基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析_郭建锋.pdf

第51 卷 第12 期 电力系统保护与控制电力系统保护与控制 Vol.51 No.12 2023年6月16日 Power System Protection and Control Jun.16,2023 DOI:10.19783/ki.pspc.221335 基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析 郭建锋1，钱 伟1，费树岷2，汪 豪1(1.河南理工大学电气工程与自动化学院，河南 焦作 454000；2.东南大学自动化学院，江苏 南京 210096)摘要：针对大规模互联电力系统中时滞现象对系统稳定运行造成的不可忽略的影响，研究多个时滞影响下广域电力系统的稳定性问题。首先，建立多时滞电力系统模型。其次，构造一种新的包含多时滞积分项相互耦合的增广型 Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函，并采用一种新方法，将构造的泛函作为整体判断其正定性，放松了对泛函矩阵正定性的限制。然后，利用基于辅助函数的积分不等式对泛函导数进行估计，得到了具有较小保守性的多时滞电力系统稳定性判据。最后，通过对典型二阶时滞系统、单机无穷大系统以及 WSCC 3 机 9 节点系统进行仿真分析，验证了所提方法的优越性。关键词：广域电力系统；多时滞；Lyapunov-Krasovskii 泛函；积分不等式 Stability analysis for wide-area power systems with multiple time delays based on an optimized functional GUO Jianfeng1,QIAN Wei1,FEI Shumin2,WANG Hao1(1.School of Electrical Engineering and Automation,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China;2.School of Automation,Southeast University,Nanjing 210096,China)Abstract:There is an inevitable effect of time delay on the stable operation of large-scale interconnected power systems.A stability analysis of wide-area power systems with multiple time delays is carried out.First,a power system model with multiple time delays is established.Second,a new Lyapunov-Krasovskii(L-K)function is constructed.This contains the coupling integral terms between multiple time delays,and a new method is used to consider the positive definiteness of the functional matrices as a whole,so that the restriction that functional matrices must be positive definite is relaxed.Then,auxiliary-function-based integral inequality is used to estimate the derivatives of the functional.This reduces the conservative of stability conditions.Finally,numerical examples of typical second-order time-delay system,single-machine infinite system and the WSCC 3-generator 9-bus are given to illustrate the effectiveness of the proposed method.This work is supported by the National Natural Science Foundation of China(No.61973105).Key words:wide-area power systems;multiple time delays;Lyapunov-Krasovskii functional;integral inequality 0 引言 近年来，基于相量测量单元(phasor measurement unit,PMU)的广域测量系统(wide area measurement system,WAMS)广泛应用，推动了电力系统分布式测量和协调控制的发展1-5。