李亚伦初稿本科毕业论文.doc

江苏科技大学

本 科 毕 业 设 计（论文）

学 院 数理学院
专 业 应用物理学
学生姓名 李亚伦
班级学号 1240502120
指导教师 王颖

二零壹六年六月

江苏科技大学本科毕业论文

广义立方-五次非线性作用下一维量子体系的动力学研究

江苏科技大学本科毕业设计(论文)
摘 要

非线性薛定谔方程(NLSE)是量子体系非线性进化的一类重要方程，在许多领域中都有十分重要的应用。因此，研究分析这一类方程的模型具有重要的物理意义。人们实现了用GGPE描述BCS-BEC渡越后，GGPE便开始更多的出现在人们的研究中。当GPE与多方近似结合，非线性项则变成广义立方-五次非线性项。这时的一维GGPE就变成了广义立方五次非线性薛定谔方程(GCQ-NLSE)。以前的研究工作在处理GCQ-NLSE的特殊情形CQ-NLSE时，需要引入额外的可积条件。在本次工作中，我们采用耦合相位与幅度变换结合的 展开法分析一维GCQ-NLSE，并能在不引入任何可积条件的情况下得到其孤子解。根据得出的解析解，我们定量分析该模型所描述体系的动力学行为，对孤子强度，速度，体系声子速度等依赖与相互作用强度相关的多方指数的物理量进行分析计算，并且给出它们演化图。

关键词：非线性薛定谔方程，立方五次非线性，孤子

II

江苏科技大学本科毕业设计(论文)
目 录

第一章 绪论----------------------------------------------------------4
1.1 研究背景介绍------------------------------------------------------4
1.2 研究现状----------------------------------------------------------5
1.3 本文主要内容-----------------------------------------------------10

第二章 解决方法-----------------------------------------------------11
2.1 问题描述----------------------------------------------------------11
2.2 GCQ -NLSE的解析解-----------------------------------------------12

第三章 结果与讨论--------------------------------------------------17
3.1 分析和讨论-------------------------------------------------------17
3.2 结论-------------------------------------------------------------20

