1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
2、： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析摘 要1 试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量与承受的载荷在车辆平动时具有的能量相等推出，求解出等效惯量为51.99889。2 根据环形物体的转动惯量
3、计算公式，求得3个飞轮的转动惯量，基础惯量与三个飞轮的任意组合（共八组）惯量之和得到机械惯量分别为10、40.01、70.02、130.03、100.02、190.05、160.04、220.06()。 基础惯量和飞轮1组合，需要电动机补偿11.9905742 惯量；基础惯量和飞轮2组合，需要电 动机补偿 -18.0177惯量。3 近似取试验台采用的电动机的驱动电流与其前一时间段电流产生的瞬时扭矩成正比，得出驱动电流模型，解得驱动电流分别为 。 4 据转动动能公式求得路试时的制动器消耗能量，再由转动力矩做功公式，求得实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，建立能量相对误差的大小来评价控制方法的模
4、型，得。5 由问题3中建立的模型推导出模型，利用递推法得到驱动电流(结果见附录)，利用4中评价控制方法得到。6 针对问题5中模型的滞后性建立线性回归模型，预测瞬时力矩，进而预测出驱动电流，利用4中评价控制方法得到。关键词 制动器 试验台 电模拟 线性回归一、问题重述汽车的行车制动器联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计的优劣直接影响着人身和车辆的安全，由此必须进行相应的测试（即路试）。其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。为
5、了检测制动器的综合性能，在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的为等效转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯
6、量。在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/Nm）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。现在要求你们解答以下问题：1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。2. 飞轮组由3个环形钢制飞轮组成，其内、外直径、钢材密度已知，厚度是三个不同的值，基础惯量已知，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿
7、的 能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转 动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时
8、间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。二、 符号说明 为车的质量； 为制动时承载的荷重； 为车的速度； 为车的角速度； 为车辆前个半轮地滚动半径； 为车的初始速度； 为车的末速度；t 为制动时间； 为飞轮的质量； 为飞轮外直径； 为飞轮内直径； 为钢材密度；l 为飞轮的厚度； 为主轴的角速度； 为主轴的初角速度； 为主轴的末角速度； 为制动加速度； 为基础惯量（即试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量）； 为飞轮组的惯量之和； 为机械惯量（即飞轮组的惯量与基础惯量的惯量之和）； 为电流的补
9、偿惯量； 为等效的转动惯量； 为电动机驱动电流； 为等效力矩； 为制动力矩； 为试验台瞬时制动力矩； 为电机实际输出有效力矩； 为电动机输出的瞬时力矩； 为路试车辆的指定车轮在制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量； 为试验台上制动器在制动过程中所具有的能量； 为试验台上制动器在制动过程中消耗的能量； 为路试时的制动器在制动过程中消耗的能量； 路试与试验台制动器在制动过程中消耗的能量之差。 三、 模型假设1 假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动；2 忽略车轮自身转动具有的能量；3 模拟实验中，假设主轴的角速度与车轮的角速度始终一致；4 假设在制动器试验台上,观测到的瞬时扭
10、矩就是制动力矩。四、 模型建立及求解 4.1 问题1的求解路试车辆的指定车轮在制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效的转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时的能量。即： 由物体的平动动能定理: 由刚体的转动动能定理: 车的质量为: 车转动的速度经过推导得到等效转动惯量 （1）已知车辆前个半轮的滚动半径=0.286米 ，制动时承载的荷重=6230N 从而得到为51.99889。4.2问题2的求解4.2.1第一小问的求解飞轮（环形刚体）的转动惯量为:飞轮的质量为:经推导得到 （2） 已知飞轮外直径； 飞轮内直径；厚度为 ， ；钢材密度；以安装飞轮一为例 同理： 以飞轮1与飞轮2构成的飞轮组为例
