(m)的贡献。但由式（4）可看出高阶组合频率产物的数乘运算会加剧数值的衰减。为了避免这种情况，尽量使用幅值较高的谐波构成组合频率产物。方波信号的各次谐波幅值呈梯度下降，低次谐波的幅值较高，故对越高阶的组合频率产物用越低次谐波项来构成，故对谐波次数p的约束如式（5）所示：d=2:Pi=-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5d=3:P,P2=-4,-3,2,-1,1,2,3,4d=4:P,P2,P;=-3,-2,1,1,2,3d=5:P1,P2,P3,P4=-2,1,1,2d 6:i,P2.d-=-1,1若阶数d=2,则p是-5pi5的所有可能情况；若d=3，则pl,P,是-4Pl,Pz4的所有可能组合，以次类推。当d6，则pl,P2,Pa-的取值只可能是-1或1，这里的数字表示谐波次数。综上得到简化Volterra级数模型如式（6）所示I(m)=ZI(m)Dd=1-NnN.U(p,)U(p2).U(Pa-)U(n)满足：Pi+P2+.+Pd-i+n=md=2:P,=-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5d=3:P1,P2=-4,-3,-2,-1,1,2,3,4d=4:Pr,P2,P;=-3,-2,-1,1,2,3 d=5:Pl,P2,P3,P4=-2,-1,1,2d 6:r,P2.,d-=-1,1式（6）输入和输出信号的频谱为U和I，组合频率产物是U(p)U(p2).U(pa-1)U(n)，所对应的核函数为 H(Pi,P2.,Pa-,n)。由式（6）得到前D阶的核函数总数为Cior，表示如式（7）所示现代导航NPCtotN+Nd=2(13-2d)!(d-1)!(12-d)!N+Nd=2(13-2d)(d-1)!比较传统Volterra级数模型与简化Volterra级数模型所需要的核函数总数，删除对称核穴余，核函数数目比较如表1所示。可看出简化Volterra级数模型大幅减少待辨识核函数个数，特别是对于多谐波项和高阶模型。表1核函数数目比较谐波项个数/个10(5)阶数/阶传统模型核函数个数/个简化模型核函数个数/个1.2简化Volterra级数验证从讨论方便的角度考虑将MLAT 接收基站的非线性等效为最简非线性电路模型141,如图2 所示。电路由电压源、线性电阻、非线性铁芯电感等组成。基于该电路构建简化Volterra 非线性失真恢复模型。R(6)U(t)图2 最简非线性系统电压源电压与铁芯电感的电流的关系如式（8）所示doU+IRdt已知铁芯电感的励磁H-B曲线如式（9）所示H=27.85B-32.72 B3+45.20 BS(9)由电路的铁芯电感系数 14：长度为50 mm、匝数为10 0、横截面为10 cm和电阻系数为50 Q，结合磁通量磁链和电压电流关系得到描述非线性的2024年D=1(12-d)!2D6DNd D7d-720385382.59e91343871(t)(7)3839092.88e14304857(8)第2 期输入电压与输出电流关系的传递函数为F(Z)=F(U,I)，如式（10)所示1=0.1392g16.358g+2260gsF(U,I)=dU=+6.9623g817.9g3+113000gsdt由F(Z)生成先验数据，构建Volterra级数模型。由式（2）和式（6）得3阶Volterra级数模型的m次输出谐波的核函数Hm=(W.WI）W mIm个数均小于50，为满足矩阵满秩求逆过程，向系统输入方波为Usquare=AmUsquare(n)，A 从15 40 等间隔取出50组变化幅值方波，取值覆盖全部非线性区域。方波输入到图2 非线性系统得到变化的传递函数F(Z)，从而输出50 组失真的输出数据。由输入输出数据作为先验数据构建得到3阶传统和简化Volterra级数模型。为评估Volterra 级数模型精度，设一个待验证方波信号为Usquare=30.Usquare(n），频谱如图3（a）所示，将待验证方波输入到图2 非线性系统，由传递函数F(Z)得到失真输出电流I，将输出电流波形代入到Volterra模型得到恢复输入波形，最后通过比较恢复输入波形与真实输入波形的各个谐波谱精度评估模型。