结论（或结语）-----------------------------------------------------21
致谢------------------------------------------------------------------22
参考文献------------------------------------------------------------23
第一章 绪论
1.1 背景介绍
非线性薛定谔方程(NLSE)作为量子体系非线性进化的一类重要方程，已被广泛应用在许多领域，如量子力学，非线性光学[1]，电磁学，等离子体理论[2]，超冷原子物理和玻色 - 爱因斯坦凝聚(BEC)[3]。因此，这一类方程模型的分析研究具有重要的物理意义。
非线性光学是NLSE的一个典型的应用场景。当在非线性介质中的光脉冲传输强度超过一定值时， 广义非自治立方-五次非线性薛定谔(CQ-NLSE)方程在该场景中的应用引起人们的重视。与传统的NLSE相比该CQ-NLSE有很多不同特性，主要是最终解析结果对特定的非线性相互作用参数的明显依赖。
另一个CQ-NLSE重要的应用场景是超冷原子物理，随着理论和实验技术的飞速发展，量子液体(BEC，超流体 He 和 He，超冷费米气体等)与其相关的问题已经引起越来越多的关注[4, 5]。
从平均场理论推导出来的Gross-Pitaevskii 方程(GPE)作为NLSE的亚类模型，在BEC相关现象的研究中被证明是十分准确的方程，它的一维情况在数学和物理学中被广泛地研究。 在过去的几年里，已经出现了很多基于空间周期势和立方五次非线性模型的非线性薛定谔(NLS)方程或Gross-Pitaevskii(GP)方程的理论和实验研究[6-13]。在各种非线性物理现象中都出现了这种类型的物理模型，如光纤和波导中的脉冲传播[14]，光在硫化物玻璃中的传播[15]，纯和二元流体中的对流[16]，锁模激光器[17]，等离子激光相互作用[18]，模型的构成[19]和一些有机材料[20]。一维具有立方形式非线性相互作用项GPE的精确解已经找到，并显示为各类孤子，这在很多团队所做的工作中都有说明[21-26]。 然而，通过调节可变非线性相互作用的Feshbach共振实现了描述从Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)到BEC的过渡过程后，非线性相互作用采用多方近似下的广义Gross-Pitaevskii方程(GGPE)引起了人们的注意。多方近似是通过用参数替换非线性相互作用项中的立方幂指数的来实现的（在BCS 端的与 BEC 中端的之间取值）[27-29]。
然而对于与多方近似相对应的GPE，也就是所谓的广义上的Gross-Pitaevskii 方程(GGPE)，目前相关的研究较少。特别是考虑进BEC中的二，三体相互作用时，非线性相互作用部分将包括波函数模的三次和五次项。当与多方近似结合，非线性项则变成广义立方-五次非线性项。 一维GGPE在这种情况下，属于广义立方五次非线性薛定谔方程的类别(GCQ-NLSE)。 刚才提到的源自GGPE的理论形式的非线性光学的立方-五次非线性项被统一地纳入GCQ-NLSE模型来做一般性的探讨研究。
1.2 研究现状
自从立方五次非线性薛定谔方程(CQNLSEs)与非线性管理出现在物理学的不同分支，如非线性光学[30]和玻色爱因斯坦凝聚(BEC)[31]，它们便呈现了实践意义。实际上，在过去的十年中，管理非线性的技术已经引起了相当的关注[32]，例如，非线性管理出现在光学中用于处理层状光学介质的横向传播[33]，以及在费什巴赫谐振原子物理学中用于处理BEC原子间相互作用的散射长度[34，35]。在这些情况下，人们必须处理时间函数的非线性系数[35，36]或等价的控制方程来表示传播距离的变量[33，37]。近日，空间相关非线性相互作用也受到了极大关注，例如，有许多研究BEC非线性波与空间非均匀性的相互作用[38]，其空间非均匀性包括了孤子的发射。在最近的一个参考[39]中，使用经典李群理论和正则变换，发现了一些普通的非线性调制和外势部分。具体而言，已经得出了空间不均匀三次非线性下非线性薛定谔方程的明确孤子解。事实证明，没有任何局部化外势的非线性也可支持任意孤子数量的束缚态。
