重组图的拉普拉斯谱-毕设论文.doc

本 科 毕 业 论 文
题
目
重组图的拉普拉斯谱

作 者： 唐 晶
专 业： 数学与应用数学（师范）
指导教师： 吕 大 梅
完成日期： 2014年5月

南 通 大 学

本 科 毕 业 论 文

题目： 重组图的拉普拉斯谱

姓 名： 唐 晶
指导教师： 吕 大 梅
专 业： 数学与应用数学（师范）

南通大学理学院
2014年5月

南通大学毕业论文
摘 要
设是一个顶点集为，边集为的阶简单图。用表示中与之间的边数，称为的邻接矩阵，矩阵的特征值就称为的邻接谱，度矩阵为的顶点度数构成的对角矩阵。图的拉普拉斯矩阵定义为：。Laplace矩阵的研究是代数图论的重要组成部分。
本文着重研究了两个完全图的重组图的Laplace谱，然后研究了两个完全图的重组图删去一条边所得的图的Laplace谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。

关键词： Laplace谱，重组图，完全图
ABSTRACT
Let be a simple graph with the vertex set and the edge set . We use to express the number of edges between vertex and of , and call as the adjacency matrix of , view the eigenvalues of as the adjacency spectrum of . The degree matrix is the diagonal matrix whose i-th diagonal entry is the degree of vertex i in . The Laplace matrix of is given by . The research on the characteristics value of Laplace matrix , is an important part of algebraic graph theory.
In this paper, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, and the Laplace spectrum of the recombinant graph of two complete graphs, furthermore, we obtain some results by comparison. Furthermore, we study the Laplace spectrum of the recombinant graph of p complete graphs.

Key words: Laplace spectrum, recombinant graph, complete graph
目录
摘 要 I
ABSTRACT II
目录 III
第一章 绪 论 4
1.1 引 言 4
1.2基本概念及已有结果 4
1.3 本文主要结果 6
第二章 重组图的Laplace谱 7
2.1 两个完全图的重组图的Laplace谱 7
2.2 去掉两个完全图的重组图中Kk内一条边的情况 9
2.3 去掉两个完全图的重组图中内一条边的情况 12
2.4 去掉两个完全图的重组图中与之间的一条边的情况 14
2.5 个完全图的重组图的情形 18
第三章 归 纳 19
参考文献 20
致 谢 21

21
第一章 绪 论
1.1 引 言
图谱理论的主要目标是把图的重要结构性质和它的特征值联系起来，它在图划分、排名、网络病毒传播和聚集等方面都有一些应用[1]。
图的特征值的研究是组合数学的一个重要组成部分。从历史观点上来说，图的谱和结构之间的第一个关系是在1876年基尔霍夫证明了他著名的矩阵-树定理时发现的[2]。图谱理论的主要原理是把图的重要不变量和图谱联系起来。通常，像色数和独立数这样难以计算的不变量，用含特征值的表达式比较它们是很有效的。在[1 ]中，也给出一些图谱和它的结构的关系以及这些关系在图划分、排名、网络病毒传播和聚集等领域的一些实际应用。对于图的特征值的其他应用，可参见[1，3，4，5]。更多图的特征值的结果，可以看Cevtkovic et al.的专著[6，7](邻接矩阵的特征值)，Mohar的综述[8]（拉普拉斯矩阵的特征值），Godsil和Royle的专著[9]（邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值）或者是Chung的书[10]（标准拉普拉斯矩阵的特征值）。