因方波频谱较宽导致验证过程较复杂，所以只取前9次谐波谱验证，如图3（b)所示，失真输出电流的前9次谐波频谱如图3（c）所示。161412108642OLLL宫峰勋等：简化Volterra级数的S模式信号失真恢复(10)线性模型3阶简化Volterra模型1013阶传统Volterra模型%/本柔1010-110210-30123456789谐波/次（a）各次谐波的恢复误差对比1170.30.250.20.150.10.050-500进行线性建模、传统Volterra级数3阶建模和基于方波频域特征简化Volterra级数3阶建模，用恢复波形相较于真实波形的各次谐波精度来评估模型。得到恢复波形相较于实际波形的各次谐波误差率对比图如图4（a）所示，核函数数量对于提升恢复精度的核收益率如图4（b）所示。简化模型与传统模型的恢复精度相近，但是简化Volterra级数3阶建模所用到的核数目降低了7 4%，核收益率提升3.8 倍。验证了基于方波频谱特征简化Volterra级数建模能大幅降低计算量，且能准确描述非线性失真过程，恢复波形误差较低。0频率/Hz（c）输出电流前9次谐波谱图3方波输入输出谱500A一3阶简化Volterra模型2000-1500-1000161412108642-5005000500100015002.000(a）输入方波频谱频率/Hz0（b）输入方波前9次谐波谱0.70.60.50.40.30.20.100123456789谐波/次500(b)核收益率图4各次谐波恢复误差对比图和核函数收益图e-3阶传统Volterra模型1182S模式信号失真恢复及性能分析前面验证了算法可以精确构建与S模式信号频谱相似的一串方波作为输入的非线性失真模型，现将输入信号变为S模式信号，构建S模式信号非线性失真模型，通过模型恢复失真前波形，并结合实际环境对模型进行性能分析。2.1S模式信号前导脉冲失真恢复输入S模式信号有固定格式，数学模型为128/240U,(t)=U(q)P(t-qT)q=1式中：T为脉冲重复宽度；P是S模式矩形脉冲，P=1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0。同样的先构建Volterra级数模型。由式（6）得18阶简化Volterra级数模型的m次输出谐波的核函数Hm=(W.Wm）W mIm个数均小于10 0,为满足矩阵满秩求逆过程，向非线性系统输入信号为U,=AmU,(n)，A m 从15到40 等间隔变化获取10 0组输入数据。输入到图2 非线性系统得到变化的传递函数F(Z)，从而输出10 0 组失真的输出数据，由输入输出数据作为先验数据构建得到1 8 阶简化Volterra 级数模型。这里用一个实例来验证简化Volterra级数模型恢复输入信号的精度。待验证S模式信号U,=17.U,(n)输入到图2 非线性系统，由系统函数F(Z)得到输出波形。由输出波形代入到 1 8 阶简化Volterra级数模型得到恢复输入波形，在实际接收机带宽为2 0 MHz限制条件下得到恢复输入信号的各次谐波误差率、波形整体误差率如图5所示。302510501图5各次谐波误差及整体误差率现代导航总体来看，3阶模型能达到较好精度，3阶模型之后再随着阶数上升精度变化不大，其原因是本文考虑的是弱非线性系统，对于非线性程度较强的系统，则可能需要用高阶建模才能达到较好的恢复精度 14。现从时域波形的角度观察恢复波形精度。首先得到待验证S模式信号失真前后的第一个前导脉冲归一化波形对比如图6（a）所示。基于计算量考虑采用3阶简化Volterra级数模型得到S模式信号前2个前导脉冲的时域恢复波形和第一个前导脉冲放大上升沿波峰部分如图6（b）所示。(11)10.80.60.40.200（a）第一个前导脉冲的失真前后波形17.2时间/s1716.816.62.5直流项基波项13次频点25次频点%17次频点19次频点1.511次频点113次频点115次频点117次频点19次频点0.5e一整体波形a会导致波形的畸变和滞后，严重影响TOA的提取。