由于 WAMS 数据是通过开放式通信网络传输的，数据在传输、处理等过程中不可避免地存在时间延迟现象。WAMS 时滞一 基金项目：国家自然科学基金项目资助(61973105)；河南省创新型科技团队项目资助(CXTD2016054)；河南省科技攻关计划项目资助(232102240096)般由 PMU 时滞、通信时滞、控制器处理时滞和执行器执行时滞等组成。其中 PMU 时滞由系统测量、计算以及数据打包和发送时产生的；通信时滞由串行化时滞、传播时滞、网络处理时滞以及交换时滞等 4 个部分构成，通信时滞变化范围较大，其大小与通信带宽、通信介质、传输距离以及数据包大小有关；控制器处理时滞由计算时滞和等待时滞两部分组成，其大小与控制器性能及控制算法有关；执行器执行时滞为执行器接收到控制信号到系统做出响应的时间，其大小与执行器性能及系统阻尼有关。由此可见，广域电力系统时滞是由多种时滞构成的，这些时滞的存在对系统稳定运行及系统性能将产生-48-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 较大影响6-7。因此，研究时滞影响下广域电力系统的稳定性具有十分重要的现实意义。时滞影响下电力系统稳定性分析主要分为频域法和时域法两种方法。频域法通过求解系统的特征方程得到特征根，再根据特征根的分布来判断系统的稳定性。因频域法能够得到时滞上界精确值，可以用于系统稳定性的准确判断，同时还可以进行系统动态特征分析，故被应用于研究固定时滞电力系统小扰动稳定性问题。频域法可分为两类，一类是基于临界稳定状态时系统具有一对纯虚根的特性，通过消去特征方程的时滞项8或者利用 Rekasius 变换9-10替换时滞项，进而求解得到精确时滞稳定裕度。如文献8通过递归替换消去系统特征方程中的超越项求解特征根，并引入根趋势的定义，得出了三区域负荷频率控制系统时滞上界的解析形式；文献9通过 Rekasius 变换处理特征方程中因时滞引入的超越项，采用递归算法求解低维特征方程，得到了广域时滞电力系统精确时滞上界；文献10利用 Rekasius 变换精确求解基于模块化多电平换流器的高压直流(MMC-HVDC)系统的时滞稳定裕度，研究了系统高频稳定性问题，并定量分析了系统高频振荡的影响因素。另一类频域法是通过Pade近似11或者离散化方法12近似求解系统的最右特征值，以此判断系统稳定性。如文献11提出一种适用于多时滞场景的通用 Pade 逼近状态空间，结合参与因子法，利用数值方法挖掘系统动态和时滞动态矩阵信息，求解特征根与特征向量，判断系统稳定性，进而得到了MMC-HVDC 系统时滞稳定裕度；文献12利用切比雪夫离散化方法处理负荷频率控制系统中的时滞变量，并利用函数空间法建立等值离散化系统模型，基于离散化系统的特征值进行稳定性分析，得到了自动发电控制采样保持特性的时滞电力系统稳定性判据。为了获得特征根，频域法要求被分析的系统具有已知或固定的系统参数。因此，频域法适用于研究定常时滞系统12。当系统包含时变、随机或混合等复杂时滞时，频域法计算过程将变得复杂且存在着求解困难等问题。时域法则相对简单，特别在分析时变时滞、随机时滞或混合时滞系统时，具有一定优势，目前已经成为分析时滞电力系统稳定性的主要方法。时域法中应用最为广泛的是 L-K泛函方法，由于此方法给出的是系统稳定的充分条件，必然存在一定的保守性。为了降低结论的保守性，诸多学者深入研究，一些新的泛函构造和泛函导数估计方法被不断提出。针对时变时滞影响下的电力系统，一些学者在 Lyapunov 稳定性理论框架下采用不同方法进行稳定性分析和控制器设计，得到保守性各异的稳定性判据和不同的控制器设计方法。如文献13构造了含有时滞依赖矩阵的增广型L-K 泛函，并采用 Jensen 不等式和凸组合技术对时滞分割后的积分项进行处理；文献14将 Wirtinger积分不等式与凸组合技术有效结合来处理泛函导数；文献15提出了一种基于改进自由权矩阵与广义特征值的时滞稳定上限求解方法；文献16采用扩展型积分不等式和凸组合等方法对泛函导数进行估计，并设计了无记忆反馈和带记忆反馈的控制器；文献17在稳定性分析的基础上，设计了时变时滞电力系统带记忆的反馈控制器，运用改进的线性矩阵不等式方法，对判据中的非线性项进行处理；文献18采用 L-K 泛函和降阶模型方法设计出了广域阻尼控制器。针对随机时滞影响下的电力系统，文献19考虑了通信时滞概率分布特性，建立了随机时滞影响下的负荷频率控制系统数学模型，构造了Delay-product 增广型 L-K 泛函，采用基于 Wirtinger积分不等式和一种新的延伸反凸组合不等式，得到了保守性较小的稳定性和 H性能判据；文献20针对含有概率分布特性时滞的负荷频率控制系统，利用 L-K 泛函方法，得到了概率分布时滞影响下的负荷频率控制系统稳定性判据，并设计了 H控制器。需要指出的是，以上研究仅考虑了单个时滞现象对电力系统的影响，但是在实际电力系统中，有多台发电机组同时运行时，安装于发电机组上的相量测量单元同时工作，中心控制系统同时反馈给多个相量采集单元，因而在广域测量系统中可能存在多个时滞同时并存的情况21。