函数项级数一致收敛的几个判别法-数学与应用数学专业毕业论文.doc

数学与统计学院2012届毕业论文毕业论文 题 目 函数项级数一致收敛的几个判别法 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 研究类型 基础研究 18 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：函数项级数一致收敛的判别法的讨论郝金贵(天水师范学院 数学与统计学院 ,甘肃,天水,741000)摘要：本文着重介绍函数项级数一致收敛的几种判别法,首先通过问题引入探讨函数项级数一致收敛的概念,然后进一步研究了几种判别方法,即对数判别法；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法等,并对每种新方法给予严格证明.关键字：函数项级数；一致收敛性；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法；比较判别法.The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of Function Series HaoJinguiAbstract: the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof.Keywords: function Series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method目录引言11.函数项级数一致收敛的定义11.1函数项级数一致收敛概念引入12.函数项级数一致收敛的判别方法22.1比式判别法22.2根式判别法22.3对数判别法32.4积分判别法32.4.1正项级数判别法的回顾32.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法42.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别52.6有效充要判别法82.7夹逼收敛判别法102.8比较判别法113.正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明12参考文献16函数项级数一致收敛的几个判别法的讨论引言 众所周知,函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多及其相似的地方,对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现他们在判别方法上极其相似,特别是在判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法,Abel判别法,Dirichlete判别法等,这里就是根据数项级数判别法探讨几个函数项级数一致收敛的判别法.1 函数项级数一致收敛的定义1.1函数项级数一致收敛概念引入 我们先来看一下下面这样一个例子： 例1 设u1(x) = x, un(x) = x nx n-1( n=2,3,),x0,1由上知,Sn(x)=k(x) = x n, S(x) = ,当x(0,1) 时,| Sn(x)S(x) | = x n . | Sn(x) S(x) | = x n n In x.当时,变,也变,且当时,因此找不到公用的N*,使得有|Sn(x)- S(x)|.不论n多么大,总有离1很近的x,使得Sn(x)离S(x)很远.再来看这样一个例子：例2 设u1=,x,所以|Sn(x) S(x)|=.取N=+1,恒有| Sn(x)S(x)|.由上面的两个例子可以看出,并非所有的函数项级数对于给定的,都能找到一个公用的N*,使得恒成立.由此,我们引出一致收敛的概念. 定义 设函数项级数在数集E上收敛于S（x）.如果使得,恒有,则称在E上一致收敛于S(x).2 函数项级数一致收敛的判别方法2.1比式判别法 定理2.1 设un(x)为定义在数集D上正的函数列,记,存在正整数N及实数q、M,使得：q n(x)qN,成立,则函数项级数在D上一致收敛.定理1有极限形式： 定理2.2 设为定义在数集D上正的函数列,记,若 0q1,且在D上一致有界,则函数项级数在D上一致收敛.2.2根式判别法 定理2.3 设un(x)为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使得,对成立,则函数项级数在D上一致收敛. 注：当定理3条件成立时,级数在D上还绝对收敛. 