许多杰出的科学家认为非线性科学逐渐成为深入理解自然的重要前沿[40，41]。在这个领域内，各种非线性薛定谔方程(NLSE)模型框架内的孤立波形式蓬勃发展，这个研究领域具有极大重要性并引起了更多人的兴趣。并且在过去二十多年时间里，随着低温物理在理论与实验方面的进展，量子流体（玻色爱因斯坦凝聚体，氦超流，超冷费米气体等）的研究备受瞩目[42,43]。
玻色爱因斯坦凝聚(BEC)的实验室实现以及对该新兴热门领域的理论探索有多方面的特殊意义。BEC有趣的特性之一就是来源于粒子相互作用的非线性特征， 同时非线性特性又受如囚禁外势等外界条件的影响。随着磁控Feshbach共振技术的应用，粒子间相互作用（吸引或排斥）强度可被连续的从负无穷大调到正无穷大，从而在实验室中实现简并费米气体从Bardeen-Cooper-Schrieffer超流态到玻色爱因斯坦凝聚体(BCS-BEC)的渡越，从而产生很多从凝聚态物理到天体物理的有趣现代物理学课题[44,45]。
从平均场理论方法导出的用来描述BEC动力学行为的Gross-Pitaevskii方程(GPE)，作为描述超冷BEC值得信赖的方程模型，在物理与数学层面被较为广泛的研究并已有一些重要成果。某些特殊形式的该方程的解析解已被找到，形式为各式各样的孤子解得形式[46-51]。最近一些年随着冷费米原子气体领域的诸多成就，推广的Gross-Pitaevskii方程(GGPE)被提出用来寻求相关动力学行为的解析解。
此外玻色 - 爱因斯坦凝聚(BECs)[52,53]装入光晶格(OLs)[54–58]线性状态操作可用于重现众所周知的固体物理学现象，如布洛赫(Bloch)振荡[59,60]，朗道-齐纳(Landau–Zener)隧穿[61,62]等。BEC的自然延伸考虑了孤子稳定性的潜在OL周期时间调制的影响。领先级衍射的抑制和副衍射孤子的形成分别实现了OL对时间的依赖性[63,64]。而且其强大的周期性动摇了OLs但却没有破坏BEC的相位相干性已经得到了证明[65]。
OLs的一个更有趣的特性是周期时间依赖性晶格通常伴随着谐波限制势。一个应将此势阱为组合谐波晶格势。谐波晶格势可以在BEC中通过调谐外部磁场并使用费什巴赫共振(FR)技术的光控制相互作用来实现[52,66,67]。BEC孤子在谐波晶格势的动态变化吸引了大量的理论和实验研究，例如，文献[68]–[73]可以作为理论和数值的参考，文献[74]–[76]可以作为实验参考，而文献[77]可以作为全面审查静态晶格BEC动态变化的参考。
研究与空间不均匀的相互作用和控制方程的BEC的动力学性质可行的是谐波晶格势下一维非线性薛定谔方程(NLSE)。在过去的几年中，许多有影响的工作都致力于构建非线性薛定谔方程精确解析解[54,78–82]。应当指出的是，如果BEC中二，三体相互作用都需要考虑，在NLSE中应包括立方和五次(CQ)的非线性。然而，目前有考虑谐波晶格势时间依赖性的立方五次非线性薛定谔方程(CQNLSE)的工作。此外，到目前为止，据我们所知，通常数值模拟研究被局限在谐波晶格势的不均匀物理模型，而分析结果却很少报道。
实验实现了稀薄原子气体[83-85]的玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)并对其中许多有趣的现象进行了探索，如物质波[86,87]的Anderson局部化，产生亮孤子[88-91]和暗孤子[92]，暗亮复合物[93]，旋涡[94]和旋涡-反旋涡偶极子[95-98]，环形几何中的持续流动[99,100]，斯格明子[101]，规范场[102]和自旋轨道耦合[103]仿真，量子牛顿摇篮[104]，等等。本课题由于使用费什巴赫共振(FR)技术得到了极大的支持，即，原子间相互作用强度的控制由外部施加的场来决定[105-107]，这将打开实现复杂非线性模式的可能性。特别是，通过空间上不均匀非线性来管理Gross-Pitaevskii方程(GPE)[108]的局部化解，这也许通过创建外部不均匀场诱导相应的FR景观，并引起了理论研究的极大兴趣[109-118]。
由于实验实现了稀原子气体的玻色 - 爱因斯坦凝聚(BEC)[119,120]，极大地促进了外势以及通过磁性和光学控制费什巴赫共振相互作用方面的可控程度。最近，创建原子物质的缩合物与调谐散射为负长度已经成为可能[121–123]，例如，，，和的超精细能级[124,125]。研究表明铬的调谐散射也可以为负长度，而且还具有显著的远距离偶极力[126]。