针对实际电力系统存在多时滞的情形，有关多时滞影响下电力系统的稳定分析方法被提出。如文献22对 L-K 泛函进行简化并采用自由权矩阵方法将单时滞系统稳定性判据推广到多时滞，得到了多时滞电力系统稳定性判据。文献23考虑广域电力系统测量信号传输时存在多个时滞的情况，建立了多时滞的电力系统模型，借鉴在构造单时滞系统L-K泛函时引入积分二次型的思路构造新的泛函，得到改进的多时滞电力系统稳定性判据。文献24基于多时滞电力系统模型，提出一种通过权值计算来甄别L-K泛函冗余项的有效方法，通过剔除冗余项来优化 L-K 泛函，降低了多时滞电力系统稳定性判据的保守性。文献25采用基于 Wirtinger 积分不等式的放缩技巧且通过引入必要的松散项，得到了保守性较小的多时滞电力系统稳定性判据。总体来看，现有研究时滞电力系统的文献还是以考虑单时滞情况居多，研究多时滞系统稳定性的成果相对较少，并且其稳定性判据的保守性有待改善，特别是在泛函构造方式、泛函导数估郭建锋，等 基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析 -49-计方法以及两者有效配合上仍存在较大提升空间。基于以上分析，本文进一步研究多时滞影响下电力系统稳定性问题。首先建立多时滞电力系统模型，在此基础上，构造一种包含多时滞积分项相互耦合的增广型 L-K 泛函，充分利用时滞信息，建立不同变量间的耦合关系，并根据泛函特点，将构造的部分泛函综合起来，整体考虑其正定性，放松了传统方法中对所有泛函矩阵必须正定的限制，为有效降低结论的保守性奠定了基础。然后，采用基于辅助函数的一重和二重积分不等式对泛函导数进行精确估计，得到保守性更小的稳定性判据。最后，通过仿真实例验证了本文方法的有效性。1 多时滞电力系统模型 传统的电力系统暂态过程可以由微分代数方程组描述。由于时滞的存在，可形成以下含有 m 个时滞环节的电力系统微分代数方程组模型，如式(1)。1212(,)(,)0(,)0,1,2,mmiiiim|=?x=f x x xxy y yyg x y=g x y=(1)式中：nxR 是系统的状态向量；ryR是代数向量；()iit=-xx是 系 统 的 时 滞 状 态 向 量；()iit=-yy是时滞代数向量；(1,2,)iim=R是时滞常数；:nmnfRRR表示发电机、励磁系统、原动机和其他动态元件以及负荷等动态过程对应的向量场函数；()g和()ig分别是当前时刻和i之前的系统代数约束。将式(1)在平衡点ee(,)xy处线性化，可得 00100+(+)+0+01,2,iiiimiyiiiyiim=|=?xxx=Ax By+AxByCx Dy=CxDy=(2)式 中：0/=Af x，0/=Bf y，0/=Cg x，0/=Dg y，/ii=xAf x，/iyi=Bf y，/ii=xCg x，/iyi=Dg y，均是在平衡点处取值。若0D、iyD可逆，则式(2)可简化为 01()miiit=-?x=Ax+A x (3)式中：100000-A=AB D C；1iiiii-xyyxA=AB D C。状态变量的增量x用()tx表示，则式(3)可以写成：01()()()miiittt=-?x=A x+A x (4)通过整理归纳，多时滞系统的状态方程可表示为式(5)。01()()()(+)(,),0)miiittttt=|-|=?，x=A x+A xx (5)式中：()ntxR为系统状态向量；(,)t 为系统的初始状态；01,n nmA AAR为系统的系数矩阵；123max(,)m =，其中 m 为系统中含有的时滞个数。为了得到本文的主要结论，需要以下引理。引理 126 对于任意给定矩阵0R，标量m、n满足mn且向量值函数(),s sm nx，使下面不等式成立：TT()()()d()d)()d)nnnmmmnmsx ssssss-xRxRx 引理 227 对于任意正定矩阵n nMR，标量ab、满足ab且向量值函数,na b R，使下面不等式成立：TTTT112233()()d135basssbababa+-?MMMM 其中，12()()2()()()dbabaabssba=-=+-312612()d()d d()bbbaas ss sbaba=+-引理327 对于任意正定矩阵n nNR，标量ab、满足ab且向量值函数,na bR，使下面不等式成立：TTT1122()()d d24bbasss+?NNN 其中，11()()dbabssba=-?2226()()d()d d()bbbaabssssbaba=+-?2 多时滞电力系统稳定性判据 针对式(5)所示的多时滞电力系统，本节通过构造含有多时滞积分项相互耦合的增广型L-K泛函，-50-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 放松对泛函矩阵的限制并应用具有较小保守性的放缩技巧，得出具有较小保守性的稳定判据。