毕设论文--用利fexp方法求对称正则长波方程的精确解.doc

2010年度本科生毕业论文（设计）

利用F-EXP方法求对称正则长波
方程的精确解

院 － 系： 数学学院
专 业： 数学与应用数学
年 级： 2006级
学生姓名： 段雪妮
学 号： 200605050217
导师及职称： 丁玉敏 （教授）

2010年5月

2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate

F-Exp Method for Solving Exact Solutions of Symmetric Regularized Long Wave Equation

Department: College of Mathematics
Major: Mathematics and Applied of Mathematics
Grade: 2006
Student’s Name: Duan Xueni
Student No.: 200605050217
Tutor: Ding Yumin （Professor）

May, 2010

毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名： 日期：

毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名： 指导教师签名：

日期： 日期：

段雪妮毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单

姓名
职称
单位
备注

数学学院
主席（组长）

数学学院

数学学院

数学学院

数学学院

红河学院本科毕业论文（设计）

摘要
利用方法并借助数学软件,获得了对称正则长波方程的许多行波
解, 包括孤立波解及三角函数周期解.并用软件获得几种典型的波形图.本文用
的方法还可以用到其他的非线性发展方程中去.

关键词: 对称正则长波方程; -展开法; -函数法; 方法; 行波解;
齐次平衡原则

ABSTRACT

In this paper, with the aids of the symbolic mathematical software-Maple, we obtained traveling wave solutions of symmetric regularized long wave equation. These traveling wave solutions include solitary wave solutions and trigonometric functions periodic solution. Some typical waveforms of these traveling wave solutions are obtained by Maple software. Obviously, the method which has been used in this paper is also can be used to other nonlinear evolution equations.

Keywords: Symmetric regularized long wave equation; F- expansion method;
The exp-function method; F-Exp method; Traveling wave solution;
Homogeneous balance principle

目 录
第一章 引言 1
1.1 方程介绍 1
1.2 方法简述 2
第二章 对称正则长波方程的精确解 3
2.1 对称正则长波方程的一般解 3
2.2利用Exp-方法求方程Riccati方程的精确解 4
2.3 对称正则长波方程的精确解 12
2.4 几种典型的波形图 16
第三章 结论 18
参考文献 19
致谢 21

红河学院本科毕业论文（设计）
第一章 引言
随着科学技术的飞速发展,现代科学研究的核心已经逐步从线性转向非线性,而且许多非线性科学问题的研究,最终可用非线性常微分方程或非线性偏微分方程来描述.非线性方程的发展被广泛应用于物理、工程技术和数学的众多分支当中,如非线性光学、量子论、流体力学、弹性理论和凝聚态物理等.由于非线性科学的飞速发展,对非线性方程求解方法的研究,在数学、物理、化学、生物等众多领域发挥着越来越重要的作用,因此如何求解这些非线性方程成为广大数学和物理工作者致力于研究的重要课题.
因为只有首先求得了描述系统的解,才能谈得上对系统的性态和行为进行比较具体的分析,也才能谈得上对系统有了比较准确的了解和把握.
1.1 方程介绍
对称正则长波方程
（1-1-1）
出自文献[1~3], 在文献[4]中数值考察表明其孤立波的相互作用是非弹性的; 文献[5]研究了广义对称正则长波方程孤立波解的轨道稳定性及不稳定性; 文献[6]研究了一类广义对称正则长波方程整体解的存在性, 唯一性及正则性, 并得到了谱近似解的误差估计; 程洁在文献[7]中考虑了带有耗散项的广义对称正则长波方程, 用谱分解方法证明了指数吸引子的存在性, 并得到指数吸引子的分形维数的上界估计; 文献[8]考虑了带有非齐次边值的对称正则长波方程的初边值问题; 文献[9]运用常微分方程定性理论中的相平面分析方法讨论了带有耗散项的广义对称正则长波方程, 与文献[6]不同的是, 它不但得到了有界行波解的存在性, 同时也得到了它的单调性及震荡性的若干结果, 并求出了一类扭状精确孤波解和震荡解的近似解.
在本文中, 所研究的对称正则长波方程[10~11]如下:
(1-1-2)
对此方程, 黄正洪在文献[12]中利用齐次平衡原则[13~14]导出了该方程的一个非线性函数变换, 利用这个变换求得了该方程精确孤立波解.

1

第一章 引言
1.2 方法简述
方法[15]是把-展开法[16~17]和-函数法[18~19]有机结合起来.
即: 考虑非线性偏微分方程
（1-2-1）
（1）令
（1-2-2）
其中为待定常数, 将（1-2-2）代入到（1-2-1）中, 可将其化为的常微分方程:
（1-2-3）
其中分别表示对求一阶，二阶，三阶导数.
（2）设
（1-2-4）
其中为待定常数, 非负整数由（1-2-3）式中具有支配地位的非线性项与最高阶导数项之间通过齐次平衡原则来确定, 且, 满足下列方程:
（） (1-2-5)
其中为待定常数. 将（1-2-4）代入（1-2-3）并利用（1-2-5）可将（1-2-5）的左边化为关于的多项式. 令的各次幂的系数为零, 得到关于, ,
的代数方程组, 解此代数方程组, 并将结果代入（1-2-4）式中, 就得到方程（1-1-2）的用表示的行波解的一般形式.
（3）用-函数法求出方程（1-2-5）的指数函数解, 代入第（2）步中所得到的一般解中，从而得到方程（1-1-2）的指数函数解或孤立波解.
2

