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数学是科学大门和钥匙数学是科学大门和钥匙.培根培根 主讲主讲 王来生王来生(Advanced Mathematics)1第1页集集 合合映映 射射小结小结 思索题思索题 作业作业函函 数数第一章第一章第一章第一章 函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数(function and limit)(set)(mapping)(function)第一章第一章 函数与极限函数与极限2第2页1.集合集合(set)概念与记号概念与记号含有某种特定性质事物总体含有某种特定性质事物总体.组成这个集合事物称为该组成这个集合事物称为该映射与函数映射与函数一、集合一、集合 集合集合元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素(element).集合集合通常以大写字母通常以大写字母等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合元素等表示集合元素.不然记不然记记作记作或或.Aa 3第3页映射与函数映射与函数集合分类集合分类有限集有限集无限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集集合不是有限集集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种描述法描述法 把集合全部元素一一列出来把集合全部元素一一列出来,例例 考查由以下元素考查由以下元素能够用能够用列举法列举法将其表示成将其表示成列举法有很大不足列举法有很大不足.组成集合组成集合外加花括号外加花括号.4第4页映射与函数映射与函数如如:由不超出由不超出奇数组成集合奇数组成集合,其元素有其元素有50亿个亿个,要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合,其元素是其元素是很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用很多时间很多时间,不可数不可数,更惯用是列出要求这个集合特定性质更惯用是列出要求这个集合特定性质P 方法方法来表示集合来表示集合,就是就是 描述法描述法.花括号中竖线前花括号中竖线前x而竖线后而竖线后是是 M 中元素通用符号中元素通用符号,则是则是 x 所含有性质所含有性质.可用可用列举法列举法表示为表示为根组成集合根组成集合也可用也可用描述法描述法表示为表示为例例 由方程由方程5第5页映射与函数映射与函数注注对几个对几个惯用数集惯用数集要求记号以下要求记号以下数集字母数集字母数集内排除数集内排除0集集.“”“”数集内排除数集内排除0与负数集与负数集.全体全体非负整数非负整数即自然数集合即自然数集合N即即N,全体全体正整数正整数集合为集合为N+全体全体整数整数集合记作集合记作Z,即即Z右上角右上角标上标上:6第6页映射与函数映射与函数全体全体有理数有理数集合集合即即QZ,N+全体全体实数实数集合集合R为排除为排除0实数集实数集,R+为为全体全体正实数正实数集集.记作记作Q,记作记作R,全体全体复数复数集合记作集合记作C,即即CR,7第7页两个集合两个集合普通地普通地,如如 则则映射与函数映射与函数子集子集则称则称集合集合A与与B相等相等,记作记作则称则称2.集合集合(set)关系及集合运算关系及集合运算(1)集合关系集合关系子集子集,(读作读作A包含包含于于B)或或(读作读作B包含包含 A).集合相等集合相等记作记作 4,3,2,1=B8第8页映射与函数映射与函数如如空集空集.不含任何元素集合称为不含任何元素集合称为则称则称真子集真子集记作记作如如 NZQR.真子集真子集,空集空集要求要求空集为任何集合子集空集为任何集合子集.今后在今后在提到一个集提到一个集合时合时,普通都是普通都是如不加尤其申明如不加尤其申明,非空集非空集.9第9页映射与函数映射与函数2.集合集合(set)关系及集合运算关系及集合运算 集合基本运算有三种集合基本运算有三种:并集并集,交集交集,差集差集.即即记作记作设设 A,B 是两个集合是两个集合,由全部属于由全部属于A称为称为A与与B并集并集,ABAB,(2)集合运算集合运算于于B元素元素或者属或者属组成集合组成集合,10第10页映射与函数映射与函数称为称为A与与B记作记作即即交集交集,由全部既属于由全部既属于A由全部属于由全部属于A称为称为A与与B差集差集,记作记作即即又属于又属于B元素元素 集合基本运算有三种集合基本运算有三种:并并,交交,差差.ABAB,组成集合组成集合,而不属于而不属于B元素元素组成集合组成集合,两个集并与交可推广到任意多个集两个集并与交可推广到任意多个集推广推广并与交并与交.11第11页映射与函数映射与函数注注研究某个问题时所考虑对象全体研究某个问题时所考虑对象全体记作记作比如比如,则则余集余集或或补集补集.ABAB并用并用 I 表示表示,称为称为全集全集或或基本集基本集,并把差积并把差积尤其称为尤其称为A比如比如,在在实数集实数集R中中,集合集合余集余集12第12页3.