定理2.4 设为定义在数集D上的函数列,若对成立,则函数项级数在D上一致收敛.2.3对数判别法 定理2.5 设为定义在数集D上正的函数列,若=p(x)存在,那么： 若对,则函数项级数在D上一致收敛； 若对, 则函数项级数在D上不一致收敛. 证明 由定理条件知,对,有,即,则当成立时,有,而p级数当p大于1时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛；而当对成立时,有当p1时收敛,p1发散.根据定理1知级数在p1时收敛,在p1时发散.2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法 定理2.7 （函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一正整数N,使得当nN时对一切x和一切正整数p,都有. 定理2.8 （含参变量反常积分一致收敛的柯西准则）含参变量反常积分在a,b上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一实数Mc,使得当M时,对一切xa,b都有. 定理2.9 设f(x,y)为区域R=(x,y)|axb,上的非负函数,如果f(x,y)在区间1,)上关于y为单调减函数,那么函数项级数与含参变量反常积分在区间a,b上具有相同的一致收敛性.证明 由假设为区域R =上的非负函数,并且关于y为上的减函数,对区间a,b上任意固定的x以及任意n2的自然数,我们有 若含参变量反常积分在a,b上一致收敛,则由定理3可得,对任意给定的正数,总存在某一实数M1,使得当nM+1时,对一切xa,b和一切正整数p,都有.由式,对一切xa,b有 .由定理2可知：函数项级数在区间a,b上一致收敛.若函数项级数在区间a,b上一致连续,由定理3可得：对任意给定的正数,总尊在某一正数N,使得当nN时,对一切x和一切正整数p,都有.而对任意的,令（这样的正整数和p总是存在的）,由式,对一切有.由定理4可知：含参变量反常积分在a,b上一致收敛. 例6 设,证明含参变量积分在0,1上一致收敛. 证明 令,易见,对每个n,为0,1上的增函数,故有 ,n=1,2.又当t1时,有不等式,所以 以收敛级数为优级数,推得在0,1上一致收敛.另外,对任意的有,并且对任意固定即是区间1,+)上的减函数,因此由定理2知,含参变量积分在0,1上一致收敛. 由此可见,以定理2为依据,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质,也可以利用积分的便利条件判断某些函数级数的一致收敛性.2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 定理2.10 函数数列在数集D上一致收敛于对任意给定的,使得当nN时,对一切和任意的,都有. 定理2.11 函数项级数在数集D上一致收敛对任意的,使得当nN时,对一切和任意的,都有. 由定理1和定理2容易看出,函数项级数一致收敛同他的部分和序列的一致收敛是等价的.虽然都是充要条件,但在实际应用上,要用这一原理判断一致收敛仍是困难的,因为函数的片段也是较难求和.从以上的定理可推出更为简单的M判别法如下： 定理2.12 设有函数项级数,且的每一项满足,则函数项级数在D上一致收敛. 由上可知,M判别法也只是充分判别法,一般的函数项级数很难满足此充分条件,即使在满足的条件下,在寻求其相应的控制级数（或优级数）时也具有相当的难度. 定理2.13 设级数为函数项级数,若,使nN时有,其中,且在I上有界,则在I上绝对收敛. 证明 不妨设n=1时就有,则可推的 n=2,3 M = 而收敛根据M判别法在I上一致收敛. 推论 设级数 为函数项级数,且（n=1,2.）于I上有界,则在I上绝对一致收敛. 证明 由且,当nN有,即当nN有其中而收敛.根据M判别法,于I绝对一致收敛. 定理2.14 设级数为函数项级数,使nN时有,且,则在I上绝对一致收敛. 证明 据条件,nN时有由rN有收敛.据M判别法,于I绝对一致收敛. 定理2.15 设,都定义在I上,若,n=1,2,.且于I一致收敛,且有,则于I绝对一致收敛. 证明 由在I上一致收敛,且0,n=1,2.n=1,2.据Cauchy一致收敛准则：则,当n 有而由nN时,则当时,便有此时在I上满足Cauchy条件,故于I一致收敛.2.6有效充要判别法 定理2.16 设函数数列在（a,b）内一致有界,且关于x的单调递增或单调递减,则在（a,b）内一致收敛数项级数和都收敛. 证明 先证必要性因为在（a,b）内一致收敛,即对任意给定,存在,使得nN时,对一切,有.故.又由于关于x的单调增加或单调减少,不妨设关于x单调增加,且函数列在（a,b）内有界,则每一个在（a,b）内有界,必有上确界,令,则由上有= ,即=,因此,有,说明收敛.