微分方程和差分方程模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第三章第三章 微分方程和差分方程模型微分方程和差分方程模型3.1 微分方程模型微分方程模型3.2 差分方程模型差分方程模型3.3 观众厅地面设计观众厅地面设计3.4 碳定年代法碳定年代法3.5 范范.梅格伦伪造名画案梅格伦伪造名画案第1页 在研究实际问题时在研究实际问题时,我们经常不能直接得出变量之我们经常不能直接得出变量之间关系间关系,但却能轻易得出包含变量导数在内关系式但却能轻易得出包含变量导数在内关系式,这就这就是微分方程是微分方程.在现实社会中在现实社会中,又有许多变量是离散改变又有许多变量是离散改变,如人口数、如人口数、生产周期与商品价格等生产周期与商品价格等,而且离散运算含有可操作性而且离散运算含有可操作性,差分正是联络连续与离散变量一座桥梁差分正是联络连续与离散变量一座桥梁.不论是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到不论是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解其解析解(必要时必要时,能够利用计算机求其数值解能够利用计算机求其数值解),),既使得既使得到其解析解到其解析解,还有未知参数需要预计还有未知参数需要预计(这是可利用第二章这是可利用第二章参数预计方法参数预计方法).).而在实际问题中而在实际问题中,讨论问题解改变趋势很主要，所讨论问题解改变趋势很主要，所以，以下只对其平衡点稳定性加以讨论以，以下只对其平衡点稳定性加以讨论.第2页3.1 微分方程模型微分方程模型 假如假如则称平衡点则称平衡点x0是是稳定稳定.称代数方程称代数方程 f(x)=0 实根实根x=x0为方程为方程(3-1)平衡点平衡点(或奇点或奇点).它也是方程它也是方程(3-1)解解.设设第3页稳定性判别方法稳定性判别方法因为因为在讨论方程在讨论方程(3-1)来代替来代替.稳定性时，可用稳定性时，可用 易知易知 x0也是方程也是方程(3-2)平衡点平衡点.(3-2)通解为通解为关于关于x0是否稳定有以下结论：是否稳定有以下结论：若若则则x0是稳定；是稳定；若若则则x0是不稳定是不稳定.这个结论对这个结论对于于(4-1)也也是成立是成立.第4页 关于常微分方程组平衡点及其稳定性关于常微分方程组平衡点及其稳定性,设设代数方程组代数方程组实根实根x=x0,y=y0称为方程称为方程(3-3)平衡点平衡点,记记作作P0(x0,y0).它也是方程它也是方程(3-3)解解.第5页假如假如则称平衡点则称平衡点P0是是稳定稳定.下面给出判别平衡点下面给出判别平衡点P0是否稳定是否稳定判别准判别准则则.设设 则当则当p0且且q0时时,平衡点平衡点P0是稳定；是稳定；当当p0或或q0时时,平衡点平衡点P0是不稳定是不稳定.第6页3.2 3.2 差分方程模型差分方程模型 对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (3-6)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(3-6)解解,包含个任意常包含个任意常数解称为数解称为(3-6)通解通解,x0,x1,xk-1为已知时称为已知时称为为(3-6)初始条件初始条件,通解中任意常数都由初始条件通解中任意常数都由初始条件确定后解称为确定后解称为(3-6)特解特解.若若x0,x1,xk-1已知已知,则形如则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)差分方程解能够在计算机上实现差分方程解能够在计算机上实现.第7页 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(3-6)解解,即即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(3-6)平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(3-6)任意由初始条件确定解任意由初始条件确定解 xn=x(n)都有都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数为常数,且且a-1,0)通解为通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点,由上式知由上式知,当且仅当且仅当当|a|1时时,b/(a+1)是稳定平衡点是稳定平衡点.第8页 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时时,它有一特解它有一特解x*=0；当当r 0,且且a+b+1 0时时,它有一特解它有一特解x*=r/(a+b+1).不论是哪种情形不论是哪种情形,x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方设其特征方程程 2+a +b=0两个根分别为两个根分别为 =1,=2.