集合集合(set)运算法则运算法则映射与函数映射与函数为任意三个集合为任意三个集合,则以下法则成立则以下法则成立:(1)交换律交换律 AB=BA,AB=BA;(2)结合律结合律(AB)C=A(B C),(AB)C =A(B C);(3)分配律分配律 (AB)C=(A C)(B C),(AB)C=(A C)(B C);(4)对偶律对偶律(AB)C=AC BC,(AB)C=AC BC;13第13页映射与函数映射与函数(5)幂等律幂等律 AAAA(6)吸收律吸收律 A=A,=A;=A,A=4.直积直积(乘积集或笛卡儿乘积乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年年)设设 A,B 是两个集合是两个集合,则称则称为为 A,B 直积直积.如如,又如又如,即为即为xOy面上面上全体点全体点集合集合,常记作常记作即即BABA14第14页5.区间区间(interval)区间是指介于某两个实数之间全体实数区间是指介于某两个实数之间全体实数.称为称为称为称为这两个实数叫做区间端点这两个实数叫做区间端点.映射与函数映射与函数开区间开区间,闭区间闭区间,15第15页称为称为有限区间有限区间无限区间无限区间映射与函数映射与函数半开半闭区间半开半闭区间.全体实数集合全体实数集合R 也可记作也可记作是无限区间是无限区间.16第16页映射与函数映射与函数区间长度定义区间长度定义两端点间距离两端点间距离(线段长度线段长度)称为区间称为区间今后在不需要辨明所论区间是否包含今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、有限区间、称它为称它为“区间区间”,”,惯用惯用I 表示表示.长度长度.无限区间场所无限区间场所,注注端点、端点、简单地简单地17第17页3.邻域邻域(neighbourhood)数集数集即即映射与函数映射与函数 邻域邻域,记作记作几何表示几何表示).,(d daU18第18页映射与函数映射与函数 有时简记为有时简记为去心去心(空心空心)即即两个闭区间直积表示两个闭区间直积表示xOy平面上矩形平面上矩形区域区域.如如,即为即为xOy平面上矩形区域平面上矩形区域,这个区域在这个区域在x轴与轴与y轴上投影分别为闭区间轴上投影分别为闭区间和闭区间和闭区间19第19页4.逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最惯用两个逻辑记号在逻辑推理过程中最惯用两个逻辑记号“”表示表示“任取任取”,或或“任意给定任意给定”.“”表示表示“存在存在”,“最少存在一个最少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数阿基米德实数阿基米德(Archmed)公理是这么叙述公理是这么叙述:任意给定两个正实数任意给定两个正实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,用逻辑符号用逻辑符号将将阿基米德公理改写阿基米德公理改写:Any(每一个每一个)或或All(全部全部)字头字头A倒写倒写映射与函数映射与函数Exist(存在存在)字头字头E倒写倒写20第20页符号符号“”表示表示“蕴含蕴含”,或或“推推出出”.符号符号“”表示表示“等价等价”,或或“充分必充分必要要”.5.绝对值绝对值(absolute value)运算性质运算性质绝对值不等式绝对值不等式映射与函数映射与函数21第21页映射与函数映射与函数二、映射二、映射1.映射概念映射概念(mapping)定义定义 设设 X、Y 是两个非空集合是两个非空集合,假如存在假如存在一个法则一个法则f,使得对使得对经过经过f,在在Y中有中有唯一唯一确定确定元素元素 y 与之对应与之对应,则称则称f 为为从从 X 到到 Y 映映(或或算子算子),记作记作并称并称y为为x(在映射在映射f下下)像像,并记作并记作即即x称为称为y原像原像.射射定义域定义域 即即记记22第22页对对元素元素 x 像像y是是唯一唯一;映射与函数映射与函数而对而对元素元素 y 原像不一定是唯一原像不一定是唯一;映射映射 f 值域值域是是Y 一个子一个子集集,不一定不一定(2)注注(1)集合集合X,即定义域即定义域集合集合Y,即值域范围即值域范围:对应法则对应法则f,使对使对有有唯一唯一确定确定与之对应与之对应.