23456阶数/阶2024年一失真前输入波形失真后输出波形0.20.4时间/us-*-3阶简化Volterra模型恢复输入波形一失真前输入波形16.40.05图6 恢复波形与实际输入波形对比由图6（a)可以看出非线性失真造成波形误差，780.6161412100.10.15（b）第一个前导脉冲的时域恢复波形由图6（b）可看出3阶简化Volterra级数模型恢复波形相当接近失真前波形。恢复波形的上升沿与真实输入波形的上升沿基本重合，波形整体误差小于0.80.50.20.25时间/us10.30.350.4第2 期0.32%，说明用简化Volterra级数构建的非线性失真恢复模型较准确，恢复波形能准确反映实际波形的到达时间。2.2适用性分析根据相关标准，结合实际接收机带宽和S模式信号上升沿宽度，讨论模型的适用性，考虑如下：1）接收机接收信号的带宽影响恢复失真信号的可用频谱，当运用不同宽度频谱表示不同记忆长度的Volterra级数来恢复失真前宽带S模式信号波形，波形精度会受影响。2）根据规定 3，实际接收S模式信号的上升沿宽度在0.0 5 0.1s之间，模型对于波形非线性失真恢复会受到上升沿宽度的影响。3）多点定位系统前导脉冲戳的提取主要关心脉冲上升沿和整体波形。综上所述，仿真条件如下：带宽由5 30 MHz变化，上升沿宽度分别是0 us、0.05s和0.1s，蒙特卡洛10 0 0 次实验，得到模型恢复误差如图7 所示。00us整体*-0s上升沿0.05s整体0.2*-0.05s上升沿一0.1us整体0.15*0.1s上升沿0.10.0503025接收机带宽/MHZ图7#带宽和上升沿对于估计波形误差的影响由图7 可以看出：1）接收机带宽增加对上升沿宽度越窄的信号的恢复越有效。但是总体来看在有限带宽条件下对上升沿较宽的信号恢复精度更好。2）在规定上升沿在0.0 5 0.1s，在典型中频带宽为2 0 MHz的接收机条件下，模型可以满足所恢复的前导脉冲上升沿和整体波形误差都小于0.018%。说明简化Volterra级数模型在典型条件下具备一定的适应性。2.3抗干扰与稳定性分析在实际应用中，电磁环境复杂和接收基站内部结构噪声的干扰会影响模型性能 2 。为了验证恢复过程的抗噪声干扰能力与稳定性，现在接收机带宽20MHz，前导脉冲上升沿0.0 7 s条件下将S模式宫峰勋等：简化Volterra级数的S模式信号失真恢复3图8 带噪声S模式信号的波形恢复误差由图8 看出整体随信噪比的上升，波形恢复误差会降低。信噪比越低则需要越需要高阶Volterra级数才能达到较好的恢复精度，因此高阶模型具有一定的抗噪声干扰能力。又由图8 看出波形误差在3 5阶模型达到较低值，之后恢复误差基本不变，高阶建模不会对精度再有改善，但是会降低波形误差分布方差，提升模型的稳定性。原因是由于噪声的影响，越高阶的组合频率产物误差分布越集中，所以对输出贡献的误差分布也更集中。由图8 得15dB信号的3 6 阶的0恢复误差相差不大，分析其10 0 0 次蒙特卡洛实验200.051510119信号叠加0 2 0 dB的噪声得到待验证信号，再通过18阶简化Volterra级数模型恢复输入波形。通过做10 0 0 次蒙特卡洛实验后得到恢复输入信号相较于实际输入信号的波形误差，如图8 所示。1816*14864201的组合频率产物的误差分布，如图9所示，第3、650.1上升沿宽度/US0 dB.5 dB10 dB24阶数/阶阶组合频率产物的方差分别是1.2 544e-7、1.0859e-10，第6 阶的方差较小。5040301005.156008.6图9第3、6 阶组合频率产物分布直方图一15dB20dB565.25.25组合频率产物数值（a）第3阶组合频率产物分布直方图8.78.8组合频率产物数值（b）第6 阶组合频率产物分布直方图75.35.3510-28.9981025.355.35.255.2X10-49.29.198.98.88.79.19.210-49.3120组合频率产物的方差影响d阶子系统的贡献，最终影响波形误差的分布。分析图8 的15dBS模式信号用3 6 阶简化模型10 0 0 次蒙特卡洛实验，得到波形恢复误差分布，如图10 所示。