定理1 对于任意时滞常数120 m，如果存在对称矩阵(21)(21)mnmn+PR，n niQR和0n niRR，0n niSR，,10n nj j+RR(其中1,2,im=；1,2,1jm=-；1,ij=、21m+)使得式(6)、式(7)所示线性矩阵不等式成立，则系统(5)是渐近稳定。1,11,211,2121,210mji jimmm+|=*|*(6)T0*|-(7)其中：21,11,111,1,111,1,1,112,11,1166,(21)24,(221)18,(21)(144),(221)(48),(21,)miiijjjjjjj mi ji jjji ji jj mj mi ji jj mj mjmmjmijmmijmimjm i=-=+=+=-+=+=+=+=+=-+=+PRPRPRPRQPRPR,(221,)i ji jijmjmi=+P TTT111111TTT33124455111T661Sym()24miiiiiiimmmiiijimii+=-=-+?eQeeQeRRSPS TTT1212T21Sym=+PPP diag,3,5iii=RRRR,1,1,1,1j jj jj jj j+-=|-?RRRRR21321,1111()2mmmiiijjj jiiji-+=+-+RRS 012,mm=|00 A AA TTT2T2T11T112212231.mmmmmm+=eeeee TTTTTTTTTTTTT2102111211121121TT()()()()mmmmmm+=+-+e Ae AeAeeeeeeee TTTTTT3123412,jj+=eeTTTTTTT51161121,26i mi mim+=-=+-eeeee TT11121TT1TT1T,+2iii m+=-=-eeeee TT31112TTT1612ii mim+=-+-eeee(1)(31),1,2,31(1)ininnnmi nimm-+-=+00eI,ijP是对称矩阵P的第i行、第j列块元素。*表示对称矩阵中的对称项。证明：对系统(5)构造如式(8)L-K泛函。1234()()+()+()+()V tV tV tV tV t=(8)其中，T1()()()V ttt=P T21()()()dimtiitiV tsss-=xQ x 33132()()()V tVtVt=+T41()()()d d dimtttitiV tsss-=?xS x 式中：11T()()()d()d()d d()d dmmttttttttttttssssssss-=|xxxxx 2T311()()()d dimttiitiVtsss-=?xR x 11T321,11()()()()d djjmttjjj jtjVtsss+-+-=-?xRx 为确保泛函()V t的正定性，由于0iR，对31()Vt使用引理3处理可得 2TT3111()()()d dimmttiitiiVtsss-=?xR x (9)其中：22662448*18144*iiiiiiiiii-|=-|RRRRRR?，()()d()d diittttttssss-|=|xxx?利用引理1对2()V t进行处理，可得 郭建锋，等 基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析 -51-T211()()()d()d()diiimtiitimttittiV tsssssss-=T-=xQ xxQx (10)将1()V t、2()V t、31()Vt综合起来考虑，可得 T324()()()()()V tttVtV t+(11)令0，则泛函()V t正定，故得证。注1：泛函构造对降低结论的保守性至关重要，借鉴现有部分文献在构造泛函时放松了对所有泛函矩阵必须正定的限制，本文将1()V t、2()V t和31()Vt作为一个整体来考虑泛函正定性。在矩阵0iR、0iS、,10j j+R和0 时，泛函()V t是正定的，从而在保证泛函()V t整体正定性的同时放松了对泛函矩阵P、iQ正定性的限制，这对降低结论的保守性起到了重要作用。本文在文献25的基础上在增广向量()t 中引入双重积分项100+()d d,()d dmttttssss-xx，充分利用更多的时滞信息。为充分考虑多时滞间的信息耦合，与文献28相比，本文在3()V t中引入双重积分项11T1,1+1()()()d djjmtjjj jtjsss+-+-=-?xRx，这些均有助于降低结论的保守性。沿着系统(5)解轨线对()V x求导可得 TT12T1()2()()()()SymtV tttt=?P P(12)TTT211111()()()()miiiiiiittV t+=-|?eQeeQe (13)11T3231,1112T11T1,11()()+()()()()d()()()dijjmmiijjj jijmtiitimtjjj jtjV tttssssss+-+=-=-+-=-|-?xRRxxR xxRx(14)2TT411()()()()()()d d2immttiiitiiV tttsss-=-?xS xxS x(15)由引理1和引理2对式(14)中的积分项估计得 2TTT3311()()d()()()immtiiitiissstt-=-?xR xR (16)11T1,111TT441()()()d()()jjmtjjj