1.2基本概念及已有结果
下面是一些相关定义：
定义1.1：既无环边也无重边的图称为简单图。
定义1.2：任意两点间都有一条边的简单图称为完全图，阶完全图记为。
定义1.3：设简单图都包含一个子图与图同构，把的顶点看成是一样的，所得的简单图称为基于的重组图，记为。
定义1.4：由一个图删去其顶点的子集,同时删去他们关联的边所得的图，称为这个图的诱导子图。
定义1.5：设图为简单图，即图不包含重边与环，的顶点集为，顶点的度为，的邻接矩阵为是一个实对称矩阵，定义如下：，当时，如果顶点与相邻，则，否则。
定义1.6：图G的Laplace矩阵定义为：,其中为的顶点度数构成的对角矩阵，称为度矩阵。
定义1.7：矩阵的特征值是使得存在一个非零向量解为。每一个非零解称为对应特征值的特征向量。Laplace矩阵的所有特征值称为图的拉普拉斯（Laplace）谱。
下给出几个简单图的拉普拉斯谱[11]。
l 完全图的拉普拉斯谱： 一个n-1，n-1个-1；
l 完全二部图的拉普拉斯谱：一个0，n-1个m，m-1个n，一个m+n；
l 圈的拉普拉斯谱：2-2；
路的拉普拉斯谱：2-2。
拉普拉斯算子矩阵的特征值按递增顺序列出：
。和是的两个顶点且，从中删除行和列得到矩阵。
定理1.1（矩阵-树定理）[2]如果和是连通图的两个顶点且，则的生成树的数目等于的绝对值。另外，的生成树的数目等于。
由矩阵-树定理可知：当且仅当是连通的，据此，M.Fiedler称为的代数连通度，记为[12]。
现在我们列出图的拉普拉斯矩阵的特征值的一些简单性质5[1，第14章]。
定理1.2[1] 设为一个简单图。则
的拉普拉斯矩阵为半正定矩阵。
的拉普拉斯算子的最小特征值等于0，它的重数等于的连通分支数目。
图是连通的当且仅当。
定理1.3[1] 设为一任意n阶图，。
R．Merris给出图与其补图Laplace谱之间的关系如下：
定理1.4[1] 若的Laplace谱为，则
，。
定理1.5 [1] 若为偶图，为的线图，的Laplace谱为
，的邻接谱为，若，则，，。

1.3 本文主要结果
本文着重研究了两个完全图的重组图的Laplace谱，然后研究了两个完全图的重组图删去一条边所得的图的Laplace谱，通过谱之间的比较得出相应的结论，同时推广研究了个完全图的重组图的情形。

第二章 重组图的Laplace谱
2.1 两个完全图的重组图的Laplace谱
设为Kk的顶点集。为连同共有个点的完全图，其顶点集记为，为连同共有个点的完全图，其顶点集记为。设表示完全图和在Kk基础上的重组图，即=（，；Kk），其中：。
定理2.1.1，设重组图=（，；Kk）的Laplace谱为,则

。
证明：图的邻接矩阵为,其中：
，1代表全1矩阵，0代表全0矩阵，其中：。
度矩阵=,其中：
，
Laplace矩阵

的特征多项式为

根据行列式的定义可以得到：

从而得重组图=（，；Kk）的Laplace谱为

2.2 去掉两个完全图的重组图中Kk内一条边的情况
定理2.2.1，设重组图为去掉Kk内一条边的所得到的图，其Laplace谱为，则

。
证明：图的邻接矩阵为,其中：
，，
度矩阵为=,其中：
，

Laplace矩阵为

的特征多项式为

根据行列式的定义可以得到

从而得重组图的Laplace谱为

2.3 去掉两个完全图的重组图中内一条边的情况
定理2.3.1，设重组图为去掉中一条边所得到的图，其Laplace谱为，则

。
证明：图的邻接矩阵为，其中：
，

度矩阵为
其中：
，

Laplace矩阵为

的特征多项式为

根据行列式的定义可以得到

从而得重组图的Laplace谱为

2.4 去掉两个完全图的重组图中与之间的一条边的情况
定理2.4.1，设重组图为去掉与之间一条边所得到的图，其Laplace谱为，则重组图的Laplace谱为：1个0，个，个，个，，，。
证明：图的邻接矩阵为，其中：
，，
度矩阵