3 6 阶模型的波形误差期望分别是0.0 2 14、0.0 2 30、0.0 2 2 3、0.0231，方差分别是1.18 1e-4、6.50 8 e-5、5.551e-5和5.6 2 95e-5。即波形误差期望相差不大的时候，建模阶数越高，误差分布特征越集中，模型越稳定。10O8%6现代导航实测波形是非线性失真后的波形，将实测波形带入3阶简化Volterra级数模型恢复得到失真前S模式信号的第一个前导脉冲波形，由表1可知简化模型的核函数计算量是传统模型的7.7%。得到归一化恢复波形相较于实际波形的各次谐波幅值对比图和波形对比图以便比较。如图12 所示，15dB失真后信号、简化Volterra级数建模恢复信号相对于失真前信号的波形误差为34.53%、2.2 3%。如图13所示，OdB失真后信号、简化Volterra级数建模恢3阶建模4阶建模5阶建模6阶建模OOO2024年复信号相对于失真前信号的波形误差为98.6 9%、12.59%。OOO失真前各次谐波幅值简化Voltera建模恢复幅值0.80.40.200图10 3 6 阶建模波形误差分布由上述实验分析得知，简化Volterra级数所构建的非线性模型能在一定噪声范围内满足抗噪声干扰和稳定性，满足实际运行环境需要。3实测S模式信号验证200400实验次数/次60080010000135（a）各次谐波幅值对比-15dB待验证信号一失真前信号波形一简化Volterra级数建模波形雪0.5091113151719谐波/次00.1使用MLAT系统中的实际S模式测试信号进行验证，国内某大型国际机场终端区MLAT接收机的采样率为8 0 MHz的2 个实时S模式信号基带脉冲数据如图11所示，经测试得到，图11（a）信噪比约为15dB，图11（b）信噪比约为0 dB。1050200.20.30.40.50.60.70.80.9时间/us(b)波形对比图1215dB验证的谐波幅值对比与波形对比失真前各次谐波幅值简化Voltera建模恢复幅值0.80.40.20135400800采样点/个（a）15d B的S模式信号基带数据11谐波/次（a）各次谐波幅值对比-0dB待验证信号一失真前信号波形简化Volterra级数建模波形0.5131517190-200400采样点/个（b）O d B的S模式信号基带数据图1115dB、0 d B实测S模式信号80000.10.2图130 dB验证的谐波幅值对比与波形对比0.30.4 0.50.60.70.80.9时间/us(b)波形对比第2 期由图12 和图13可以看出用简化Volterra级数模型得到的恢复波形都较准确，恢复波形反映了实际波形情况。特别是15dB和0 dB待验证信号对于失真前输入信号上升沿的恢复都较准确，基本满足实际前导脉冲到达时间戳提取的需要，说明模型可应用于实际接收基站工作。4结语本文针对多点定位系统基站接收的S模式信号易受非线性影响失真的问题，通过简化Volterra级数构建恢复失真前S模式信号的模型。简化模型仅用较低的计算量达到原始模型相近的精度，在场面多点定位信噪比约15dB干扰条件下恢复误差小于2.23%，基本满足需求。且在典型运用环境下满足一定的适用性、抗干扰和稳健性，为实际S模式信号前导脉冲失真恢复提供了一种方法。参考文献：1】王洪，金尔文，刘昌忠，等.多点定位TOA精确估计及同步误差校正算法 系统工程与电子技术，2 0 13,35(4):835-839.2 Galati G,Leonardi M,Magaro P,et al.Wide areasurvellance using SSR mode S multilateration:advantagesaandlimitationsC/Conference,2005:225-229.3】王洪，刘昌忠，汪学刚，等。S模式前导脉冲检测方法。电子科技大学学报，2 0 10，39（4)：48 6-48 9.4王吉滨，孟宪德，袁业术。接收机非线性分析及测试 系统工程与电子技术，2 0 0 3，（2）：16 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