这样的吸引力凝聚有显着的“自陷”属性，即，被局部化（至少在一对相关的方面）在一个比预期非相互作用短的长度尺度中。将其限制在一维中，其非相互作用基态会无限宽，在Gross-Pitaevskii方程(GPE)预测基态仍然被局部化在一个有限的尺度中。因此对GPE，这些缩合物表现为物质波的孤子，或者在准一维的情况下表现为经典孤子。我们可以基于变分的方法来研究一维和三维之间的过渡区域[127]。无论对于单一波包[121]的情况下（基态）还是多个较小波包[122,128]的情况下，实验测得系统的寿命为几秒钟，其称为孤子串。除了实验结果，还涉及具有势垒预期影响系统相互作用的理论结果，例如增强反射和传输[129,130]。
在这种情况下，GPE预测系统内有无数个守恒量，从而完成可积性[131]。作为结果的逆散射变换可以用来获得亮孤子的组合解[132]，其正是由非线性相互作用和辐射的平衡才不改变量子压力的形状。实际上GPE方程的任何初始条件都可以被分成这些部分[132]。在多孤子系统的情况下，个别孤子可以与其他孤子发生不传递它们之间能量的碰撞，这导致只有一个渐近位置和相移。理论上这种局部化的物质波（典型的是宽度只有几微米量级）可以连贯地分割成多个部分[133]，并被证明这种干涉是有用的[134,135]，例如量子反射[130,136]或探测表面电位的研究[137]。
在某些特定情况下，这种孤子行为类似于典型粒子，即使存在囚禁谐波的有限范围内相互作用[138]。然而，在实际情况中，此类对象应该表现为量子粒子（即，没有子结构而具有一个位置，该位置由波函数服从量子力学规律来确定，而不是一个特定的位置）。尽管GPES成功的描述了许多BEC现象，即使极小原子序数的原子[139]，这种量子力学的质心行为也完全失去在状态波函数的近似下。因此我们利用通常的伪电位势垒近似来考虑一个完整的多体量子描述。
除波色-爱因斯坦凝聚外，还有很多集中在物理学和非线性光学局部结构理论研究和实验研究的工作[140-146]。然而，其中大多数介质局部结构的研究具有相同的横衍射，并对调查介质局部结构中不同横衍射的动力学行为作出了一些尝试，因为后者比前者要复杂得多。Yumoto和Otsuka[147]首先调查了相关光克尔效应在不同介质中的横衍射问题。Polyakov和Stegeman[148]讨论了该存在二次孤子媒体的特性。Borges等人[149]给了在各向异性立方五次(CQ)非线性光学介质中光学涡旋传播的全矢量分析。最近，Dai等人讨论了具有分布式横衍射二维(2D)波导的similariton解[150]。由于其新颖的理论以及潜在的应用，空间或时空孤子已经有了深入的研究[151–153]。similaritons[152]和rogons[153]等对各种基本的孤子[151]进行了理论预测和实验观察。
理论描述波在克尔型非线性介质中的传播是基于非线性薛定谔方程，其通常包括对应于依赖折射率强度变化的非线性。然而，当入射光场在光学中变强时，非线性薛定谔方程还应包括非线性（立方五次(CQ)介质）。纵观历史，对于非均匀CQNLSE拓扑结构准孤子解的研究始于Serkin等人的创举[154]。该CQNLSE模型也将打开孤子逻辑的可能性[155]，非线性有机薄膜和聚合波导也将呈现许多重要的和新颖的可能性。Senthilnathan等人[156]发现了在异常和正常色散区的变周期亮孤子解。对CQNLSE已经制定了变分法[157]和分析方法[158]。近日，Avelar 和 Belmonte-Beitia等人[159]得到了周期性波动以及空间和时间调制的立方五次非线性孤子解。Dai等人[160]探讨了非均匀CQNLSE并获得了其对应的similariton解，其中，非线性，色散和增益在高功率光纤放大器的共同作用下造成的任意形状的输入脉冲渐渐收敛到一个脉冲，显示其形状为自相似的[161]。
众所周知，在非线性光学时空孤子的研究工作中[162, 163]，它们通过时间分散之间的平衡来支撑空间方向和非线性。由于在相同设定塌陷的可能性，二维（2D）和三维（3D）的STS（STSs，别名''光子弹“）在立方（克尔）非线性均匀介质中是不稳定的[163, 164]。为了避免塌陷，提出了其他非线性的类型。特别的，多维孤子的稳定性容易被饱和而固定[165, 166]，二次()[167, 168]和立方五次（CQ）的非线性[169, 170]。虽然迄今没有STS在3D的作品报道，准二维的STS是在晶体制成[171]。
同时上述非克尔非线性支持的基本（零涡）STS的是稳定的，孤旋涡（别名涡环，或旋转孤子，与整数“旋转”S指的是对应的拓扑电荷）的稳定性容易受到方位扰动而变的不稳定。特别的，通过模拟[172]和实验[173]所证明，在二维模型与或饱和非线性纺丝孤子是不稳定的。