11、从而分别可以得到这八种组合的机械惯量，结果如下表： 表1 八种组合的机械惯量表组合（j，0）（j，1）（j，2）（j，3）（j，1，2）（j，1，3）（j，2，3）（j，1，2，3）机械惯量（） 1040.00870.017130.033100.025190.050160.042220.058 注：（j，1，2）是基础惯量与飞轮1、 2构成的组合 4.2.2第二小问的求解上问中的八种组合的电动机补偿的惯量可以由等效惯量与机械惯量之差得关系式 （3）其中等效转动惯量是4.1中得到的结果，是八种组合的机械惯量。对于这八种组合电流分别需要补充的惯量如下表所示：表2 八种组合的补偿惯量表组合（j，0）
12、（j，1）（j，2）（j，3）（j，1，2）（j，1，3）（j，1，3）（j，1，2，3）补偿惯量（）41.99911.991-18.018-78.034-48.026-138.051-108.043-168.059因为电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为，从而找到满足条件的组合只有（j，1）和（j，2）即不可拆卸机构和飞轮1组合，需要电动机补偿惯量；不可拆卸机构和飞轮2组合，需要电动机补偿惯量。 4.3问题3的求解4.3.1建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。模拟大小为的转动惯量时,电机应输出的力矩为 模拟大小为的转动惯量是等效转动惯量与机械转动惯量之差 取试验台采用的电动机的驱动电
13、流与其前一时间段电流产生的瞬时扭矩成正比（比例系数k=1.5 A/Nm），即。 推导得出 ， （4）由此得到电动机驱动电流依赖于可观测量（）的数学模型。4.3.2 计算驱动电流路试的角加速度等效于试验台上的角加速度 利用模型（4）得出 （5）已知等效惯量=51.99889，两个机械惯量=40.0083116和70.01662， 带入数据得到： 4.4问题4的求解能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。但是由于能量有相对大小性，利用能量相对误差的大小来评价控制方法优劣即， 根据转动动能公式求得路试时的制动器消耗的能量再由转动过程力矩做功公式，利用附表
14、数据，求得试验台上制动器在制动过程中消耗的能量即，推导出相对误差为： （6）已知，。 4.5问题5的求解4.5.1 设计计算机控制方法在制动器试验台上,制动力矩（即附表数据中的扭矩）可以非常准确的测出。在制动过程中,制动力矩为： 模拟大小为的转动惯量时,电机应输出的力矩为 推导得到电流产生的力矩和制动力矩的线性关系: 取试验台采用的电动机的驱动电流与其前一时间段电流产生的瞬时扭矩成正比（比例系数k=1.5 A/Nm），即。 推导得出 （7）取10ms为一个时间段，可得到所求计算机控制的每一小段电流。（如下图所示）图1 驱动电流与时间的关系曲线4.5.2评价此控制方法的优劣。由所求的驱动电流反推
15、出瞬时角速度，由转动过程力矩做功公式，求得试验台上制动器在制动过程中消耗的能量，再求它和路试等效过程消耗的能量的相对误差，据其大小，做出评价。由转动定律（以制动力方向为正方向） 刚体的角加速度 驱动电流与其产生的扭矩成正比 由此式递推出所有的用附表中的数据可得到由题（4）可知，。相应的路试时消耗的能量： 路试和试验台消耗的能量的相对误差：4.6问题6的求解4.6.1 对第五问中模型的改进按照第五问的控制方法，只是根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩，计算本时段电流的计算机控制方法。由于制动器性能的复杂性，观测到的瞬时值会有波动。这时如果只选用前一时间段得观测值去计算，有一定的滞后性，所以误差较大。
16、针对这种滞后性建立线性回归模型。由前两个时间段观测到的瞬时扭矩，预测本时间段瞬时扭矩，从而计算出本时间应该输出的驱动电流。采用二元回归模型。第一步，设要预测某时刻的瞬时扭矩为，首先观测出前两个时刻的瞬时 扭矩分别为并假设与之间存在线性关系则斜率相等建立关系，即。第二步，建立二元线性回归方程 第三步，根据公式，求得相应的驱动电流 （8）（）（结果见附录）。再根据以下公式递推出对应的瞬时转速 进而计算出试验台消耗的能量：由能量的相对误差公式：此种方法比根据前一个时间段观测到瞬时扭矩，来计算本时段电流的计算机控制方法有所改进。五、参考文献1 付鹏 龚劬 刘琼荪 何中市,数学实验,北 京:科学出版社,
17、2000年。2 张三慧，大学基础物理学（第二版）（上），北京：清华大学出版社，2007年。3 林荣会，制动器实验台的双分流加载法，青岛建筑工程学院院报，第18卷第3期：2-4页，1997年。附表1扭矩(N.m)转速(rpm)角速度每小段能量（J）时间(s)扭矩(N.m)转速(rpm)角速度每小段能量（J）时间(s)40514.3353.861 2154.420 0285389.340.767 11618.709 2.3440513.7953.804 2152.158 0.01281.25388.7540.710 11449.632 2.3540513.2453.746 2149.855 0.0
18、2282.5388.2140.653 11484.545 2.3641.25513.7953.804 2219.413 0.03278.75387.6640.596 11316.040 2.3743.75513.7953.804 2353.923 0.04277.5386.5740.482 11233.620 2.3845513.7953.804 2421.178 0.05275386.0240.424 11116.578 2.3947.5513.2453.746 2552.952 0.06273.75386.0240.424 11066.048 2.450513.2453.746 2687.
