网络化控制系统最大允许延迟时间本科毕业论文.doc

题 目 网络化控制系统最大允许延迟时间

二〇一〇年四月二十三日

- 24 -

Control Engineering Practice 2003,(11):1301–1313
网络化控制系统最大允许延迟时间
Dong-Sung Kim, Young Sam Lee, Wook Hyun Kwon, Hong Seong Park
电气与计算机工程学院，控制信息系统实验室，首尔国立大学，
San56-1，Shlrim-dong，Kwanak-ku，首尔151-742，韩国
电气和计算机工程系，江原国立大学，192-1，Hyoza 2-dong，
Chuncheon，Kangwon-Do 200-701，韩国
收到2001年7月16日，接受2002年10月22日

摘　要: 本文提出了一种新的方法来获取网络控制系统调度的最大允许延迟时间。该方法利用线性矩阵不等式，可以提供一个比现有的方法更保守的时延。一个网络调度方法就是在通过该方法得到了延时的基础上提出的。一个网络的带宽分配给每个节点，每个传感器和控制器的采样周期是确定的。提出的方法可以处理三种类型的数据（周期信息、非周期信息和消息），保证实时传输周期性的和非周期性的数据，网络利用率和最小的非实时消息。
关键词: 网络控制系统，周期采样，神经网络预测
1 引言
在一个分布式控制系统中，反馈控制回路通过网络形成闭环。基于网络的分布式控制系统称为网络化控制系统（NCS）。在一个网络控制系统，由于共享一个共同的网络介质会产生不同长度的延时，这称为网络诱导延迟。网络诱导延迟根据信息的传输时间和操作时间可以有很大的不同。网络控制系统应处理好三个类型的数据：周期信息、非周期信息和消息。通过介质的传输时间在很大程度上依赖于网络协议，尤其是数据链路层协议和数据长度。因此，有必要提出一些方法使这些网络诱导延迟范围缩小，这是所谓的网络控制系统网络调度方式。
在反馈控制系统中，重要的是，采集的数据应在采样周期内传送，保证该控制系统的稳定性。对大多数控制系统说一个较短的采样周期更有利，但尽管性能下降，在保证系统稳定性的情况下它可以在一定的范围内延长某些用途。这个范围就是所谓的最大允许延迟时间（MADB）。因此，有必要找到了稳定网络控制系统的最大允许延迟时间，然后找一个适当的网络调度法，限制网络诱导延迟少于最大允许延迟时间。一个网络调度方法要减少网络内的延迟，同时保证实时传输非周期的，周期性的数据，并尽量减少对非实时信息的网络利用率。
一个最大允许延迟时间是从稳定的条件下的控制系统获得。也有一些关于网络控制系统稳定性的结论（Asok & Yoram,1998; Krtolica et al., 1994; Feng-Li lian, 2002），但这些关注的是给定延迟下取得网络控制系统的稳定。也有一些关于非网络控制系统稳定下的最大允许延迟时间（Mori, Fukuma, & 1981; Su & Huang, 1992）。在这些论文中，采用 Ricatti 方程方法来获得最大允许延迟时间，同时产生了保守的延时范围。

命名法
在基本采样周期内开始传输传感器数据所需最大时间
网络控制系统中节点数目
在整个采样周期中的基本采样周期数目
周期数据传输的总数目
中的传感器和执行器的周期数据数据包的数目
的最大整数值
网络控制系统中节点数目（可能是C(控制器)，A(执行器)，S(传感器)）
第i次循环节点数目
第i次循环节点
基本采样周期中非周期数据的最大值。基本采样周期是指所有循环的最小采样周期
中的执行器数目
和中的传感器数目
循环总次数
第j次循环的采样周期
第j次循环第i个节点的周期数据传输时间
传输数据和消息包的时间间隔（可能是P(周期数据)，S(非周期数据)，N(消息)）。
传输的操作时间
一个节点的最大操作时间
与在每个基本采样周期中不参与传输的节点有关的最大操作时间
传送数据和消息包的最大操作时间
第j次循环中的MADB
最大采样周期中的第i次基本采样周期
一组循环，其中所有节点在考虑的基本采样周期内
一组循环，其中所有节点不在考虑的基本采样周期内
基本采样周期中消息利用率
最小消息利用率
中的一组传感器