三个要素三个要素:组成一个组成一个映射映射必须具备以下必须具备以下23第23页映射与函数映射与函数X中全部元素像所组成集合中全部元素像所组成集合记作记作 或或f 即即称为称为在中学数学中所接触在中学数学中所接触函数函数实际是实际是:实数集实数集(或其子集或其子集)到实数集到实数集映射映射.比如比如,映射映射f:正弦函数正弦函数值域值域,像集像集,24第24页映射与函数映射与函数设映射设映射值域值域即即Y 中任一元素中任一元素y 都是都是X中某中某元素像元素像,则称则称f 是是满射满射.若若必有必有则称则称f 是是单射单射.若映射若映射f 则称则称f 是是一一 一一 映射映射(或或双射双射).).2.几类主要映射几类主要映射又是单射又是单射,既是满射既是满射,25第25页映射与函数映射与函数例例 设设对应关系对应关系:既既非满射非满射,又又非单射非单射;满射满射,非单射非单射;单射单射,非满射非满射;满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.对定义域内任一对定义域内任一x,26第26页映射与函数映射与函数(1)如如图图,令由令由X 到到Y 对应关系为对应关系为则则f 是一个从是一个从X 到到Y 映射映射.满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.(2)令令则则f 是一个从是一个从X 到到Y 映射映射.满射满射,单射单射,即为即为一一映射一一映射.27第27页映射与函数映射与函数2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射设有设有单射单射则由定义则由定义,有有唯一唯一适合适合于是于是,可定义一可定义一个从个从新映射新映射g,即即要求要求这这 x 满足满足这个映射这个映射g称为称为f 逆映射逆映射,记作记作其定义域其定义域值域值域必有必有则称则称f 是是单射单射.28第28页映射与函数映射与函数设有两个映射设有两个映射其中其中2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射显然显然由由它将它将映成映成这个对应法则是从这个对应法则是从 X到到Z 一个映射一个映射,此映射称为由此映射称为由g和和f 组成组成复合映射复合映射,记作记作即即对应法则对应法则,可确定出从可确定出从 X到到Z 一个一个29第29页映射与函数映射与函数例例 设有映射设有映射和映射和映射则映射则映射g和和f 组成复合映射组成复合映射有有30第30页1.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注三、函数三、函数(function)而是相对而是相对“过程过程”而言而言.映射与函数映射与函数常量常量;变量变量.在某过程中数值保持不变量称为在某过程中数值保持不变量称为而在过程中数值改变量称为而在过程中数值改变量称为一个量是常量还是变量,不是绝对,常量与变量表示方法常量与变量表示方法:在高等数学中在高等数学中,通惯用字母通惯用字母 a,b,c等表示常量等表示常量,用字母用字母 x,y,t 等表示等表示变量变量.31第31页 初等数学初等数学,就其总体来说是就其总体来说是进入变量数学进入变量数学 微积分微积分.映射与函数映射与函数“常量数学常量数学”,”,从现在开始从现在开始,32第32页映射与函数映射与函数 定义定义 设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D上上函数函数,通常简记为通常简记为自变量自变量因变量因变量定义域定义域(domain)定义中定义中,按对应法则按对应法则f,总有总有唯一唯一确定值确定值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处处函数值函数值,记作记作函数关系函数关系函数值函数值全体组成集合称为全体组成集合称为range记作记作即即函数函数f 值域值域,2.函数概念函数概念),(xfy=,Dx ,Dx 假如对假如对),(xfy=33第33页映射与函数映射与函数注注含义区分含义区分.自变量自变量x和因变量和因变量y之间对应法则之间对应法则;与自变量与自变量x对应函数值对应函数值;定义在定义在D上函数上函数,应了解为由它所确定函数应了解为由它所确定函数f.(1)(2)函数记号函数记号:除惯用除惯用f 外外,可任意选取可任意选取,如如对应地对应地,函数可记作函数可记作:等等,等等,也可记作也可记作:在同一个问题中在同一个问题中,讨论到几个不一样函数时讨论到几个不一样函数时.34第34页映射与函数映射与函数(3)对应函数值对应函数值y总是唯一总是唯一,不然称为不然称为如如是多值函数是多值函数,它两个单值支是它两个单值支是:单值函数单值函数,多值函数多值函数.