19、318 0.07275386.0240.424 11116.578 2.4153.75512.6953.689 2885.771 0.08278.75385.4840.367 11252.405 2.4255512.6953.689 2952.882 0.09280384.3840.252 11270.610 2.4357.5512.1553.632 3083.853 0.1282.5382.7540.081 11323.020 2.4458.75512.1553.632 3150.893 0.11283.75382.240.024 11356.779 2.4562.5512.1553.632
20、 3352.014 0.12283.75382.240.024 11356.779 2.4662.5512.6953.689 3355.548 0.13285381.1139.910 11374.277 2.4767.5512.1553.632 3620.175 0.14283.75380.0239.796 11292.002 2.4867.5512.1553.632 3620.175 0.15285379.4739.738 11325.331 2.4972.5511.653.575 3884.160 0.16282.5379.4739.738 11225.986 2.575511.653.5
21、75 4018.097 0.17283.75380.0239.796 11292.002 2.5181.25511.0653.518 4348.344 0.18277.5378.9239.680 11011.313 2.5286.25511.653.575 4620.811 0.19277.5377.8339.566 10979.638 2.5391.25511.653.575 4888.685 0.2271.25376.7439.452 10701.388 2.5496.25510.5153.460 5145.571 0.21275376.1939.395 10833.494 2.55101
22、.3510.5153.460 5412.874 0.22271.25376.1939.395 10685.765 2.56105510.5153.460 5613.351 0.23276.25375.139.280 10851.205 2.57110511.0653.518 5886.988 0.24275374.5639.224 10786.553 2.58115510.5153.460 6147.955 0.25281.25373.4639.109 10999.305 2.59120509.4253.346 6401.560 0.26282.5372.9239.052 11032.216
23、2.6127.5509.4253.346 6801.658 0.27287.5372.9239.052 11227.476 2.61133.8509.4253.346 7135.073 0.28287.5372.3738.994 11210.917 2.62143.8509.4253.346 7668.536 0.29287.5372.3738.994 11210.917 2.63150509.4253.346 8001.951 0.3286.25371.8338.938 11145.987 2.64157.5508.8753.289 8392.977 0.31285371.2838.880
24、11080.900 2.65161.3508.3353.232 8583.691 0.32283.75370.7338.823 11015.956 2.66168.8507.7853.175 8973.213 0.33283.75370.7338.823 11015.956 2.67172.5507.7853.175 9172.618 0.34282.5370.1938.766 10951.453 2.68181.3507.2353.117 9627.456 0.35278.75369.6438.709 10790.025 2.69186.3507.2353.117 9893.041 0.36
25、276.25368.5538.594 10661.721 2.7193.8507.2353.117 10291.419 0.37275367.4638.480 10582.088 2.71198.8507.2353.117 10557.004 0.38276.25366.9138.423 10614.278 2.72203.8506.6953.060 10811.067 0.39278.75366.3738.366 10694.572 2.73208.8505.652.946 11052.542 0.4280366.3738.366 10742.529 2.74211.3505.0552.88
26、9 11172.740 0.41282.5365.8238.309 10822.174 2.75216.3504.552.831 11424.729 0.42291.25365.2738.251 11140.599 2.76218.8503.9652.775 11544.437 0.43292.5364.7338.194 11171.872 2.77222.5503.4152.717 11729.526 0.44297.5364.7338.194 11362.845 2.78226.3502.8752.660 11914.421 0.45290364.1838.137 11059.684 2.