第一章 引言

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第二章 对称正则长波方程的精确解
2.1 对称正则长波方程的一般解
将(1-2-2)代入方程(1-1-2)得到关于的常微分方程:
（2-1-1）
其中 分别表示对求一阶、二阶、四阶导数. 由方程（2-1-1）中和齐次平衡, 得. 由此可表示为
, （2-1-2）
其中为待定常数, 且, 满足方程（1-2-5）.
将（2-1-2）代入（2-1-1）中并利用（1-2-5）可将(2-1-1) 的左边化为关于的多项式, 令的各次幂的系数为零, 得到关于,的代数方程组:
: ;
: ;
:
;
: ;
:
;
:
;
: .
3

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4

第二章 对称正则长波方程的精确解

解上述代数方程组得到:
（2-1-3）
将（2-1-3）代入（2-1-2）中得到:
（2-1-4）
2.2 利用Exp-方法求方程Riccati方程的精确解
根据-函数法，设
（2-2-1）
其中为待定常数, 将（2-2-1）代入（1-2-5）中, 有
（2-2-2）
其中为各次项系数, 令（2-2-2）中的系数为零,
有 （2-2-3）
解关于的代数方程组（2-2-3）得到如下多组参数值, 相应就得到方程（1-2-5）的多组解如下（表一）:
（表一）: 广义方程的解

序号
参数值
方程的解
1

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2

，当时，可化为
3

,当时,可化为
4

,

5

,当时, 可化为
6

, 当时,
可化为

5

第二章 对称正则长波方程的精确解
7

,

8

,
9

10

11

,
12

,

6

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13

14

,
15

,
16

当时, 可化成
17

当时, 可化成

18

7

第二章 对称正则长波方程的精确解
19

,当
时, 可化成
20

,
21

22

,

23

,
24

,

8

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25

,
26

,
27

,
28

,
29

,

30

,

31

,
当时, 可化为

9

第二章 对称正则长波方程的精确解
32

,
33

,
,当时,
可化为
34

,,当时,可为
35

,当时,
可化为
36

，当时,
可化为
37

,, 当时,可化为

10

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38

,
,当时, 可化为
39

,
,当时,
可化为

40

,
, 当时,
可化为

41

,
,当时,
可化为
42

,

11

第二章 对称正则长波方程的精确解
2.3 对称正则长波方程的精确解
2.3.1对称正则长波方程的第一组精确解
将表一中的代入（2-1-2）式中, 得到方程（1-1）的二十八个精确解:
.
例如：;
,
,
,
,
,
,
, (其中),
,
,
12

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,
,
.

13

第二章 对称正则长波方程的精确解
令,且 , 上述孤立波解分别成为如下的三角函数周期解:
,
,

,
,
,
,
,
,
14

第二章 对称正则长波方程的精确解
,
,
,
.
2.3.2 对称正则长波方程的第二组精确解
将表一中的代入（2-1-4）式中, 得到方程（1-1）的二十二个精确解:
,
如下所示:

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,
,
,
,
,
,
,
,
.
.令, 且 则上述孤立波解分别成为如下的三角函数周期解:

,
15

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,
,
,
,

,
,

第二章 对称正则长波方程的精确解
,
,
,
.
2.4 几种典型的波形图
利用软件, 我们绘出了几种孤立子解和周期波解的三维空间波形图, 如图
所示:

(a) 奇异周期波 (b)孤立波 (c) 周期波

(d) 光滑孤立波 (e) 扭子波 (f) 周期波

(a) 奇异周期波
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(b) 孤立波
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(c) 周期波
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(d) 光滑孤立波
(e) 扭子波 : ;
(f) 周期波:

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第三章 结论

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第三章 结论
第三章 结论
本文利用一种新的求解精确解的方法:方法, 即将展开法和函数法有机结合, 并用此方法求得了对称正则长波方程的许多行波解, 包括孤立波解及三角函数周期解. 所得的这些解都是不同于文献[12]的新解, 值得一提的是此方法同样可用到求其他的一些非线性偏微分方程的精确解行波解中去.

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参考文献
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[7] 程洁,戴正德.耗散广义对称正则长波方程的指数吸引子[J]. 云南大学学报(自然科学版). 2004, 26(1): 15-19.
[8] Chenxia Miao. The initial boundary value problem for symmetric long wave equations
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[9] 张卫国,任迎春,刘刚. 具有散项的对称正则长波方程的定性分析及显式解[J].上海理
工大学学报. 2008,30(1),1-6.
[10] C E Seyler. Phys Fluids[J].1984(27):4.
[11] 范恩贵.可积系统与计算机代数[M]. 科学出版社. 2004. 144-145.
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[14] Mingliang Wang . Exact Solutions for a Compound Kdv - Burgers Equation [J]. Physics Letters A, 1996, 213: 279-287.
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J. 2009, 13(6).
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报.2008,29(2):94-98.

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致谢
经过半年忙碌的学习和工作, 本次毕业设计已经接近尾声, 作为一个本科生的毕业设计, 由于经验的匮乏, 难免有许多考虑不周全的地方, 如果没有导师的督促指导, 一起工作的同学们的支持和帮助, 要完成这个毕业设计是完全不可能的. 
在这里首先要感谢我的父母, 是他们不辞劳苦的给我们创造这样读书的机会, 衷心的希望他们身体健康. 其次我要感谢我的导师丁老师. 丁老师平日里工作繁忙, 但在我做毕业设计的每个阶段, 从查阅资料, 到设计草案的确定和修改, 中期检查, 后期详细设计, 装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导. 我的设计较为复杂烦琐, 但是丁老师仍然细心地纠正论文中的错误. 除了敬佩丁老师的专业水平外, 他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样, 并将积极影响我今后的学习和工作.
再次还要感谢大学四年来所有的老师, 为我们打下数学专业知识的基础; 同时还要感谢所有的同学们, 正是因为有了你们的支持和鼓励., 此次毕业设计才会顺利完成.
最后由衷的感谢数学学院和我的母校—红河学院四年来对我的大力栽培.

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