约定约定:今后今后无尤其说明无尤其说明时时,函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(4)组成函数组成函数是是两个不一样函数两个不一样函数.(因为定义域不一因为定义域不一样样).如如与对应法则与对应法则f.定义域定义域两个要素两个要素:,Dx 对对35第35页 函数表示法只与定义域和对应法则相关函数表示法只与定义域和对应法则相关,即即简称函数表示法简称函数表示法答案答案表示式求解表示式求解这是由这是由映射与函数映射与函数(5)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,有效方法有效方法.无关特征无关特征,L=)()()(fff36第36页利用函数表示与变量字母无关特征利用函数表示与变量字母无关特征.代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得令令即即令令即即三式联立三式联立映射与函数映射与函数解解37第37页定义域定义域普通有两种普通有两种:(1)自变量所能取使算式有意义一切自变量所能取使算式有意义一切定义区间定义区间.由问题实际意义所确定由问题实际意义所确定.(2)函数定义域惯用区间来表示函数定义域惯用区间来表示,又可称为又可称为:映射与函数映射与函数实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学研究中在纯数学研究中(函数由一个公式函数由一个公式实数组成集合实数组成集合,这种定义域称为这种定义域称为自然定义域自然定义域.表示表示).38第38页例例 求以下函数定义域求以下函数定义域:解解映射与函数映射与函数定义域是定义域是定义域是定义域是 )2(112-x0162-x39第39页惯用函数关系表示法惯用函数关系表示法公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法,都有其都有其优点和不足优点和不足.图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今后以公式法为主今后以公式法为主,映射与函数映射与函数便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观,富有启发性富有启发性,便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值,但它经常是不完全但它经常是不完全.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法.是各种多样是各种多样.40第40页函数图形函数图形(图象图象)取自变量在横轴上取自变量在横轴上在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上改变因变量在纵轴上改变,则函数图形是指则函数图形是指改变改变,平面点集平面点集:通常是一条或几条通常是一条或几条映射与函数映射与函数曲线曲线(包含直线包含直线).中集合中集合41第41页例例 按国家要求按国家要求,个人月收入个人月收入x不超出不超出880元不纳税元不纳税,超出超出880元而小于元而小于1380元部分按元部分按 5纳税纳税,而而超出超出1380元小于元部分按元小于元部分按 10纳税纳税,则则个人月收入个人月收入x与交纳所得税与交纳所得税 y 函数关系为函数关系为 除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,有些有些函数伴随自变量取不一样值函数伴随自变量取不一样值,分段函数分段函数.我国部分工薪人员应纳多少税我国部分工薪人员应纳多少税映射与函数映射与函数这种函数称为这种函数称为函数关系也不一函数关系也不一样样,42第42页映射与函数映射与函数例例43第43页几个今后常引用函数几个今后常引用函数映射与函数映射与函数绝对值函数绝对值函数例例 定义域定义域值域值域44第44页符号函数符号函数 定义域定义域值域值域对对例例映射与函数映射与函数有有或或45第45页 取整函数取整函数如如例例映射与函数映射与函数当当阶梯曲线阶梯曲线 定义域定义域值域值域表示不超出表示不超出x最大整数最大整数1-2-146第46页例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数)映射与函数映射与函数 定义域定义域值域值域有理数点有理数点无理数点无理数点47第47页设设则则f(x)定义域定义域 20(1)填空填空:映射与函数映射与函数 -=.31,1;10,2;01,2)(xxxxxfx48第48页2.