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DVD在线租赁_数学建模论文国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是：B 题：DVD 在线租赁我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：国防科大参赛队员 (打印并签名) ：1.刘健2.3.指导教师或指导教师组负责人张云安李宝娟(打印并签名)： 指导教师组日期：2005年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖1国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖2国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组DVD 在线租赁摘要本问题是一个 DVD 在线租赁中，网站方如何对于市场进行需求预测、如何对 DVD进行分配才能同时最好的实现其经济效益和社会效益。第一问中，基于需求预测基础上的 DVD 购买方案设计中，我们分别考虑了悲观情况和均值情况。为了保证希望看到某种 DVD 的会员中，有 50%以上在一个月内能看到该 DVD，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：9000，4500，2250，1125，450。在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：6250，3125，1563，720，313。为了保证在三个月内 95%以上的会员能够看到，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：4500，2250，1125，563，225。在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：3959，1980，990，495，198。最后，不考虑具体的会员的借还 DVD 时间，我们使用概率的方法解决了该问题。结果与均值情况相近。对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。我们建立了 0-1 规划模型，求得此时的最大满意度为 24746，我们给出了此时的最优分配方案。第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网站所购买的总的 DVD 数目最少，在具体处理时，我们让会员满意度在一定的范围内变动，给出各种情况下使得总 DVD 数最少的方案。其中当会员相对满意度为 0.8 时的最少 DVD 总数为 2059 张。分析第三问的结果，我们发现了有趣的双峰现象，并对其合理性进行了阐述。同时，我们还可以发现，会员相对满意度与最少 DVD 之间呈现总数近似线性的关系。如下表所示：对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。求得了在一种情况下，限定每月最多租赁两次的情况下，得到使得网站的效益达到最大时，应该限定每个会员每次租赁最多 2 张 DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁 3 张 DVD 的情况下，最佳的租赁次数限制。本文论证严密，所给出的结果具有启发性和借鉴意义。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖3相对满意度0.50.60.70.80.91.0所需 DVD 数120214861760205925673098国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组一 问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线 订 单 （ 表2的 数 据 格 式 示 例 如 下 表2 ， 具 体 数 据 请 从 下载），如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖4国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组二背景介绍DVD 在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。1998 年，成立于美国的 Nexfix 是目前炙手可热的 DVD 在线租赁商。该公司有多种 DVD 出租业务。其中，典型的是一种这样的：顾客每月缴纳 19.9 美元成为会员。定购 DVD 租赁服务。顾客对哪些 DVD 感兴趣，只须在线提交订单，网站收到顾客的订单之后，会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单尽可能将 DVD 以快递的方式投递给会员。一般情况下，在一天之内，网站即可将会员所需的 DVD 送到会员手中，会员每次最多得到 3 张 DVD。每个月订购的次数是有限的，顾客拿到这些 DVD 之后可以无限期的保留这些 DVD，前提是在这段时期内，他仍然是该网站的会员。如果会员想拿进行下一次租赁，则它必须首先将手上的 DVD 放进网站提供的信封里寄回。之后，即可进行下一次租赁。三 问题分析本问题是一个在 DVD 租赁业务中，网站方如何进行 DVD 需求预测、如何购置新DVD、如何将手头的 DVD 分配给会员，从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良好的经济效益的问题。第一问中，1000 个会员的调查表即是 10 万个会员的需求预测。由于具体会员订单的不可确知性，无法考虑“每个会员每次最多获得 3 张 DVD”的约束，同时各种 DVD之间的横向数量约束也无法考虑。故计算时，对于每种 DVD 的购买量可单独考虑。此时，由于每月租赁两次 DVD 会员的不确定性，我们可以以均值情况估计和最悲观情况估计。第二问中，网站给出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的再现订单。要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。