在实际的光纤中，其芯介质是不均匀的[174]。由于多种因素总是会导致一些不均匀，而其中较重要的因素是：（i）从光纤中产生的变化的晶格参数使得在整个光纤中两个相邻原子之间的距离不是恒定的，（ii）这种情况的产生是由于光纤几何形状的变化（直径波动的影响，等等）。这些非均匀性影响会造成各种效果，如损失（或增益），分散，相位调制等。
光纤布拉格光栅（FBGs）被发现之后，其在光通信领域一直有广泛的应用[175]。众所周知，由光纤光栅引起的有效分散的幅度大约比标准石英光纤的幅度大六阶[176]。在非线性区，光纤光栅引起的分散体可以通过形成间隙孤子（GSs）而产生的非线性平衡。在过去的二十年中已经有许多工作对间隙孤子进行了理论和实验的研究[176]–[182]。理论研究已经表明，间隙孤子速度介于零和光在介质中速度之间的范围内。至今，实验可观察到间隙孤子的最大速度为光在真空中速度的16％[179]。
间隙孤子的存在性和稳定性也已在更复杂的系统中得到了研究，如二次非线性介质[180]，立方五次非线性效应[183, 184]，耦合光纤光栅[185–189]，波导阵列[190]，和光子晶体[191, 192]。特别的，在参考[185]，已经表明该模型对于对称和非对称间隙孤子都可支持。而当对称和非对称孤子共存时，只有不对称孤子是稳定的。另一方面，只有当间隙孤子对自己的存在稳定时，间隙孤子是对称的。
由于光纤的群速度色散相互作用（GVD）以及自相位调制（SPM）或交叉相位调制（XPM），可能会导致许多重要现象的发生。其中，光波断裂一般发生在正常色散区而其外观表现为脉冲频谱旁瓣的脉冲翼振荡。其本身作为一个重要的现象，光波断裂吸引了对几个关系密切的重要应用的特殊兴趣，如最大的高品质脉冲压缩[193]，最初抛物线脉冲的自相似传播[194]，获得波打破自由操作的光纤激光器[195,196]等。到现在，波断裂已被广泛试验研究[193,195–199],，数值[193,194,197,198,200–204]上类似于三次非线性情况下的近似解析[194,201,202,204,205]。
然而，对于高入射光强度或材料具有非常高的非线性系数，如掺杂半导体的玻璃纤维，五次非线性效应可以生效，并在很大程度上影响光孤子的传输[206]，以及会产生调制不稳定性[207]，等等。
光孤子由于其长距离传播无衰减的能力而具有成为远程通信载体的广阔潜力[208–211]。因此，理论和实验分析光孤子的动力学行为受到了重视[212,213]。这种研究是帮助实现光孤子的应用，特别是在基于孤子光通信系统[212]和非线性光学开关[213]。在这样的光学系统中通常使用克尔型的波导[213]。所以，光脉冲的动力学行为是由立方非线性项系列的非线性薛定谔方程（NLS）描述的[214]。然而，随着入射光场的强度变得越来越强，非克尔非线性效应开始发挥作用[209]。关于NLS孤子传输非克尔非线性的影响是由NLS系列与更高程度的非线性项方程所描述[215–222]。
立方五次非线性薛定谔方程在多个物理学领域都有出现，如非线性光学[223]，核物理[224]和玻色 - 爱因斯坦凝聚[225]。在非线性光学，它描述了脉冲在双掺杂光纤中的传播[223]。可以通过改变光纤的掺杂剂类型来实现非线性的周期性变化[226]。此外，五次NLS方程在水中具有波理论应用程序以及在其它的物理系统中比三次非线性薛定谔方程描述更大的时间和空间尺度[227–229]。
1.3 本文主要内容
本文主要考虑非线性光学中非线性介质中的光脉冲传输强度超过一定值时， 广义非自治立方-五次非线性薛定谔（CQ-NLSE）方程在该场景中的应用。以及当考虑BEC中的二，三体相互作用时，非线性相互作用部分将包括波函数模的三次和五次项，再与多方近似结合，利用广义立方五次非线性薛定谔方程（GCQ-NLSE）解决BEC中的问题。
以前的有关工作在处理GCQ-NLSE的特殊情形CQ-NLSE时，需要附加额外的可积条件。 在本文中，我们通过采用耦合相位-幅度变换结合-展开法[230， 231]， 分析得到一维 GCQ-NLSE不引入任何可积条件的暗孤子解。 根据得出的解析解，我们对该模型所描述体系的动力学行为定量分析， 对依赖相互作用强度相关的多方指数的物理量如孤子强度，速度，体系声子速度进行了分析计算，并给出它们演化图示。
第二章 解决方法
2.1 问题描述
考虑了二阶非线性效应的一维GCQ-NLSE有如下形式，