用分段函数表示函数用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:即即注注映射与函数映射与函数而不是几个函数而不是几个函数.1-24349第49页有界性有界性(bounded)设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,则说则说 f(x)在区间在区间I上上有上有上 界界.(下下)使得对全部使得对全部若存在若存在常数常数A都有都有映射与函数映射与函数(B),3.函数几个特征函数几个特征50第50页 若存在常数若存在常数使得对全部使得对全部则称则称 f(x)在在I上上有界有界.在在 I上上无界无界;映射与函数映射与函数都有都有 若这么若这么M 不存在不存在,则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何 总存在总存在使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界51第51页在定义域上有界函数叫做在定义域上有界函数叫做例例是有界函数是有界函数;是无界函数是无界函数,但它在区间但它在区间 上上在区间在区间 上上 注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数,就是无界函数就是无界函数.显然显然,映射与函数映射与函数(bounded function)有界函数有界函数.有界等同于现有上界又有下界有界等同于现有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.52第52页A.有上界无下界有上界无下界B.有下界无上界有下界无上界C.有界有界,且且D.有界且有界且解解C解题提醒解题提醒将函数取绝对值将函数取绝对值,然后用不等式然后用不等式放缩法放缩法.映射与函数映射与函数53第53页六个常见有界函数六个常见有界函数映射与函数映射与函数54第54页单调性单调性(monotonicity)是是单调增加单调增加;映射与函数映射与函数假如对假如对恒有恒有 monotone increasing55第55页 注注 应指明单调区间应指明单调区间,不然会产生错误不然会产生错误.是是单调降低单调降低.映射与函数映射与函数假如对假如对恒有恒有monotone decreasing56第56页(1)选择题选择题:映射与函数映射与函数在区间在区间 上由上由()是单调增加是单调增加.给出函数给出函数57第57页证证于是于是映射与函数映射与函数)()()(,)(:,0,0,),0()(212121xfxfxxfxxfxxxf+则则单调降低单调降低若若求证求证上有定义上有定义在在设设,212xxx+又又58第58页奇偶性奇偶性偶函数图形偶函数图形称称 f(x)为为偶函数偶函数(even function);映射与函数映射与函数59第59页奇函数图形奇函数图形称称 f(x)为为奇函数奇函数(odd function).映射与函数映射与函数60第60页(1)不要把奇偶函数看成两个完全相反不要把奇偶函数看成两个完全相反(2)奇偶性是对称区间而言奇偶性是对称区间而言,不然无从谈不然无从谈奇偶函数运算性质奇偶函数运算性质:(1)奇奇(偶偶)函数代数和仍为奇函数代数和仍为奇(偶偶)函数函数;(2)偶数个奇偶数个奇(偶偶)函数之积为偶函数函数之积为偶函数;奇数个奇函数积为奇函数奇数个奇函数积为奇函数.(3)一奇一偶乘积为奇函数一奇一偶乘积为奇函数.注注映射与函数映射与函数概念概念.奇、偶奇、偶.61第61页判别给定函数奇偶性判别给定函数奇偶性,解题提醒解题提醒奇函数奇函数有效方法有效方法.判别以下函数奇偶性判别以下函数奇偶性:奇函数奇函数偶函数偶函数有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数主要是依据主要是依据奇偶性定义奇偶性定义,62第62页周期性周期性(periodicity)周期周期.周期函数周期函数(period function).映射与函数映射与函数假如存在一个假如存在一个正数正数且总有且总有称为称为f(x)通常称周期函数通常称周期函数周期周期是指是指最小正周期最小正周期.周期为周期为 周期函数周期函数设函数设函数 f(x)定义域为定义域为D,则称则称f(x)是是63第63页映射与函数映射与函数例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数,任何正有理数任何正有理数r都是它都是它周期周期.因为不存在最小正有理数因为不存在最小正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.64第64页周期函数运算性质周期函数运算性质:解题提醒解题提醒判别给定函数是否为周期函数判别给定函数是否为周期函数,有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数为周期函数为周期函数.