显然这是一个大规模的 01 规划问题。第三问中综合考虑一个月内 DVD 的购买分配方案，这其实是一个多目标规划的问题。从网站的经济效益角度考虑看，在保证所有会员中 95%以上的会员一个月内看到自己想看的 DVD 的情况下，希望购买的 DVD 尽量少，但是从其社会效应来看，则要尽可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。这时，可以使用多种方式将多目标规划变为单目标规划，以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。具体的 1000 位会员中到底会有哪些会员是可能会在一个月内租赁两次 DVD，这个数据我们无从得知。我们可以随机地从 1000 名会员中选择 600 名。认为这些会员将会在一个月内两次租赁 DVD，由于所给数据的均匀性，无论是哪 600 名会员将会两次租赁 DVD，对目标影响并不会很大。对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖5国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组四 符号说明Cij第 i 名会员获得第 j 张 DVD 时的满意度。xij第 i 名会员获得第 j 张 DVD 时，xij = 1，反之为 0dib jC ：di = 1时，第 i 名会员在该月两次租赁 DVD，反之为 0网站第 j 种 DVD 的拥有量网站每月收向每位会员取的月费。xij1：第 i 名会员第一次分配时获得第 j 张 DVD 时，xij1 = 1，反之为 0xij 2：第 i 名会员第一次分配时获得第 j 张 DVD 时，xij 2 = 1，反之为 0五 基本假设1网站对 1000 名会员的调查结果足以反映网站的 10 万名会员对于各种 DVD 的需求及喜好2会员中总是有 60%的会员每月租赁 DVD 两次，40%的会员每月租赁 DVD 一次3会员只有在需要再次租赁 DVD 时，才会将将上次租赁的 DVD 归还。4因为 60%的会员每月租赁 2 次 DVD，40%的会员每月租赁 1 次 DVD，所以假设每位会员每月至少会租赁 1 次。5如果会员对某种 DVD 感兴趣，但是本次提交订单后，并没有得到该 DVD 则他的下一份订单中仍然会有兴趣观看该 DVD6网站对于会员归还 DVD 的期限不作限制。7对于每一类被租赁出去的 DVD总是有 60%分布在每个月会租赁两次 DVD的会员中，40%分布在每月租赁一次 DVD 的会员中。8会员在一个月内只要看到一张他想看到的 DVD 就认为他看到了想看的 DVD.2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖6国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组六、模型的建立与求解61DVD 购置方案的确定通过对 1000 个会员的调查问卷，网站可以获得其 10 万个会员对于各种 DVD 的需求状况，在制定订购方案时，可以不用考虑每个会员每次最多租赁 3 张 DVD 的限制。同时不考虑各种 DVD 数量之间的横向联系，而对每种 DVD 单独考虑其购买量。我们称每个月内只租赁一次 DVD 的会员为 1 类会员，每个月内租赁两次 DVD 的会员为 2 类会员。此时，由于每个月内会两次租赁 DVD 会员的不确定性，在制定 DVD的购买方案时我们分别考虑悲观情况估计及均值估计两种方式。611 悲观情况估计a）50%情形对于某种 DVD，如 DVD1，假设其购买量为 m，而希望看到 DVD1 的会员有 2 万人，假设经过一段时间的租赁后，DVD1 都已被租赁出去，这 m 张 DVD 可能在占总会员 60%的该月将要租赁两次 DVD 的人的手中，也可能在另外 40%该月只租赁一次 DVD 的会员手中。如果在前者手中，则一个月内该 DVD 还可被其余会员看到，但是如果在 40%的人手中时，则该 DVD 在这个月内不会再被其余会员看到。考虑一种悲观情况，m 的一部分首先被占总会员 40%的会员借走了，这部分人借了就不会在该月再还。为了保证至少有 50%的会员在一个月内能看到该 DVD,那么此时总的碟数应该满足：40% *20000 + (m - 40% * 20000) *250% * 20000上式的意义是：在悲观情况下，占想看到 DVD1 的会员 40%的会员令其都租赁到DVD1，并且在一个月内不还，另外 60%的会员中有部分租到 DVD1 并且在一个月内该DVD 只被第二个会员看到。此时m 9000同理，对于其他的 DVD 也有类似的表达式。此时为保证一个月内至少 50%的会员看到他想看到的 DVD，则每种 DVD 的购买量为：表 1b) 95%情形基于上述悲观情况，要使三个月内 95%的会员能够看到该 DVD，则（以 DVD1 为例）：m + (2m - 40% * 2000) *2 + (40% *20000 - m) + 2m95% * 20000求得m 4500同理，对于其他的各种 DVD，要保证三个月内至少 95%的会员看到他想看得 DVD,则每种 DVD 的购买量为：表 22005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖7DVD 种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量9000450022501125450DVD 种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量450022501125563225国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组612 均值情况估计现实情况是这样的，DVD 在线租赁是一个实时性很强的业务，在每个月的每一天内，都会有顾客提交订单，同时也会有会员归还已借的 DVD。这种会员订单的提交以及 DVD的归还是服从参数为 l 的泊松分布的。但是考虑一种平均的情况我们可以认为：所有的会员在每个月的某天（不妨假设为 1 号）要提交订单，同时那些需要租赁两次 DVD 的人也集中在 15 号的时候归还已租赁的 DVD 并提交下一份订单。如果认为会员租赁、归还的时间服从泊松分布，对该分布进行长期考察，可以发现上述的简化不过是泊松分布时的平均情况。