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周周测 4 集合、常用逻辑用语、函数与导数综合测试 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2018•东北三省四市一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( ) A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 答案：D 解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D. 2．(2018•大连二模)已知集合A＝{1,2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 答案：A 解析：由于A＝{1,2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，∴x＝2，y＝1，∴B＝{(2,1)}，故B的子集有∅，{(2,1)}，共2个，故选A. 3．(2018•九江二模)下列有关命题的说法正确的是( ) A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题：“若xy＝0，则x≠0” B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 C．命题“∃x∈R,2x2－1<0”的否定：“∀x∈R,2x2－1<0” D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题 答案：B 解析：“若xy＝0，则x＝0”的否命题：“若xy≠0，则x≠0”，故A错误；“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题，故B正确；“∃x∈R,2x2－1<0”的否定：“∀x∈R,2x2－1≥0”，故C错误；“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，根据原命题与其逆否命题的真假相同可知，逆否命题为假命题，故D错误．故选B. 4．(2018•湖南邵阳第一次大联考)若函数f(x)＝ax－k•a－x(a>0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是( ) 答案：B 解析：由题意得f(0)＝0，得k＝1，a>1，所以g(x)＝loga(x＋1)为(－1，＋∞)上的单调递增函数，且g(0)＝0，因此选B. 5．(2018•云南曲靖一中月考(二))已知幂函数f(x)＝xn的图象过点8，14，且f(a＋1)<f(2)，则a的取值范围是( ) A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案：B 解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点8，14，所以8n＝14，即23n＝2－2，解得n＝－23.因此f(x)＝x－23是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)<f(2)得，|a＋1|>2，解得a<－3或a>1.故选B. 方法点拨：利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数取值范围，注意分类讨论思想的应用． 6．(2018•天津六校联考)已知函数f(x)＝log2(4－x)，x<4，1＋2x－1，x≥4，则f(0)＋f(log232)＝( ) A．19 B．17 C．15 D．13 答案：A 解析：f(0)＋f(log232)＝f(0)＋f(5)＝log2(4－0)＋1＋25－1＝2＋1＋16＝19.故选A. 7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：C 解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6. 又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3， 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝－2＋3＝1.故选C. 8．(2018•兰州诊断考试)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A．75 B.752 C．27 D.272 答案：D 解析：本题考查导数的求法、导数的几何意义与直线的方程．依题意得y′＝3x2，y′|x＝1＝3，因此该切线方程是y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(0,9)，(－3,0)，所求三角形的面积等于12×9×3＝272，故选D. 9．(2018•陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2,2]，图象如图(2)所示，方程f[g(x)]＝0有m个实数根，方程g[f(x)]＝0有n个实数根，则m＋n＝( ) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：C 解析：注意到f(－1)＝f(0)＝f(1)＝0，g(x)＝－1有2个根，g(x)＝0有3个根，g(x)＝1有2个根，故m＝7.注意到g－32＝g(0)＝g32＝0，又－1≤f(x)≤1，f(x)＝0有3个根，故n＝3.所以m＋n＝10. 10．(2018•湖北百所重点学校联考)函数y＝x2ln|x||x|的图象大致是( ) 答案：D 解析：从题设提供的解析式中可以看出x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间0，1e上单调递减，在区间1e，＋∞上单调递增． 11．(2018•荆州一模)函数y＝xex在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e2 C．0 D.12e 答案：A 解析：易知y′＝1－xex，x∈[0,2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得2≥x>1，所以函数y＝xex在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝xex在[0,2]上的最大值是y|x＝1＝1e，故选A. 12．(2018•山东德州期中)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝2－12x，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(0<a<1)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.0，12 B.0，24 C.24，12 D.12，1 答案：C 解析：由f(x＋4)＝f(x)可知函数f(x)是以4为周期的周期函数，在直角坐标系内作出函数f(x)在区间[－2,0]内的图象，由偶函数f(x)的性质作出函数f(x)在区间[0,2]内的图象，由周期性作出函数f(x)在定义域内的图象．再作出函数y＝h(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象．如图所示，则两个函数的图象在区间(－2,6]内有三个交点的条件为h(2)＝loga4>－2，h(6)＝loga8<－2，解得24<a<12.故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．(2018•汕头一模)命题“若x>1，则log2x>0”的逆否命题是________． 答案：若log2x≤0，则x≤1 解析：由“若p，则q”的逆否命题为“若�q，则�p”，得“若x>1，则log2x>0”的逆否命题是“若log2x≤0，则x≤1”． 14．(2018•河南百校联盟质检)设曲线f(x)＝exsinx在(0,0)处的切线与直线x＋my＋1＝0平行，则m＝________. 答案：－1 解析：∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)， ∴k＝f′(0)＝1＝－1m，∴m＝－1. 15．(2018•广东惠州二模)已知直线x－y＋1＝0与曲线y＝lnx＋a相切，则实数a的值为________． 答案：2 解析：y＝lnx＋a的导函数为y′＝1x，设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝lnx0＋a.又切线方程x－y＋1＝0的斜率为1，则1x0＝1，解得x0＝1，则y0＝2，a＝y0－lnx0＝2. 16．(2017•山东卷)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________． ①f(x)＝2－x ②f(x)＝3－x ③f(x)＝x3 ④f(x)＝x2＋2 答案：①④ 解析：对于①，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，ex•f(x)＝ex•2－x＝e2x，∵函数y＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增，∴①符合题意． 