函数函数,主要是依据周期定义主要是依据周期定义,为周期为周期最小公倍数最小公倍数21,)()(llxgxf是以是以则则 65第65页4.反函数与复合函数反函数与复合函数映射与函数映射与函数设函数设函数f:单射单射则它存在则它存在逆映射逆映射称此称此映射映射为函数为函数f 反函数反函数.习惯上习惯上,反函数记成反函数记成(1)定义定义反函数反函数(inverse function)如如单射单射反函数反函数直接函数直接函数通常将通常将写作写作普通地普通地,66第66页映射与函数映射与函数 直接函数与反函数图形直接函数与反函数图形直线直线对称对称.关于关于67第67页映射与函数映射与函数如如其反函数为其反函数为指数函数指数函数定义域为定义域为值域为值域为写成写成注注并不是全部函数都存在反函数并不是全部函数都存在反函数.如如 函数函数定义域为定义域为值域为值域为但对但对都有两个都有两个和和与之对应与之对应,x不是不是y 函数函数,不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.68第68页(减减),而且反函数也是单调递增而且反函数也是单调递增(减减).).映射与函数映射与函数在什么条件下在什么条件下,一个函数存在反函数一个函数存在反函数反函数存在定理反函数存在定理若直接函数若直接函数在在D上单调递增上单调递增求反函数步骤求反函数步骤(1)(2)即得所求函数反函数即得所求函数反函数则函数则函数f:单射单射则它必存在反函数则它必存在反函数69第69页选择题选择题(1)函数函数 反函数是反函数是().D(2)函数函数(A)完全不一样完全不一样;(B)部分相同部分相同,部分不一样部分不一样;(C)完全相同完全相同;(D)可能相同可能相同,也可能不一样也可能不一样.C映射与函数映射与函数与它反函数与它反函数在同一坐标系中图象是在同一坐标系中图象是().70第70页映射与函数映射与函数4.反函数与复合函数反函数与复合函数(2)复合函数复合函数(compound function )定义定义 设函数设函数定义域是定义域是函数函数有定义有定义,且且则由下式则由下式确定函数确定函数称为由函数称为由函数组成组成复合函数复合函数.记作记作即即它定义域为它定义域为中间变量中间变量71第71页(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2)复合函数能够由两个以上函数经过复合组复合函数能够由两个以上函数经过复合组成成.注注因为因为 值域值域不能组成复合函数不能组成复合函数.不能包含于不能包含于定义域定义域映射与函数映射与函数之中之中.(3)反过来反过来,一个复杂函数依据需要也能够一个复杂函数依据需要也能够分解为若干简单函数复合分解为若干简单函数复合.72第72页 复合函数分解复合函数分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数),由函数最外层运算一层层剥到最由函数最外层运算一层层剥到最里边里边,切不可漏层切不可漏层.映射与函数映射与函数如如都是中间变量都是中间变量.复合函数定义域是复合函数定义域是即即而不是而不是定义域定义域剥皮法剥皮法73第73页例例解解故定义域为故定义域为映射与函数映射与函数求复合函数定义域求复合函数定义域,值要落在外边函数定义域内值要落在外边函数定义域内.注意确保套在里边函数注意确保套在里边函数74第74页 将两个或两个以上函数进行复合是本节难将两个或两个以上函数进行复合是本节难点点,依据函数特点分别讲几个复合方法依据函数特点分别讲几个复合方法.(1)代入法代入法 将一个函数中自变量用将一个函数中自变量用另一个函数另一个函数表示式表示式来替换来替换,这种组成复合函数方法这种组成复合函数方法,法法,称为代入称为代入该法适合用于初等函数复合该法适合用于初等函数复合.例例 设设求求解解映射与函数映射与函数75第75页映射与函数映射与函数由以上两式可推测由以上两式可推测:由数学归纳法可证实上式成立由数学归纳法可证实上式成立.76第76页(2)分析法分析法及中间变量定义域进行及中间变量定义域进行抓住最外层函数定义域各区间段抓住最外层函数定义域各区间段,结合结合该法适合用于初等函数与分段函数或分段函该法适合用于初等函数与分段函数或分段函数之间复合数之间复合.映射与函数映射与函数中间变量表示式中间变量表示式分析分析.例例77第77页例例解解映射与函数映射与函数78第78页总而言之总而言之映射与函数映射与函数79第79页映射与函数映射与函数5.