资源描述
第六章 数 列 考纲链接 1.数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 2．等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念． (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式． (3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题． (4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系．
§6.1 数列的概念与简单表示法
1．数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}． (2)通项公式：如果数列{an}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________． (4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔an＋1______an；递减数列⇔an＋1_____an；常数列⇔an＋1______an.递增数列与递减数列统称为__________． 3．数列前n项和Sn与an的关系 已知Sn，则an＝（n＝1）_________，（n≥2）_________. 4．常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝______________________； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝ ； (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝ ； (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝__________. 注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n－1)，…，89(10n－1)．
自查自纠： 1．(1)项 首项 a1，a2，a3，…，an，… (2)第n项 n (3)函数值 (4)an an－1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S1 Sn－Sn－1 4．(1)n (2)2n (3)2n＋1 (4)2n (5)(－1)n (6)1＋（－1）n－12 (7)（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）2 (8)10n－1
已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数， ②an＝1＋（－1）n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解：检验知①②③都是所给数列的通项公式．故选A. (2015•海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项 解：观察a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故选C. 在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)，则a3a5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38 解：∵anan－1＝an－1＋(－1)n， ∴an＝1＋（－1）nan－1(an－1≠0)． ∵a1＝1，∴a2＝2，a3＝12，a4＝3，a5＝23， ∴a3a5＝34.故选C. (2015•大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1， 因此an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2. 故填4，n＝1，2n＋1，n≥2. (2015•江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为________． 解：由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n（n＋1）2，则1an＝21n－1n＋1，故数列1an的前10项的和S10＝21－12＋12－13＋…＋110－111＝21－111＝2011.故填2011.
类型一 数列的通项公式 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，…. 解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝2n（2n－1）（2n＋1）. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为an＝n22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．
点拨： ①注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝1＋（－1）n＋12或an＝sinnπ2，甚至分段形式an＝1，n是奇数，0，n是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．
写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)an＝(－1)n•1n； (2)an＝2n＋1； (3)an＝13(10n－1)； (4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1•n2＋12n＋1. 类型二 由前n项和公式求通项公式 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝ ． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1.∴an＝2n－11. 故填2n－11.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1) ＝2n－2n－1＝2n－1. 综上有 an＝3（n＝1），2n－1（n≥2）. 故填3（n＝1），2n－1（n≥2）.
点拨： 任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）. 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用．
已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an. (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2•3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式． 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2•3n－1； 当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2•3n－1，n≥2. 类型三 由递推公式求通项公式 写出下面各数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； (2)a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 解：(1)由题意得，当n≥2时，an－an－1＝n， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n－1）（2＋n）2＝n（n＋1）2＋1. 又a1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式， 因此an＝n（n＋1）2＋1. (2)由题设知，a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1. ∴anan－1＝n＋1n－1. ∴anan－1＝n＋1n－1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3. 以上n－1个式子的等号两端分别相乘， 得到ana1＝n（n＋1）2. 又∵a1＝1，∴an＝n（n＋1）2. (3)解法一：(累乘法) an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3， ∴a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an＋1＋1an＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得an＋1＋1a1＋1＝3n. ∵a1＝1，∴an＋1＋11＋1＝3n， 即an＋1＝2×3n－1(n≥1)， ∴an＝2×3n－1－1(n≥2)， 又a1＝1也适合上式， 故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1. 解法二：(迭代法) an＋1＝3an＋2， 即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1) ＝33(an－2＋1) ＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)， ∴an＝2×3n－1－1(n≥2)， 又a1＝1也满足上式， 故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
点拨： 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，一般用累加法求通项；当出现anan－1＝f(n)时，一般用累乘法求通项．还须注意检验n＝1时，是否适合所求．