同理,可以得到级数收敛. 再证充分性. 令,则显然有.由已知条件知收敛,它可作为控制级数.因此在（a,b）内一致收敛,而级数收敛,当然在（a,b）内一致收敛,所以可推得=+在（a,b）内一致收敛.由以上定理可推得两个推论： 推论1 若函数列在（a,b）内一致有界,非负且同时单调递增或单调递减,则在（a,b）内一致收敛数项级数收敛. 推论2 若函数列在（a,b）内一致有界,且导数不变号,则在（a,b）内一致收敛数项级数和都收敛. 由定理1和推论1、2可知,把判断函数项级数的一致收敛与否转化为判断数项级数的收敛与发散.对满足条件的级数,此方法既能判断函数项级数在某个区间的一致收敛,还能很快判断其在另外区间的不一致收敛,下面举两个例子说明. 例7 判别函数项级数 在区间（0,1）上不一致收敛,而在区间0,q(0q1)上一致收敛. 证明 由于,显然,函数项级数在区间（0,1）内收敛,当时.要使（不妨设）只要,即函数项级数在0,q上一致收敛. 此外,对充分大的正整数n,在区间（0,1）内总有某个,使得.所以函数项级数在（0,1）内不一致收敛. 证明 由题可知满足以上推论1,又因为,所以在（0,1）内不一致收敛.而在0qN有在I上一致收敛. 证明 不妨设n=1开始,便有由、在I上一致收敛,根据Cauchy准则：,当n有,即而n=1,2.就必有级数 此即在I上满足Cauchy一致收敛条件. 推论 一致函数项级数、都收敛,若,当nN时有,则函数项级数于I一致收敛.显然,即为常数项级数,则可判收敛. 定理2.18 设函数列在a,b单调,且及都绝对收敛,则级数在a,b一致收敛. 证明时只要注意有minmax并用定理1的推论既得.2.8比较判别法 定理2.19 两个函数项级数和,若,当（其中C为正常数）且函数级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I绝对一致收敛. 证明 一致级数在区间I绝对一致收敛,即对（其中C为正常数）,有.又由条件知,取N=max,当有.由级数收敛柯西准则知,函数级数在区间I一致收敛,从而级数在区间I一致收敛.此定理有如下推论： 推论1 （比较极限法） 若有两个函数项级数和（）,且有=k 且,若级数在区间I绝对一致收敛,则函数级数在区间I也绝对一致收敛. 证明 由=k 且 即有,使且C=k+0.即.又级数在区间I绝对一致收敛,由比较判别法的定理1知级数在区间I也绝对一致收敛. 例9 证明函数级数与在区间I一致收敛,则级数在区间I一致收敛,又有,故0-且级数在区间I绝对一致收敛,由比较判别法定理2知级数在区间I一致收敛,从而级数=在区间I上也一致收敛.3 正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明 定理3.1 设函数项级数,都是定义在数集D上正项函数项级数,.设（1）当0,时,与在数集D上同时一致收敛或同时不一致收敛.（2）当=0,时,若在D上一致收敛,则在D上也一致收敛.（3）当0,时,若在D上不一致收敛,则在D上也不一致收敛. 证明 由,则取当nN时,对一切有 定理3.2 设是定义在数集D上的正项函数项级数,在D上有界（n=1,2,.）,若,设,则（1）r1时,在D上不一致收敛. 证明 （1）,取当n时,对一切有+1(r+)(r+)0,对一切有M,由收敛,得收敛,由优先级判别法知在D上一致收敛. （2）r1时,使即 因此不收敛,所以在D上不收敛. 注：=1时,在D上是否一致收敛无法判断. 定理3.3 设是定义在数集D上的正项函数项级数,若设r=,则 （1）r1时,在D上不一致收敛. 证明 （1）r1时,由取有|若+. 由r+1时,由,即在D上不一致连续. 定理3.4 设是定义在数集D上的正项级数,在D上有界（n=1,2.）,若则当r1时,在D上一致收敛. 证明 由r1,取对一切x有.取1s0,使得对一切,有由s1时,收敛,由优先级判别法知在D上一致收敛.参考文献1南京审计学院应用数学系的数学专题学习网EB/OL2深圳大学的高等数学专题学习网EB/OL3华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社,2001：264陈传璋等.数学分析M.高等教育出版社,1979:45-485许忠勤.数学分析的内容和方法M.贵阳：贵州人民出版社,1983:60-621. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用 91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究 项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！