其中，是由实验确定的对应BEC-BCS渡越中不同的超流区的实值多方指数。（1）右边的第一项为色散项（或动能项）， 而在右边的第二项是来自外部谐振子势， 第三项是相互作用项，称为超冷原子系统Landau系数， 时为排斥的相互作用，时为吸引相互作用。该公式（1） 对冷原子系统来说就是三维GGPE模型在某些情况下像细长的强径向的外部调和势中的等效一维形式。( 其中 )。 描述高阶相互作用强度，这在超冷原子系统中源于三体相互作用。
为了消除可积性约束条件，并允许 ， 和 相对自由变化，我们在以下几个变换中引入一个参数函数

式（3）可以被认为是改进的透镜型变换[232， 233]。 将 (2) 和 (3) 带入方程 (1) 然后用替换 时空变量标记形式，我们可以得出以下方程

然后我们假定波函数的形式为

将 (5)带入方程 (4)， 由于最终所得方程恒等于零，我们便使方程的实部与虚部分别为零，最终得到了下面关于和的方程

其中
，，，和 是常数。我们将针对方程（6）来求解的方程（1）的解析解。
2.2 GCQ-NLSE的解析解
我们运用-展开法来探寻公式（6）的解析解， 对于未知函数的（1+1）维偏微分方程，我们假设

其中 ， 而 满足

由原始的微分方程最高的微分项和非线性项之间的平衡来决定。
应用-展开法求解方程（6），我们假设和在方程（6）采用以下形式

为了平衡公式的最高指数， 应满足，所以 ；因此 在 (9)式中的形式为

将 (10) 和 (11) 带入方程 (6)， 利用式（8）， 我们可以由 (6) 得到两个关于的多项式， 其中 ； ， 而 或 1。 将(6a)中的项系数设置为零， 我们可以得出以下常微分方程组：

和

同理，由(6b)我们可以得到：

和

在解常微分方程的过程中，我们得出以下中间结果：

将(17) 带入(14)可以得到：

接下来我们针对从该微分方程组刚刚获得的中间结果来探寻可能有的孤子解。
关于-展开法的参数有三种情况：
(1）
在这种情况下，我们有

积分后，我们得到的

当而其他项为零时，方程（18）变为：

为使上述方程组的后三个方程自洽，对应项系数相同。我们有

所以项系数均为零。
所以

可以得出 ，与相矛盾。 因此这种情况是无效的。
(2）
在这种情况下，我们有

积分后，我们得到的

当而时，方程（18）变为：

为使上述方程组的后三个方程自洽，对应项系数相同。所以项系数均为零。我们有

这三个公式给出，

(3）
在这种情况下，我们有

积分后，我们得到

由于 ， 从（18）的前两个方程得到，

又因为而且，所以后三个方程为

为使上述方程组自洽，所以对应项系数应相同。所以项系数相同。
我们可以得到

从上式可以得出 ， 与事实矛盾，所以这种情况也是无效的。
第三章 结果与讨论
3.1 分析和讨论
通过以上的讨论，我们可以看到，仅仅第二种情况提供的解决方案是有效的。
由于 和 ， 将 和 带入 (26)式我们可以得到