jtjmjssstt+-+-=-=-?xRx R (17)由引理3对式(15)中的积分项估计得 T1TTT55661()()d d()(24)()imttitimiiitssst-=-+?xS x S S (18)其中：11TTTT110TT2+1T0T2+1()()()()()d11()d()d d1()d dmmtmtttttmttmttttssssssss-=-|xxxxxxx 注2：在对形如式(14)的积分项处理时，文献25使用Wirtinger积分不等式进行放缩处理，而本文选择基于辅助函数的单重积分不等式进行处理，相较于Wirtinger积分不等式，增加了T335/()ba-M 项，从而建立()tx、()mt-x、T()dmttss-x与双重积分项0T+()d dmttss-x之间的联系，能够使2T1()()dimtiitisss-=-?xR x被更精确地估计，有利于降低结论的保守性。同时，在对多时滞二重积分耦合项的导数11T1,11()()()djjmtjjj jtjsss+-+-=-?xRx进行估计时，文献22,28通过引入一个n维的向量值函数(),1,2,kskm=N来处理此积分项，而本文利用Jensen不 等 式 进 行 估 计，直 接 得 到1()()mtt-xx之间的交叉关系，避免引入过多形如,(0)i jjijm N的自由矩阵，降低了计算过程的复杂度。综合式(12)式(18)可得 TT()()()+()()V ttttt?xx (19)对式(19)进一步运用Schur补引理，则式(19)等价于式(7)，则系统(5)渐近稳定，证明完毕。当式(5)中1m=时，可得如下单时滞系统模型：01()()()(+)(,),0),ttttt=+-=-?xA xA xx (20)通过采用与定理1类似的推导方法，可得如下推论1。-52-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 推论1：对于任意时滞常数0，若存在对称矩阵33nnPR，n nQR，0n nRR，S 0n nR，使得以下线性矩阵不等式成立，则系统(20)渐近稳定。21,11,21,32,22,33,32662448*180144*|+-|=+-|+|PRPRPRPRQPRPR (21)T0*|-(22)式中：TTT1122TTT35662315Sy24m=-+-PeQeeQeR S S TTTT121221Sym=+P P P 23diag,3,5,2=+RRRRRS T11T34T2T01,=0 0eeeA A 21021121TTTT3TTTTT()()=+-e Ae Aeeee TT312TTTTT3513,=-eeTT613TTTTT4112+26,=-=-eeeeeTTTTTT2TTT12331234+2,612=-=-+-eeeeeee(1)(4),1,2,3,4ininnni ni-=00eI 若不将1()V t、2()V t和31()Vt作为整体来考虑泛函正定性，而是令泛函矩阵P、iQ、iR均正定，可得如下推论2。推论2 对于任意时滞常数120 m，如果存在对称矩阵(21)(21)0mnmn+PR，0n niQR、0n niRR、0n niSR、,10n nj j+RR(其中1,2,im=；1,2,1jm=-)使得线性矩阵不等式(7)成立，则系统(5)渐近稳定。推论 2 证明过程与定理 1 证明过程相同，仅省去证明1()V t、2()V t和31()Vt整体正定的过程即可。3 仿真分析 本节分别利用典型二阶时滞系统、单机无穷大系统以及 WSCC 3 机 9 节点系统进行仿真分析，验证本文方法的有效性和优越性。3.1 典型二阶系统 当令式(5)中时滞环节个数1m=时，此时系统为式(20)所示。利用典型的二阶系统验证本文采用的方法在降低结论保守性方面的有效性，其中：012010,00.911-=|-AA 文献28采用时滞分割的方法，利用积分不等式估计泛函导数，没有引入任何自由权矩阵；文献25利用了 Wirtinger 积分不等式处理积分项；文献13和文献21均采用基于辅助函数的积分不等式处理泛函导数中的积分项，不同的是文献13使用凸组合技术，而文献21利用 Schur 补引理处理泛函导数中的非线性项。表 1 中给出了利用本文和上述文献方法得到的最大时滞上界，可以看出本文推论1 得到的结果大于对比文献，也大于推论 2 的结果，更接近系统真实的稳定裕度值 6.1725 s，从而验证了本文将1()V t、2()V t和31()Vt作为整体来考虑泛函正定性以及采用的泛函导数处理方法能有效提高系统时滞上界，进一步降低了结论的保守性。表 1 不同方法求出的最大时滞值 Table 1 Maximal time delay for different methods 方法文献28文献25文献13 文献21 推论 1推论 2/s6.0553 6.05906.0685 6.1664 6.16896.16643.2 单机无穷大系统 选用单机无穷大系统。其中，发电机阻尼系数5.00D=，励磁回路放大系数A180.00K=和原动机输出功率m1.00 p.u.P=，具体系统参数引用文献23的数据，其中矩阵见附录 A。