第9页 当当 1,2是两个不一样实根时是两个不一样实根时,二阶常系数二阶常系数线性差分线性差分方程通解为方程通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数二阶常系数线性差分线性差分方程通解为方程通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当当 1,2=(cos +i sin )是一对共轭复是一对共轭复根时根时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程通解为方程通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知易知,当且仅当特征方程任一特征根当且仅当特征方程任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定是稳定.则则第10页对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x*稳定性稳定性,将上述差分方程近似将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程为一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程非线性差分方程稳定性相同稳定性相同.所以所以当当时时,x*是稳定；是稳定；当当时时,x*是不稳定是不稳定.当当第11页3.3 3.3 观众厅地面设计观众厅地面设计1 问题提出在影视厅或汇报厅，经常会为前边观众遮挡住自己视线而苦恼。显然，场内观众都在朝台上看，假如场内地面不做成前低后高坡度模式，那么前边观众必定会遮挡后面观众视线。试建立数学模型设计良好汇报厅地面坡度曲线。第12页建立坐标系oo处于台上设计视点bb第一排观众眼睛到x轴垂 直距离xyadda第一排观众与设计视点水平距离d相邻两排排距视线升高标准x表示任一排与设计视点水平距离求任一排x与设计视点o竖直距离函数使此曲线满足视线无遮挡要求。问题第13页2 问题假设1)观众厅地面纵剖面图一致，只需求中轴线上地面起伏曲线即可。2)同一排座位在同一等高线上。3)每个坐在座位上观众眼睛与地面距离相等。4)每个坐在座位上观众头与地面距离也相等。5)所求曲线只要使观众视线从紧邻前一个座位人头顶擦过即可。第14页3 建模设眼睛升起曲线应满足微分方程初始条件obxyadd1）从第一排起，观众眼睛与o点连线斜率随排数增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹。第15页2）选择某排和相邻排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相同于D第16页再计算相同于第17页4 模型求解 微分不等式（比较定理）设函数定义在某个区域上，且满足1）在D上满足存在唯一性定理条件；2）在D上有不等式则初值问题与解在它们共同存在区间上满足第18页第19页所求曲线近似曲线方程（折衷法）折衷法第20页5 总结与讨论有时只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型讨论obxyadd1）视点移动时升起曲线怎样求得？2）怎样降低地面坡度？调整参数、相邻排错位。3）衡量经济指标？座位尽可能多、升起曲线占据空间尽可能少等。第21页 3.4 碳定年代法碳定年代法考古、地质学等方面教授惯用14C测定法（通常称碳定年代法）来预计文物或化石年代。第22页v 14C蜕变规律蜕变规律v14C是一个由宇宙射线不停轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成含有放射性物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。v14C是放射性，不论在空气中还是在生物体内他都在不停蜕变，这种蜕变规律我们能够求出来。通常假定其蜕变速度与该时刻存余量成正比。第23页v设在时刻t（年），生物体中14C存量为x(t),生物体死亡时间记为t0=0,此时14C含量为x0,由假设，初值问题 v （1.1）解为v （1.2）v其中，为常数，k前面符号表示14C存量是递减。（1.2）式表明14C是按指数递减，而常数k可由半衰期确定，第24页v若14C半衰期为T,则有v (1.3)v将（1.3）代入（1.2）得v v即有 （1.4）第25页v碳定年代法依据碳定年代法依据v 活着生物经过新陈代谢不停摄取14C,因而他们体内14C与空气中14C含量相同，而生物死亡之后，停顿摄取14C，因而尸体内14C因为不停蜕变而不停降低。碳定年代法就是依据生物体死亡之后体内14C蜕变降低许改变情况来判断生物死亡时间。第26页v碳定年代法计算碳定年代法计算v由（1.4）解得 v (1.5)v因为x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作以下修改.v对(1.2)式两边求导数，得v (1.6)v而 (1.7)第27页v(1.6)和(1.7)两式相除，得 将上式代入(1.5)，得 v (1.8)这么由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体内14C蜕变速度 和现在时刻t蜕变速度 ,就能够求得生物体死亡时间了，在实际计算上，都假定当代生物体中14C蜕变速度与生物体死亡时代生物体中14C蜕变速度相同。第28页v马王堆一号墓年代确实定马王堆一号墓年代确实定v马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土木炭标本14C平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成木炭中14C 平均原子蜕变数为38.37/s,又知14C半衰期为5568年，这么，我们能够把 ,，T=5568 年代入(1.8)，得 v这么就估算出马王堆一号墓大约是在多年前。