参阅第二种情况（24）式，它给出了暗孤子型解， 我们可以看到，孤子强度（幅度）正比于

从式（15），我们有

其中是由初始条件设定。孤子的速度由下式给出

这表明暗孤子以恒定速度移动， 的数值依赖于，这意味着在整个BCS-BEC渡越区间， 孤子速度依赖于非线性相互作用强度决定的而各不相同。

图1. 暗孤子的速度 (单位) 与方程模型的多方指数 (由 到 )之间的关系.

图 2. 暗孤子的幅度(单位 ) 与方程模型的多方指数 (由 到)之间的关系.

图 3. 对于准一维系统且当暗孤子具有相同的初始位置 ( 水平蓝线标明暗孤子在中心位置)时， 以陷阱长度为单位时的暗孤子的位置 与 多方指数 (由到 )之间的关系.

图（1）示出了依赖多方指数的暗孤子速度变化曲线。 图（2）示出了暗孤子的振幅随多方指数的变化曲线。图（3）表明在暗孤子具有相同的初始起始中心位置的准一维的实际模拟系统 在某稍后时间点暗孤子的位置与多方指数 变化关系。
对于BCS-BEC渡越，系统的类似暗孤子的行为将有声子的传播有影响。对应于不同的BCS-BEC区间，声子速度对应于不同的作用强度参数将取不同的值。根据我们得到的暗孤子参数结合由W.Wen等人所作的分析，相应纵向声速为

其中，，为费米速度。图（4）展示了与的变化关系。我们可以看到，我们结果（35）得到的在范围内时与先前实验数值结果吻合的较好。对于时，我们得出的结果与先前结果没有明显的区别。因此，我们得出的值在区间内落在与实际观测值大致相同的范围（）里。

图 5. 我们得到的归一化声速随的变化关系（实线）与相应数值结果（虚线），实验数据（实点)比较。

我们不难从图（4）中看到，我们推导的结果在BCS侧以及BEC侧 相对于附近的中心区域与实验数据符合地好。这表明我们的基于CQ-NLSE的分析计算对较弱的粒子间相互作用适用，但在强相互作用时与实际结果有显著偏差。
3.2 结论
本文在考虑非线性光学中非线性介质中的光脉冲传输强度超过一定值时， 广义非自治立方-五次非线性薛定谔（CQ-NLSE）方程在该场景中的应用，以及超冷原子体系BCS-BEC渡越中的三体相互作用，在没有引入任何可积条件，给出了描述一维量子体系的GCQ-NLSE方程模型的暗孤子型解析解。 得到暗孤子幅度，速度，以及体系中声子的传播速度与表征粒子间相互作用强度的参数 间的解析表达式。我们还给出暗孤子在准一维谐振子势阱中模拟运动与之间的关系图示。本文所得到的结果可以为实际研究一维量子系统暗孤子动力学的实验提供一些参考。
结 论（或结语）

结论包括对整个毕业设计（论文）工作进行归纳和综合而得出的总结，包括所得结果与已有结果的比较和尚存在的问题，以及进一步开展研究的见解与建议。结论集中反映作者的研究成果，表达作者对所研究的课题的见解，是全文的思想精髓，是文章价值的体现，结论要写的概括、简短。
致 谢

致谢应以简短的文字对课题研究与论文撰写过程中曾直接给予帮助的人员表示自己的谢意，内容应简单明了，实事求是。这不仅是一种礼貌，也是对他人劳动的尊重，是治学者应有的思想作风。
参 考 文 献

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