Laplace矩阵

=
其中：
=
=
=
=
=
=
所以

令
并进行如下计算：

根据根的存在性定理可知：和之间至少存在一个根，和之间至少存在一个根
综上：重组图的Laplace谱为：1个0，个，个，个，，，。

2.5 个完全图的重组图的情形
由两个完全图的重组图Laplace谱的变化情况，我们可以推广得到个完全图的重组图的情形。
定理4.1，设重组图的Laplace谱为,则谱为：1个0，1个，个，个，个，个个。
定理4.2，设重组图为去掉Kk内一条边的所得到的图，则其Laplace谱为：其中包括1个0，1个，1个，个，个，个，个个。
定理4.3，设重组图为去掉中一条边所得到的图，则其Laplace谱为：1个0，1个，1个，个，个，个，个个。
定理4.4，设重组图为去掉与之间一条边所得到的图，其Laplace谱为，则重组图的Laplace谱为：
1个0，个，个，个，个个
，，。

第三章 归 纳
特征值
下表是各种情况下重组图的拉普拉斯谱个数分布的情况：
不同情况
个数

0

不去边
1
1

0
0
无
无
无
内
去边
1
1

1
0
无
无
无
内去边
1
1

0
1
无
无
无
与间去边
1
无

无
无
1
1
1
通过上表，我们可以发现：
1.比较定理2.1.1和定理2.2.1，去掉重组图中内一条边，重组图的谱半径和代数连通度均未发生改变，只是定理2.2.1比定理2.1.1增加了这个特征值，及特征值的重数发生了改变。
2.比较定理2.1.1和定理2.3.1，去掉重组图中内一条边，重组图的代数连通度未发生改变，谱半径发生了变化，需要根据和的大小来确定。
3.比较定理2.1.1和定理2.4.1，去掉重组图中与之间的一条边，重组图的谱半径不变，代数连通度发生改变，有三个特征值的大小较难确定，只能给出大概的范围。 参考文献
[1] M. Dehmer . Structural Analysis of Complex Networks[M]. Springer Science+Business Media.
[2] Kirchhoff G. U¨ ber die Auflo¨sung der Gleichungen auf welche man bei der Untersuchung der Linearen Vertheilung galvanischer Str¨ome gef¨uhrt wird[J]. Ann Phys Chem, 1847,72:497–508.
[3] Krivelevich M, Sudakov B. Pseudo-random graphs[J]. More sets, graphs and numbers. Bolyai Society Mathematical Studies, 2006,vol 15: 199–262.
[4] van Dam E, Haemers W. Which graphs are determined by their spectrum?[J]. Lin Algebra Appl, 2003,373:241–272.
[5] van Dam E, Haemers W. Developments on spectral characterization of graphs[J]. Discrete Math, 2009,309:576–586.
[6] Cvetkovi´c D, Doob M, Sachs H. Spectra of graphs – theory and application[J]. Academic, New York, 3rd edn, 1995.
[7] Cvetkovi´c D, Rowlinson P, Simic S. Eigenspaces of graphs[M]. Cambridge University Press: Cambridge,1997.
[8] Mohar B. Some applications of Laplace eigenvalues of graphs[M]. Hahn G, Sabidussi G (eds) Graph symmetry: Kluwer, Dordrecht,1997,225–275.
[9] Godsil CD, Royle G. Algebraic graph theory[M]. Berlin:Springer,2001.
[10] Chung FRK. Spectral graph theory[M]. American Mathematical Society, Providence, RI,1997.
[11] Collztz.L,Sinogowitz U. Spektren endlicher Grafen[J]. Abh Math Sem Univ Hamburg, 1957.21: 63–77.
致 谢
本文是在导师吕大梅讲师的悉心指导下完成的，从最初的定题到资料搜集，再到论文的写作、修改和定稿，她都给了我细心的指导和耐心的帮助。她踏实的科学态度和严谨的治学精神及精益求精的工作作风时刻激励着我前进，让我受益无穷。在此，我向她表示我最真挚的感谢与真诚的敬意。