表 2 给出根据不同方法求出的系统最大时滞上界，从表中数据可看出，本文推论 1 求出的最大时滞上界68.27 ms=，大于文献22-23和文献28所得结果，从而验证本文的方法降低了结论的保守性。表 2 不同方法求出的最大时滞值 Table 2 Maximal time delay for different methods 方法 文献22 文献23 文献28 推论 1/ms65.40 68.16 68.25 68.27 取时滞为 68.27 ms 时，发电机功角和暂态电势的响应曲线图如图 1 和图 2 所示。可以看出，当取时滞上界时，系统逐渐趋于稳定。郭建锋，等 基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析 -53-图 1 时滞为 68.27 ms 时发电机功角响应曲线 Fig.1 Response curves of rotor angle with time delay of 68.27 ms 图 2 时滞为 68.27 ms 时暂态电势响应曲线 Fig.2 Response curves of transient voltage with time delay of 68.27 ms 3.3 双时滞典型二阶系统 当式(5)中的时滞环节个数2m=时，利用典型的二阶系统验证本文采用的方法在降低结论保守性方面的有效性，其中：01201.00.600.90.41.0-=|-；AA200.60.60-=|-A 表3给出了根据不同方法求出的典型二阶时滞系统的稳定裕度。表中21arctan(/)=，2212+L=。从表 3 中可以看出，本文定理 1 所得结果明显优于文献22-23,28和本文推论 2 的结果。如双时滞角度o20=时，文献22-23,28和推论 2 的时滞稳定裕度L分别为 3.2466 s、4.7567 s、4.3717 s 和 7.0226 s，而本文定理 1 得到的时滞稳定裕度为 7.6453 s，从而验证本文的方法有效扩大了时滞稳定裕度，降低了结论的保守性。表 3 典型二阶时滞系统的稳定裕度比较 Table 3 Stability margin comparison of typical second-order delay system o/()时滞稳定裕度/sL 文献22 文献23 文献28 定理1推论25 2.4060 2.7227 2.8742 7.14066.195910 2.6208 3.0671 3.2209 7.30726.514015 2.8977 3.7705 3.6949 7.36666.782520 3.2466 4.7567 4.3717 7.64537.022625 3.6709 4.9455 5.3990 7.50436.869330 4.1390 5.0819 6.2686 6.79986.404535 4.6839 6.1104 7.3199 7.39956.924640 5.1596 6.1003 6.6222 7.46277.223345 6.3241 7.4960 8.0858 8.72428.720750 4.9438 5.5049 5.7777 6.94196.79563.4 WSCC 3机9节点系统 选用 WSCC 3 机 9 节点系统，系统结构图如图3 所示。图 3 WSCC 3 机 9 节点系统接线图 Fig.3 Wiring diagram of WSCC 3-generator 9-bus system 将发电机 2、3 均利用自身机端电压幅值和母线 8 的电压幅值(视为远程反馈控制信号)共同构成励磁控制系统的控制信号。发电机 1 处理为无穷大母线，发电机 2 与发电机 3 的动态方程如下：00AffArefG2()()()()()()iisiimiqididiqidiqiqidiiisd iqiqidididifdiq ididiqiqiqiididiiiiHPEX IIEX IIDTEEXXIETEEXXIT EEKVV=-|=-|+-=-+|=-+-|=-+-?(23)式中，2,3i=，其他各参数代表的含义见文献23其中矩阵01、AA 和2A 的取值见附录B。反馈到发电机2和发电机3励磁控制回路中的电压8V，分别存在时滞2和3。-54-电力系统保护与控制电力系统保护与控制 根据不同方法求出电力系统的时滞稳定裕度，结 果 如 表4所 示。表 中32arctan(/)=，2223=+，其中、分别表示双时滞角度和时滞稳定裕度。