Li and Souza (1997a,b) 和Park（1999）描述的非网络控制系统的最大网络延迟时间降低了保守性。但是这些结论仍需完善（Moon, Park, Kwon, & Lee, 2001）。得到的MADB应延长至网络控制系统中的一个采样周期的最大范围。也就是说，由拟议的采样周期决策算法决定的采样周期的设置值应小于MADB。
随着现场总线网络,提出了网络控制系统中的一种调度方法（(Cavalieri, Stefano, & Mirabella 1995; Beauvais & Deplanche, 1995）。但这些论文并没有考虑MADB和控制器延迟时间，这些在控制应用中是很重要的。一些调度方面的研究，应用与网络控制系统中（Beauvais & Deplanche,1995; Hong,1995）。一个从速度单调调度算法改进而来的动态调度算法在现场总线网络中提出了周期和异步数据。仅对周期任务，提出了一种启发式算法（Beauvais & Deplanche, 1995），但它不支持异步数据。几种调度网络控制系统的动态调度算法被提出了(Zuberi & Shin, 1997; Hong Ye, Walsh, & Bushnell, 2001）当应用到NCS时，它存在局限性因为它没有考虑NCS的一些特征如MADB和采样周期。一个调度算法可分配的网络带宽，并确定采集期间传送的传感器数据（Hong, 1995）。在Hong（1995）中，网络控制系统只有单输入、单输出（SISØ），只考虑周期数据，并且没有分析MADB。
基于多输入多输出（MIMO）系统，一个网络调度方法考虑三种类型数据（Park, Kim, Kim, & Kwon, 2002)。在这个论文中，用 Ricatti 方程估计的MADB过于保守，这意味着估计的MADB过小，对本文讨论的网络调度方法有所启发。在Branicky, Phillips, and Zhang (2000),; Wei Zhang, Branicky, and Phillips (2001)和Walsh and Hong Ye (2001)中，提出了MADB的计算方法和网络控制系统稳定性分析。然而，这些结果是保守的，实际使用还有待提高。需要进一步研究一个稳定的网络控制系统的MADB不太保守的估计和调度方法的3种数据类型。在此，利用线性矩阵不等式（LMI）提出了一种新的方法来获取一个稳定的网络控制系统的MADB。拟定方法比现有的方法给出了更保守的时延。该文件包含在MIMO系统以3个数据类型为基础的一个网络调度方法。该网络调度方法基于Park et al. (2002)的结果。它分配了网络节点的带宽，利用所得的MADB决定了的每次循环采样周期内的传感器的数据，保证周期和非周期性的数据的实时传输，最大限度地减少了网络的信息利用率。
本文结构如下。在下面的部分中，描述了网络控制系统模型。在第3节，通过线性矩阵不等式导出了MADB，保证网络控制系统的稳定。在第4节，提出了一种网络调度方法，分配带宽，并确定采样周期。在第5节，仿真结果显示，方法是有用的。最后，在第6节得出结论。
2 在控制回路中保证稳定的MADB
网络控制系统如图1所示。一个控制回路由一个控制器、传感器及执行器组成。该传感器，执行器和控制器公用同一种传输介质。

该MADB被定义为最大允许区间时，即从传感器节点取样来自被控对象的传感器数据的瞬间到执行器输出传送数据传输到被控对象的瞬间。如果采样在第j次循环时间超过给定的MADB，然后整个系统的稳定性不能得到保证。在这种情况下，被控对象的输出可能偏离理想的轨迹，或控制系统。因此，有必要从给定的对象和控制器的参数和配置中获得MADB。图2显示了一个带有网络诱导延时的网络反馈控制系统。