27、79230502.8752.660 12111.897 0.46291.25363.6438.080 11090.885 2.8233.8502.3252.603 12295.911 0.47285362.5437.965 10820.053 2.81237.5502.3252.603 12493.171 0.48287.5361.4537.851 10882.150 2.82238.8501.2352.489 12531.673 0.49283.75360.9137.794 10724.163 2.83242.5500.1452.375 12700.825 0.5282.5359.8137.
28、679 10644.378 2.84242.5499.5952.317 12686.858 0.51277.5359.2737.623 10440.290 2.85247.5499.0452.259 12934.188 0.52276.25358.7237.565 10377.351 2.86246.3499.0452.259 12868.864 0.53275358.7237.565 10330.394 2.87245498.552.203 12789.685 0.54275358.1837.509 10314.843 2.88241.3498.552.203 12593.925 0.552
29、77.5357.6337.451 10392.632 2.89245497.9552.145 12775.574 0.56280357.0837.393 10470.132 2.9248.8497.9552.145 12971.119 0.57281.25356.5437.337 10500.970 2.91256.3497.4152.089 13347.717 0.58282.5355.9937.279 10531.370 2.92257.5497.4152.089 13412.828 0.59285355.4537.223 10608.451 2.93262.5496.8652.031 1
30、3658.152 0.6286.25354.937.165 10638.493 2.94262.5496.3151.973 13643.033 0.61287.5354.3537.107 10668.390 2.95266.3495.7751.917 13822.878 0.62285353.8137.051 10559.505 2.96266.3495.2251.859 13807.543 0.63285353.2636.993 10543.091 2.97266.3494.6851.803 13792.487 0.64283.75353.2636.993 10496.849 2.98266
31、.3493.5851.688 13761.817 0.65283.75352.7236.937 10480.803 2.99266.3492.4951.573 13731.426 0.66278.75352.1736.879 10280.065 3266.3491.451.459 13701.035 0.67278.75351.6236.822 10264.010 3.01265490.8551.402 13621.448 0.68272.5351.6236.822 10033.875 3.02266.3490.3151.345 13670.644 0.69273.75351.0836.765
32、 10064.422 3.03268.8489.7651.288 13783.528 0.7270350.5336.707 9911.002 3.04272.5489.2251.231 13960.447 0.71275349.4436.593 10063.149 3.05273.8488.6751.173 14008.719 0.72273.75348.3536.479 9986.161 3.06276.3488.1251.116 14120.741 0.73280347.836.422 10198.028 3.07277.5488.1251.116 14184.636 0.74282.53
33、46.7136.307 10256.836 3.08277.5487.0351.002 14152.961 0.75286.25346.1636.250 10376.502 3.09272.5486.4950.945 13882.543 0.76287.5345.6236.193 10405.557 3.1272.5485.3950.830 13851.153 0.77288.75345.6236.193 10450.798 3.11268.8484.350.716 13629.865 0.78288.75345.6236.193 10450.798 3.12272.5483.2150.602
34、 13788.945 0.79287.5345.0736.136 10388.998 3.13267.5482.1250.487 13505.403 0.8286.25344.5336.079 10327.641 3.14272.5481.5750.430 13742.145 0.81285344.5336.079 10282.543 3.15270481.5750.430 13616.071 0.82285343.9836.022 10266.128 3.16277.5481.5750.430 13994.295 0.83282.5342.8935.907 10143.828 3.17278
35、.8481.0350.373 14041.569 0.84280341.2535.736 10005.972 3.18282.5479.9350.258 14197.928 0.85276.25340.1635.621 9840.431 3.19282.5479.3950.202 14181.953 0.86275339.6135.564 9780.066 3.2282.5479.3950.202 14181.953 0.87273.75339.0735.507 9720.131 3.21282.5478.8450.144 14165.682 0.88277.5339.0735.507 985
36、3.283 3.22280478.350.087 14024.488 0.89278.75338.5235.450 9881.612 3.23277.5477.7550.030 13883.287 0.9282.5337.9735.392 9998.278 3.24276.3477.249.972 13804.839 0.91282.5337.4335.336 9982.303 3.25273.8477.249.972 13679.908 0.92286.25336.8835.278 10098.325 3.26273.8476.6649.916 13664.428 0.93285336.88
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