表 4 保证 WSCC 3 机 9 节点系统渐近稳定的时滞范围 Table 4 Delay range guaranteeing asymptotic stability of WSCC 3-generator 9-bus system o/()时滞稳定裕度/s 文献28 文献22 定理1 真实值 0 0.0591 0.0599 10 0.0478 0.0483 0.0486 0.0487 20 0.0415 0.0423 0.0426 0.0426 30 0.0378 0.0390 0.0391 0.0391 40 0.0342 0.0373 0.0374 0.0375 50 0.0312 0.0368 0.0371 0.0372 60 0.0319 0.0376 0.0379 0.0380 70 0.0337 0.0398 0.0403 0.0404 80 0.0372 0.0441 0.0447 0.0448 90 0.0419 0.0518 0.0523 0.0526 从表4中可以看出，双时滞角度在090范围内变化时，时滞的稳定裕度随着角度的增大具有先减小后增大的趋势。且从表中可以看出，本文定理1所提方法优于文献22和文献28的方法，所得到的时滞上界更大，更接近真实值。3.5 决策变量数对比 多时滞系统稳定性分析往往需要引入较多的决策变量，在一定程度上会增大计算量、降低计算效率。因此，多时滞系统的稳定性判据在追求尽可能大的稳定裕度的同时，还需尽量减少决策变量个数以减少计算量。表5、表6将本文稳定性判据的决策变量个数与相关文献进行对比。从表6中可以看出，当系统阶数n取2、3、4，系统时滞个数m分别取15时，定理1决策变量个数略大于文献21和文献28决策变量个数，但比文献22判据2、文献23小，特别当系统阶数和时滞个数较大时尤为 表 5 决策变量个数表达式 Table 5 Expression for the number of decision variables 方法 决策变量个数 文献21 22(230.5)(20.5)mmnmn+文献22判据2 32232(0.252.252.50.5)(0.250.750.5)mmmnmmmn+文献23 22(28.51.5)(4.50.5)mmnmn+-+-文献28 2(82)(41)mnmn+定理1 22(24)3mm nmn+表 6 不同阶数不同时滞个数系统决策变量对比 Table 6 Comparison of decision variables of systems with different order and different number of delays n m文献21文献22判据2 文献23 文献28定理1 2 127 27 44 50 30 2 267 81 111 90 76 2 3123 174 194 130 138 2 4195 315 293 170 216 2 5283 513 408 210 310 3 157 57 93 105 63 3 2144 171 237 189 162 3 3267 366 417 273 297 3 4426 660 633 357 468 3 5621 1071 885 441 675 4 198 98 160 180 108 4 2250 294 410 324 280 4 3466 628 724 468 516 4 4746 1130 1102 612 816 4 51090 1830 1544 756 1180 明显。结合3.13.4节中稳定裕度的对比可知，本文的稳定性判据较部分文献虽然增加了决策变量个数，在一定程度上加大了计算量，但却得到了更大的时滞上界。4 结语 本文研究了多时滞影响下的广域电力系统稳定性问题。通过将电力系统中的状态变量、时滞信息及状态变量在时滞区间上的积分等信息引入泛函中，构造了包含多时滞积分项相互耦合的增广型L-K泛函。增广项不仅充分利用了时滞信息，而且建立了不同变量间的耦合关系，变量间的耦合将会使稳定性判据中的线性矩阵非对角线位置上产生更多的元素，这对提高时滞上界、降低结论的保守性至关重要。为进一步降低保守性，将构造的部分泛函综合起来，整体考虑其正定性，放松了传统方法中对所有泛函矩阵必须正定的限制，并选择能与构造的泛函有效配合的积分不等式对泛函导数进行精确估计，最终得到了具有较小保守性的多时滞电力系统稳定性判据。最后通过对典型二阶时滞系统、单机无穷大系统以及WSCC 3机9节点系统进行仿真分析，验证了本文所提方法的有效性和优越性。在后续的研究中将考虑随机时滞、多时变时滞电力系统在受到不确定性扰动情况下的稳定性问题。郭建锋，等 基于优化泛函的多时滞广域电力系统稳定性分析 -55-附录 A 单机无穷大系统相关矩阵参数 00376.9911000.09630.50000.080100.048000.16670.10000001.0000|-=|-|-A 100000000000038.0187095.25600|=|-A 附录 B WSCC3机9节点系统相关矩阵参数 00377000000000.14210.00390.02490.109700.100900.12020.059400.009600.22330.05360.16670.154900.49650.011601.816700.26575.022700.912600.29030.74030002307.3912962.260750000000000003770000.21570-=A0.20610.121600.3470.00830.07080.291600.144400.3780.017300.005700.10920.02480.1252.371700.42981.8275