函数运算函数运算设函数设函数定义域分别为定义域分别为则可定义这两个函数以下运算则可定义这两个函数以下运算:和和(差差)积积商商且且线性组合线性组合为实数为实数,80第80页1)幂函数幂函数(power function)定义域与定义域与 取值相关取值相关.6.初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)映射与函数映射与函数(1)基本初等函数基本初等函数81第81页2)指数函数指数函数(exponential function)定义域为定义域为值域为值域为映射与函数映射与函数82第82页3)对数函数对数函数(logarithm function)定义域为定义域为值域为值域为映射与函数映射与函数83第83页4)三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数定义域为定义域为值域为值域为映射与函数映射与函数84第84页余弦函数余弦函数定义域为定义域为值域为值域为映射与函数映射与函数85第85页正切函数正切函数余切函数余切函数定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域映射与函数映射与函数86第86页5)反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)定义域定义域值域值域 主值主值映射与函数映射与函数反正弦函数反正弦函数87第87页定义域定义域值域值域 主值主值映射与函数映射与函数反余弦函数反余弦函数88第88页 主值主值定义域定义域值域值域映射与函数映射与函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数 主值主值定义域定义域值域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.89第89页(2)初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数.如如都是初等函数都是初等函数.不是初等函数不是初等函数.映射与函数映射与函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次函数复合步骤所构和有限次函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示函数函数,称为称为90第90页注注普通分段函数不叫初等函数普通分段函数不叫初等函数,可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!因为因为映射与函数映射与函数不是用不是用一个式子一个式子表示出来表示出来.因为它因为它91第91页奇函数奇函数.偶函数偶函数.1)双曲函数双曲函数 叠加法叠加法映射与函数映射与函数(3)双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦92第92页奇函数奇函数,有界函数有界函数,映射与函数映射与函数双曲正切双曲正切93第93页双曲函数惯用公式双曲函数惯用公式映射与函数映射与函数;shchchshyxyx=)(shyx94第94页2)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,可得可得映射与函数映射与函数 反双曲正弦反双曲正弦反函数反函数,单调增加单调增加.xyarsh=xyarsh=95第95页映射与函数映射与函数 反双曲余弦反双曲余弦单调增加单调增加.xyarch=96第96页奇函数奇函数,映射与函数映射与函数 反双曲正切反双曲正切单调增加单调增加.xyarth=97第97页四、小结四、小结复合函数复合函数,初等函数初等函数.映射与函数映射与函数函数函数函数几个特征函数几个特征反函数反函数,有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.集合集合映射映射集合概念集合概念,集合运算集合运算,区间区间,邻域邻域,绝对值绝对值.映射概念映射概念,逆映射逆映射,函数函数定义定义,定义域定义域对应法则对应法则函数两要素函数两要素复合映射复合映射.几个主要映射几个主要映射,98第98页思索题思索题映射与函数映射与函数1988年考研数学一年考研数学一,5分分及其定义域及其定义域.解题思绪解题思绪此题是复合函数问题此题是复合函数问题,可设可设从题目条件分析从题目条件分析u和和x关系关系.解解 令令则则于是于是,99第99页作作 业业习题习题1-1(201-1(20页页)6.(2)(4)(6)(8)(10)8.10.11.(1)15.18.20.映射与函数映射与函数100第100页
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