对于②，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，ex•f(x)＝ex•3－x＝e3x，∵函数y＝e3x在(－∞，＋∞)上单调递减，∴②不符合题意． 对于③，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，ex•f(x)＝ex•x3，令y＝ex•x3，则y′＝(ex•x3)′＝ex•x2(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，y′<0，函数y＝ex•f(x)单调递减，故③不符合题意． 对于④，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，ex•f(x)＝ex(x2＋2)，令y＝ex(x2＋2)，则y′＝[ex(x2＋2)]′＝ex(x2＋2x＋2)>0，∴函数y＝ex(x2＋2)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴④符合题意． ∴符合题意的为①④.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若a>0且�p是�q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解析：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0， 当a＝1时，1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3， 由|x－3|<1，得2<x<4即q为真时实数x的取值范围是2<x<4， 若p∧q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是(2,3). (2)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0, �p是�q的充分不必要条件，即�p⇒�q，且�q/⇒�p， 设A＝{x|�p}，B＝{x|�q}，则A��B， 又A＝{x|�p}＝{x|x≤a或x≥3a}, B＝{x|�q}＝{x|x≥4或x≤2}， 则0<a≤2，且3a≥4， 所以实数a的取值范围是43，2. 18．(本小题满分12分) (2018•广东联合测试)已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx. (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在0，12上无零点，求a的最小值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2lnx， f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－2x. 由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得0<x<2. 故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)因为f(x)<0在0，12上恒成立不可能，故要使函数f(x)在0，12上无零点，只需对任意的x∈0，12，f(x)>0恒成立，即对x∈0，12，a>2－2lnxx－1恒成立． 令l(x)＝2－2lnxx－1，x∈0，12，则 l′(x)＝－2x(x－1)－2lnx(x－1)2＝2lnx＋2x－2(x－1)2. 令m(x)＝2lnx＋2x－2，x∈0，12，则 m′(x)＝－2x2＋2x＝－2(1－x)x2<0， 故m(x)在0，12上为减函数． 于是m(x)>m12＝2－2ln2>0， 从而l′(x)>0，于是l(x)在0，12上为增函数． 所以l(x)<l12＝2－4ln2 ∴a≥2－4ln2，即a的最小值为2－4ln2. 19．(本小题满分12分) (2018•河南息县段测(五))已知函数f(x)＝mx＋lnx，g(x)＝x3＋x2－x. (1)若m＝3，求f(x)的极值； (2)若对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥110g(t)，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当m＝3时， f(x)＝3x＋lnx. ∵f′(x)＝－3x2＋1x＝x－3x2，f′(3)＝0， ∴当x>3时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 当0<x<3时，f′(x)<0，f(x)是减函数． ∴f(x)有极小值f(3)＝1＋ln3，没有极大值． (2)g(x)＝x3＋x2－x，g′(x)＝3x2＋2x－1. 当x∈12，2时，g′(x)>0， ∴g(x)在12，2上是单调递增函数，g(2)＝10最大． 对于任意的s，t∈12，2，f(s)≥110g(t)恒成立，即对任意x∈12，2， f(x)＝mx＋lnx≥1恒成立，∴m≥x－xlnx. 令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx. ∴当x>1时，h′(x)<0，当0<x<1时，h′(x)>0， ∴h(x)在(0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 当x∈12，2时，h(x)最大值为h(1)＝1， ∴m≥1，即m∈[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分) (2018•云南省第一次统一检测)已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)． (1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)判断函数f(x)的单调性． 解析：(1)∵a＝e， ∴f(x)＝ex－ex－1，f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0. ∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1. (2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a. 易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增． ∴当a≤1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna， ∴当0<x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增． 21．(本小题满分12分) (2017•北京卷)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f(x)＝excos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为 f(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1， 则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. 当x∈0，π2时，h′(x)＜0， 所以h(x)在区间0，π2上单调递减． 所以对任意x∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0， 即f′(x)＜0. 所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减． 因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，最小值为fπ2＝－π2. 22．(本小题满分12分) (2018•贵州遵义联考)已知函数f(x)＝x3－ax2＋10. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x， 由f′(x)>0，得x<0或x>23， 所以函数y＝f(x)在(－∞，0)与23，＋∞上为增函数， 即函数y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和23，＋∞. (2)f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－23a， 当23a≤1，即a≤32时，f′(x)≥0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上为增函数， 故f(x)min＝f(1)＝11－a， 所以11－a<0，a>11，这与a≤32矛盾． 当1<23a<2，即32<a<3时， 若1≤x<23a，则f′(x)<0；若23a<x≤2，则f′(x)>0. 所以当x＝23a时，f(x)取得最小值， 因此f23a<0，即827a3－49a3＋10＝－427a3＋10<0， 可得a>3，这与32<a<3矛盾． 当23a≥2，即a≥3时，f′(x)≤0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上为减函数， 所以f(x)min＝f(2)＝18－4a，所以18－4a<0，解得a>92，满足a≥3. 综上所述，实数a的取值范围为92，＋∞.
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