写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋1n（n＋1）； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝2an＋1. 解：(1)∵当n≥2时，an－an－1＝1n（n－1）＝1n－1－1n， ∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n. 当n＝1时，适合．故an＝3－1n. (2)∵an＋1an＝2n，∴a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1， 将这n－1个等式叠乘， 得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，∴an＝2n（n－1）2. 当n＝1时，适合．故an＝2n（n－1）2. (3)由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1. 类型四 数列通项的性质 在数列{an}中，an＝(n＋1)1011n(n∈N*)． (1)求证：数列{an}先递增，后递减； (2)求数列{an}的最大项． 解：因为an＝(n＋1)1011n是积幂形式的式子且an＞0，所以可用作商法比较an与an－1的大小． (1)证明：令anan－1≥1(n≥2)， 即（n＋1）1011nn•1011n－1≥1， 整理得n＋1n≥1110，解得n≤10. 令anan＋1≥1，即（n＋1）1011n（n＋2）1011n＋1≥1， 整理得n＋1n＋2≥1011，解得n≥9. ∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)由(1)知a9＝a10＝1010119最大．
点拨： 要证明数列{an}是单调的，可利用“{an}是递增数列⇔an＜an＋1，数列{an}是递减数列⇔an＞an＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．
已知函数f(x)＝x－1x，设an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an＜1； (2){an}是递增数列，还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：∵an＝n－1n＝1－1n， 又n∈N＋，∴1≥1n＞0.∴an＜1. (2)∵an＋1－an＝1－1n＋1－1－1n＝1n（n＋1）， 又∵n＋1＞n≥1，∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an. ∴{an}是递增数列．
1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节． (2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决． 2．an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2），注意an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，还须验证a1是否符合an(n≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项 掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等． (1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得： an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)． (2)已知a1且anan－1＝f(n)，可以用“累乘法”得： an＝a1•f(2)•f(3)•…•f(n－1)•f(n)． 注：以上两式均要求{f(n)}易求和或积． 4．数列的简单性质 (1)单调性：若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列． (2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期． (3)最大值与最小值：若an≥an＋1，an≥an－1， 则an最大；若an≤an＋1，an≤an－1， 则an最小．
1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A．1＋110n B．－1＋110n C．1－110n D．1－110n＋1 解：原数列前几项可改写为1－110，1－1102，1－1103，…，故通项an＝1－110n.故选C. 2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝( ) A．2n－1 B．n2 C.（n＋1）2n2 D.n2（n－1）2 解：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2（n－1）2.故选D. 3．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝( ) A．7 B．6 C．5 D．4 解：依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，∴a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.故选D. 4．数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是( ) A．310 B．19 C.119 D.1060 解：易得an＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝119最大．故选C. 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg1＋1n，则an的值为( ) A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn C．2＋nlgn D．1＋nlgn 解法一：∵an＋1－an＝lgn＋1n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝lgnn－1＋lgn－1n－2＋…＋lg21＋2 ＝lgnn－1•n－1n－2•…•32•21＋2＝lgn＋2. 解法二：an＋1＝an＋lg(n＋1)－lgn， an＋1－lg(n＋1)＝an－lgn，所以数列{an－lgn}是常数列，an－lgn＝a1－lg1＝2，an＝2＋lgn.故选A. 6．若数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1，则a2017的值为( ) A．－1 B.12 C．2 D．3 解：根据题意，∵数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1，∴an＋1＝1－1an，∴a2＝12，a3＝－1，a4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a2017＝a1＝2.故选C. 7．已知数列{an}满足as•t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________. 解：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2， t＝4，则a8＝a2×4＝a2×a4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an＝________. 解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2. 9．根据数列{an} 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7 777，…； (2)4，－52，2，－74，85，…； (3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，…. 解：(1)将各项改写如下 79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知an＝79(10n－1)． (2)将各项绝对值改写如下 41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知an＝(－1)n－1n＋3n. (3)an＝3（n为奇数），5（n为偶数）， 或an＝（3＋5）＋（－1）n－1（3－5）2＝4＋(－1)n. (4)观察数列{an}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴an＝n＋12（n为奇数），2n2（n为偶数）. 10．已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1•n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1•n－(－1)n•(n－1) ＝(－1)n＋1•[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1•(2n－1), a1适合此式， ∴an＝(－1)n＋1•(2n－1)． (2)当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2•3n－1＋2，a1不适合此式， ∴an＝6，n＝1，2•3n－1＋2，n≥2. 11．(2014•四川模拟)观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*)． (1)依次写出第六行的所有6个数； (2)归纳出an＋1与an的关系式，并求出{an}的通项公式． 解：(1)第六行的所有6个数分别是6，16，25，25，16，6. (2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，a2＝2， an＝a2＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋3＋…＋(n－1)＝2＋（n－2）（n＋1）2. 所以an＝12n2－12n＋1(n≥2，n∈N*)． 已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性． 解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． ∴bn＝23 （n＝1），1n （n≥2）. (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1， ∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1 ＝12n＋3－12n＋2 ＝－1（2n＋3）（2n＋2）＜0， ∴{cn}是递减数列．
20 × 20
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