因而，我们在处理时可以不必考虑每个会员的具体租赁、归还 DVD 的时间，而只考虑每个月内两次的分配方案，即 1 号和 15 号的分配方案。同时，在 DVD 被租赁出去后，对于某种 DVD，从平均意义上看，应该是均匀的分布在每月只租赁 1 次 DVD 的会员和每月租赁两次 DVD 的会员中，即是说在 15 号，该DVD 将有 60%被归还。a)50%情形在上述所说的网站运营模式下，设 DVD1 有 m 张，则在 1 号时被分配出去，在 15 号时，又有 0.6m 张被归还。这样，为保证 1 个月内至少 50%的会员时看到该 DVD 则应满足：1.6m 50% 20000 m 6250即 DVD 至少准备 6250 张。同理可得其余 DVD 应该准备的数量。此时结果为：表 3b)95%情形对于要使 3 个月内希望看到该 DVD 的会员中 95%看到该 DVD 则考虑一下过程：2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖8时间已看到该 DVD 的会员数想看到但并未看到的会员数1 月 1 日m20000 - m1 月 15 日m2 = m + min(0.6m, 0.6 (20000 - m)20000 - m22 月 1 日m3 = m2 + min(m, 20000 - m2 )20000 - m32 月 15 日m4 = m3 + min(0.6m, 0.6 (20000 - m3 )20000 - m43 月 1 日m5 = m4 + min(m, 20000 - m4 )20000 - m53 月 15 日m6 = m5 + min(0.6m, 0.6 (20000 - m5 )20000 - m6DVD 种类DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5购买量625031251563782313国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组要使三个月内希望看到某种 DVD 的会员中至少 95%的会员能够看到该 DVD，则要使：20000 - m6 20000 5%此时，计算得m 3959同理，求得为使三个月内希望看到该 DVD，则每种 DVD 的购买数量如下表所示：613 理论证明事实上，不必认为所有的人都在 1 号的时候来借 DVD，我们可以从理论求解该问题。假设某种 DVD 一个月内被看到一次的概率为 0.4，被看到两次的概率为 0.6，则其服从分布：1 2 为使希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD，即是要求ni=1i 50% * 20000为保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD，则要使得上成立的概率尽可能大，不妨取：ni=1n由于 xi 是独立同分布的，且 n 的数量很大，由中心极限定理知，i =1将其化为标准正态分布即为：i近似服从正态分布。p(1n*n0.4*0.610000 - 1.6nn * 0.4*0.6)0.95查表可得：10000 -1.6nn * 0.4*0.6 -1.645解得n (0.25 + 0.252 + 6250 ) 2 6250同理亦可推出均值情况下的其他解。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖9名称DVD1DVD2 DVD3DVD4DVD5数量（张）39591980 990495198 0.4 0.6 xP( xi 50% *20000) 95% x=i 1 (xi -1.6)国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组62100 种 DVD 对于 1000 个会员在线订单的分配621 模型建立在问题 2 中，网站当前需要处理 1000 位会员的在线订单。网站手上现有数量有限的 100种 DVD 进行分配，并使所有会员的满意度最高。在此先对满意度的定义给一说明，设第 i 个会员对第 j 种 DVD 感兴趣，并且在他的订单中，给出的偏爱程度为aij,则第 i个会员获得第 j种 DVD 时的满意度为cij = 11 - aij。此时，在最好情况下每个会员的满意度最大为 27，定义第 i 个人的个人相对满意度为：ci =其中, ci 表示第 i 个人的满意度。建立如下的 01 规划模型：ci27max1000 100i=1 j =1ij ijc员的订单中，给出的偏爱程度为 a，则相应的s.t每个会员每次最多获得 3 张 DVD100 3ijj =1每种碟的总数的约束：1000 bjiji =101 的约束：1000= 0或者1iji =12005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖cij为 11-a,其余为 010 c x其中， ij 以喜好程度表示的会员的满意度，对于会员感兴趣的 DVD 如果在会 x x x国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组622 模型求解使用 lingo 软件求解上述模型，得到使得所有会员满意度最大的分配方案。在该方案下，所有会员的满意度为 24746。给出分配后，前 30 位会员获得的 DVD 情况如表 4：表 42005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖11会员C0001C0002C0003C0004C0005DVD编号008041098006044062032050080007018041011066068序号10481097791010988109会员C0016C0017C0018C0019C0020DVD编号010084097047051067041060078066084086045061089序号71099810109871091089会员C0006C0007C0008C0009C0010DVD编号019053066008026081031100041055085019053序号1097981071089598会员C0011C0012C0013C0014C0015DVD编号059063066002031041021078096023052089013052085序号10979104891091051078会员C0021C0022C0023C0024C0025DVD编号045050053038055057029081095037041076009069081序号96108910981079101097会员C0026C0027C0028C0029C0030DVD编号022068095050058078008034082026030055037062098序号10987104109879109106国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组下图给出 1000 位会员的个人满意度统计情况：fig1上图中，横轴表示个人满意度，纵轴表示相应个人满意度的会员。