第29页v两个注记v（1）马王堆中古代科技之谜v素纱蝉衣：两件轻薄衣服，丝绸，极轻且两千年不腐，南京云锦研究所接收国家科技攻关，用了二十年时间，于1990年成功研制出类似素纱蝉衣复制品，但该复制品比汉代还重50克，已不可能再轻了。v女尸千年不腐：病理知识：女尸解剖显示患有非常严重冠心病；肺部有肺结核钙化，肺部钙化是肺结核痊愈后表现。后今天，要想控制肺结核，除本身第30页v抵抗力要强外，还要有好营养，要想痊愈是很困难。两处胆结石，其一在胆总管，有蚕豆大，胆道被堵得水泄不通。三种寄生虫，其中竟有血吸虫，其症状应为腹胀如鼓，骨瘦如柴，但该女子皮下脂肪异常丰满，显然血吸虫被有效控制住了。该西汉贵妇生前病魔缠身，但从其遗体上未发觉长久卧床养病迹象。一个同时患有这么多疾病人，能够长久稳定控制病情，在今天也是一个奇迹，说明汉代医术已到达了相当高水平。第31页v（2）碳定年代法不足v 现在，14C年代测定法已受到怀疑，在2500-100前这段时间中与其它断代法结果有差异。1966年，耶鲁试验室Minze Stuiver 和加利福尼亚大学圣地亚哥分校Hans E.Suess在一份汇报中指出了这一时期使14C年代测定产生误差根本原因。在那个年代，宇宙射线放射强度减弱了，偏差峰值发生在大约60以前。第32页v这两位研究人员结论出自对Brist/econe松树所作14C年代测定结果，因为这种松树同时还提供了准确年轮断代。他们提出了一个很成功误差公式，用来校正依据14C断代定出2300-60前这期间年代：v真正年代=14C年1.4900。第33页3.4 范范.梅格伦伪造名画案梅格伦伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子合作者，发觉一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰利益，全部油画都是自己伪造，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer画耶稣在学者中间。当他工作快完成时，又得悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。第34页 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加国际专门小组，采取了当初最先进科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发觉了当代物质诸如当代颜料钴蓝痕迹。这么，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。不过，许多人还是不相信其余名画是伪造，因为，Vanmeegren在狱中作画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到后，1967年，卡内基梅隆大学科学家们用微分方程模型处理了这一问题。第35页原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质放射性正比于现存物质原子数。设 时刻原子数为 ，则有为物质衰变常数。初始条件第36页半衰期碳-14铀-238镭-226铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出这正是问题难处，下面是间接确定 方法。断代。第37页油画中放射性物质油画中放射性物质 白铅（铅氧化物）是油画中颜料之一，应用已经有余年，白铅中含有少许铅(Pb210)和更少许镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出。当白铅从处于放射性平衡状态矿中提取出来时，Pb210绝大多数起源被切断，因而要快速蜕变，直到Pb210与少许镭再度处于放射平衡，这时Pb210蜕变恰好等于镭蜕变所补足为止。第38页铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）第39页假设假设（1）镭半衰期为16，我们只对17 世纪油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭最少还有原量90%以上，所以每克白铅中每分钟镭衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋半衰期为138天轻易测定，铅210半衰期为22年，对要判别300多年颜料来说，每克白铅中每分钟钋衰变数与铅210衰变数可视为相等。第40页建模建模设 时刻每克白铅中含铅210数量为 ，为制造时刻 每克白铅中含铅210数量。为铅210衰变常数。则油画中铅210含量第41页求解求解均可测出。可算出白铅中铅衰变率 ，再于当初矿物比较，以判别真伪。矿石中铀最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超出3 万个原子，则矿石中含铀量超出 4%。第42页测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数lEmmaus信徒们8.50.82洗足12.60.26l读乐谱妇人10.30.3l弹曼陀林妇人8.20.17l做花边人1.51.4l欢笑女孩5.26.0第43页若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。第44页同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。第45页