概率论与数理统计多维随机变量及其分布两个随机变量的函数的分布省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

概率论概率论 第五节第五节 两个随机变量函数分布两个随机变量函数分布Z=X+Y 分布分布M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)分布分布Z=XY 分布分布*Z=X/Y 分布分布*Z=X2+Y2 分布分布第1页概率论概率论 例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求 Z=X+Y 概率函数概率函数.解：解：=a0br+a1br-1+arb0,由独立性由独立性r=0,1,2,一、一、分布分布 1.(X,Y)为二维离散型情形为二维离散型情形第2页概率论概率论 解解:依题意依题意:例例2 若若X 和和Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 1,2 泊松分布泊松分布,证实证实:Z=X+Y服从参数为服从参数为1+2泊松分布泊松分布.于是于是:i=0,1,2,;j=0,1,2,r=0,1,即即:Z=X+Y服从参数为服从参数为 1+2泊松分布泊松分布.第3页概率论概率论 第4页概率论概率论 已知设已知设 X 和和 Y 联合密度为联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 概率密度概率密度.这里积分区域这里积分区域 D=(x,y)|x+y z,Z=X+Y 分布函数是分布函数是:它它是直线是直线 x+y=z 及其左下方半平面及其左下方半平面.2.(X,Y)为二维连续型情形为二维连续型情形第5页概率论概率论 化成累次积分化成累次积分,得得:固定固定 z 和和 y,对方括号内积分作变量代换对方括号内积分作变量代换,令令 x=u-y,得得:变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数关系密度与分布函数关系,即得即得 Z=X+Y 概率密度为概率密度为:由由 X 和和 Y 对称性对称性,fZ(z)又可写成又可写成:第6页概率论概率论 尤其地尤其地,当当 X 和和 Y 独立独立,设设(X,Y)关于关于 X,Y 边缘密度分别为边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:卷积公式卷积公式两个随机变量两个随机变量和概率密度普通公式和概率密度普通公式:第7页概率论概率论 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 区域区域 例例3 若若 X 和和Y 独立独立,含有共同概率密度含有共同概率密度:求求 Z=X+Y 概率密度概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式:也即也即:故故:当当 或或 时时,第8页概率论概率论 暂时固定暂时固定当当 时时,于是于是:当当 时时,第9页概率论概率论 例例4 若若 X 和和 Y 是两个相互是两个相互独立独立随机变量随机变量,含有相同分布含有相同分布 N(0,1),求求 Z=X+Y 概率密度概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式:令令 得得:可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).第10页概率论概率论 用类似方法能够证实用类似方法能够证实:若若 X 和和 Y 独立独立,结论又怎样呢结论又怎样呢?此结论此结论能够推广到能够推广到 n 个独立随机变量之和情形个独立随机变量之和情形.若若 X 和和 Y 独立独立,含有相同分布含有相同分布 N(0,1),则则 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).有限个独立正态变量线性组合依然服从正态分布有限个独立正态变量线性组合依然服从正态分布.更普通地更普通地,能够证实能够证实:第11页概率论概率论 二、二、M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)分布分布设设 X,Y 是两个相互独立随机变量是两个相互独立随机变量,它们分布函数分别为它们分布函数分别为 FX(x)和和 FY(y),我们来求我们来求 M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)分布函数分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)因为因为 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M=max(X,Y)分布函数为分布函数为:=P(Xz)P(Yz)FM(z)1.M=max(X,Y)分布函数分布函数即有即有:FM(z)=FX(z)FY(z)第12页概率论概率论 即有即有:FN(z)=11FX(z)1FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)分布函数分布函数因为因为 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N=min(X,Y)分布函数为分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)第13页概率论概率论 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立随机变量个相互独立随机变量,它它们分布函数分别为们分布函数分别为:我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)分布函数分布函数.(i=1,n)用与二维时完全类似方法用与二维时完全类似方法,可得可得:N=min(X1,Xn)分布函数是分布函数是:M=max(X1,Xn)分布函数为分布函数为:尤其地尤其地,当当 X1,Xn相互独立且含有相互独立且含有相同分布函数相同分布函数F(x)时时,有有:第14页概率论概率论 例例5 设系统设系统 L由两个相互独立子系统由两个相互独立子系统 L1,L2连接而成连接而成,连接方式分别为连接方式分别为:(i)串联串联,(ii)并联并联,(iii)备用备用(当系统当系统 L1损坏时损坏时,系统系统 L2开始工作开始工作),以下列图所表以下列图所表示示.设设 L1,L2寿命分别为寿命分别为 X,Y,已知它们概率密度分别为已知它们概率密度分别为:其中其中 且且 试分别就以上三种连接方式写出试分别就以上三种连接方式写出 L寿命寿命 Z 概率密度概率密度.XYXYXY第15页概率论概率论 XY解解:(i)串联情况串联情况因为当系统因为当系统 L1,L2中有一个损坏时中有一个损坏时,系统系统 L 就停顿工作就停顿工作,所以此时所以此时 L寿命为寿命为:因为因为 X 概率密度为概率密度为:所以所以 X 分布函数为分布函数为:第16页概率论概率论 当当 x 0 时时,当当 x 0 时时,故故:类似地类似地,可求得可求得 Y分布函数为分布函数为:第17页概率论概率论 于是于是 分布函数为分布函数为:=1-1-FX(z)1-FY(z)概率密度为概率密度为:第18页概率论概率论 XY(ii)并联情况并联情况因为当且仅当系统因为当且仅当系统 L1,L2都损坏时都损坏时,系统系统 L才停顿工作才停顿工作,所以此时所以此时 L寿命为寿命为:故故 分布函数为分布函数为于是于是 概率密度为概率密度为:第19页概率论概率论 XY(iii)备用情况备用情况所以整个系统所以整个系统 L寿命为寿命为:因为当系统因为当系统 L1损坏时损坏时,系统系统 L2才开始工作才开始工作,当且仅当当且仅当:即即:时时,上述积分被积函数不等于零上述积分被积函数不等于零.故故:当当 z 0 时时,当当 z 0 时时,第20页概率论概率论 于是于是 概率密度为概率密度为:需要指出是需要指出是,当当X1,Xn相互独立且含有相同分布函数相互独立且含有相同分布函数F(x)时时,常常称称:为为极值极值.M=max(X1,Xn),N=min(X1,Xn)因为一些灾害性自然现象因为一些灾害性自然现象,如地震、洪水等等都是极值如地震、洪水等等都是极值,研究极值分布含有主要意义和实用价值研究极值分布含有主要意义和实用价值.第21页概率论概率论 例例6 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在矩形域在矩形域 G=(x,y)|0 x 2,0 y 1 上服从均匀分布上服从均匀分布,试求边长为试求边长为 X和和Y矩形面积矩形面积S概率密度概率密度 f(s).令令F(s)为为S分布函数分布函数,则则:三、三、Z=XY 分布分布显然显然,当当 s 0时时,F(s)=0;当当 s 2时时,F(s)=1.解解:由已知由已知,(X,Y)概率密度为概率密度为:第22页概率论概率论 当当 0s2时时,如图所表示如图所表示,有有:于是于是:故故S概率密度为概率密度为:第23页概率论概率论 作业习题3-5 1;4;5;7;8 第24页