可见，绝大部分的会员其满意度都在 0.8 以上。可见，该分配方案是很好的。63一个月的 DVD 分配方案631 模型建立前述 6.2 中只讨论了 1 次分配的最优性问题，下面，我们来考虑一个月内如何分配，如何购置 DVD 才能使得会员的满意度最大。并且满足 95%的会员得到他想看到的DVD。这是一个多目标规划的问题。从自己的经济利益出发，网站希望所需购买的 DVD 越少越好，而从自己的社会效应出发，网站希望尽可能提高会员的满意度。我们考虑如前 6.1 所述的均值情况，即所有的会员均在每月的 1 号租赁 DVD，对于当月只租赁 1 次 DVD 的会员，他们将 DVD 保留到下一个月，对于当月租赁两次的会员，均在当月的 15 号归还，同时租赁第二次。这样，在一个月内，我们只需考虑对所有 DVD 做两次分配即可。即 1 号分配方案和 15 号分配方案。由于占会员 60%的该月租赁两次 DVD 的人员无法确切预知，我们采取从 1000个会员中随机选取 600 名让其该月租赁两次 DVD。由于题目中所给订单数据的均匀值，不会出现选取不同的 600 名会员时，最终结果偏差很大的情况，我们认为这样做是合理的。同时，当这种随即的选取数次之后，一个平均的结果可以认为是合理的。对于满意度的定义，我们考虑一个相对满意度的概念，在最理想的概念，在最理想的情况下，第一次分配时两个会员都获得自己最满意的 3 张 DVD，在第二次分配时，2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖12国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组参与分配的每个会员都获得此时自己最满意的 3 张 DVD。在第二次分配时，参与分配的每个会员都获得此时自己最满意的 3 张 DVD。这种情况下的总体满意度为600 45 + 400 27 = 37800假设某种分配方案的总体满意度为 C ，则定义其相对满意度为C =C37800基于上述几点考虑，该问题转化为如下的 01 规划模型：max1000 100i=1 j =1ij ij11000 100i=1 j=1min其中：100j =1jxij1 = 0xij 2 = 0第1次分配时第i名会员获得第j张DVD第1次分配时第i名会员未获得第j张DVD第2次分配时第i名会员获得第j张DVD第2次分配时第i名会员未获得第j张DVDs.t.第 1 次分配时 DVD 总数约束：100j =1ij1 b j第 1 次分配时每名会员最多获得 n 张 DVD100j =1ij1 n第 2 次分配时，DVD 总数的约束：100j =1ij 2 b j 其中，b j 表示第 2 次分配时，网站拥有第 j 种 DVD 的数量1000i=1c j表示第 2 次分配时占总数 60%的会员归还的第 j 种 DVD 的数量1000i=12005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖13 c x+ cij xij 2 b11 x x xb j = bj - xij1 + c jc j = xij1di国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组其中， di 随机生成，为 1 表示第 i 个人在该月内两次租赁 DVD，反之为 0。有一部分人未借第二次的约束：xij 2 di第一次已看到的 DVD 第二次就不再租赁了的约束：xij1 + xij 2 1e1i xij1e2i xij 21000 100i=1 j=11000 100i=1 j =10 eki 1上式中， eki =1 表示第 k 次分配时第 i 个人在一个月内至少可以看到一张 DVD，反之为 0xij1 = 1或0xij 2 = 1或0di = 1或02005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖14e1i xij1e2i xij 2国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组632 模型求解上述为多目标规划，具体处理时，可采用线性加权法等经典方法，将多目标规划变为了单目标规划处理。在此，我们将相对满意度在一定的范围内变化，分别求出一组在各种满意度下所需的最少 DVD 数即相应的 DVD 分配方案。我们得到在相对满意度在 0.51 之间变化时，所需最少 DVD 数如下表所示：表 5从上可以看出，要使满意度不低于 0.5 至少需要 1202 张 DVD,而要使得总的满意度达到 1.0,则至少要 3098 张 DVD.要达到最好的满意度，则至少需要 3098 张 DVD.此时，相对满意度和所需 DVD 总数的关系图如下：fig2上图中横坐标表示会员总的相对满意度，纵坐标表示达到这个满意度时的购买 DVD总数。从上图可以看出：随着满意度的增加，所需的 DVD 总数近似线性的增加。这表明：如果要增加总体满意度，必须以多购买 DVD 为代价，而且，满意度的增加与 DVD 总数的增加近似成一定的比例。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖15相对满意度0.50.60.70.80.91.0所需 DVD 数120214861760205925673098国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组当满意度为 0.9 时所需的 DVD 购买量：表 6