图1 网络控制循环图

图2 含传感器和执行器的网络化控制回路
如图3所示的网络控制系统的时序图。这个设置的缺点是，系统随时间变化。

图3 网络控制系统信号时序图
本文检验一个带有传感器和执行器节点的单一控制回路模型的稳定性。多控制回路的一个节点是可以改变为有一个单一的控制回路的多节点。也就是说，一个节点有多个控制回路，可更改为有一个单一的控制回路的节点之和
图3时序图描述了输出过程和瞬间采样，进入控制器节点和执行器节点的信号，网络诱导延迟。
2.1 在连续的网络控制系统中的MADB
在一个单一的控制回路j中，被控对象可以以下面的状态空间的形式来描述：
（1）
当，,,，，和分别代表控制回路j中的传感器，执行器和被控对象。，，是适当大小的矩阵或向量。
在一个控制回路j中的控制器可以描述为：
（2）
其中 ，是控制器j的计算时间。当满足
时，就是控制器j的最大计算时间。为了方便，以输出延迟同样的方式对待控制器的计算时间。由于从被控对象到控制器和从控制器到被控对象的数据则通过共同的通信网络传输，通信延迟存在。在控制回路j的通信延迟建模为
（3）
其中，和分别是通信延迟和传感器到控制器的最大通信延迟，和分别为通信延迟和控制器到执行器的最大通信延迟。在此文件中，和的上、下界并只用作限制。
利用式（1）-（3），在控制回路j中控制系统可被描述为
（4）
其中，然后上述不等式可重写为
（5）
其中

和
NCS中每一个控制回路利用延时的三种类型描述成式5。
为了向多状态滞后推广的情况下，考虑以下系统：
（6）
其中是状态变量，是系统的延时。是内部条件， ,是适当维数的实常数矩阵，是的上限。
我们的目标是开发一种新的方法来获得MADB保证网络控制系统的稳定。获得以下的两个向量的内积的上界起着重要的作用。
（7）
其中和代表一个的合适维数的矩阵。延长的式（7），得到引理1。
引理1(Moon et al., 2001) 假如,,皆在内部内。然后，对于任意矩阵，，，有以下：
（8）
其中。
定理1.如果存在P>0,, ,,,，使得
（9）
其中

然后系统（6）渐近是稳定的，对任何时滞满足。
这个定理在Moon (2001) 等中扩展了结果，论述了单状态延时系统的MADB。有效利用MATLAB的LMI工具箱可以得到MADB。式（6），N=3可以代表系统（5），可以被解释为T1的max。
一个在采样周期和带宽分配中，利用每个控制回路的延迟界限作为测定参数。
2.2 在离散网络控制系统中的MADB
作为定理（1）推广到离散系统的一个简单的例子，认为系统（10）是这样的。在离散时间系统中，考虑一步延时：
（10）
其中是系统延时，是内部条件， ,是适当维数的实常数矩阵， 是的上限。理论1的离散时间方程描述为
理论2. 如果存在,, ,,，使得
（11）
(12)
然后系统（10）渐近是稳定的，对任何时滞满足
定理2可以通过在附录A类似的方法得到证明。定理2，在条件下通过引理1证明。
离散时间系统的MADB是，是从定理2得到的最大采样时间。一般来说，一个更快的采样率在采样数据被认为是理想的，使离散时间控制设计和性能近似该连续时间系统。但在网络控制系统，以更快的采样率可以增加网络的负载，而这反过来又导致信号较长的延时。因此找到一个采样率既能容忍网络引起的延迟又能实现系统性能，在网络控制系统设计中很重要。
3 多个控制回路的调度算法
本节描述了一个基于MADB的网络调度方法，通过该方法获得的网络带宽分配给每个节点和确定每个传感器和控制器的采样周期。简单得说，让循环数的最小MADB是1，让我们根据的MADB规模重新编排所有回路。也就是说，循环中的MADB越小，循环数较低。请注意，这个最小采样周期是作为一个基本的采样周期。一个基本的采样期包括如图4所示。 除了三个时期可以有一个同步的时期。同步期间包括在里。

图4 一个基本采样周期组成部分
在本文中有下面的假设：
* 在网络，通信无错。也就是说，在传输没有失败。
* 传感器的采样时间在基本采样周期的起始时刻得到同步。
* 数据包转移从传感器到控制器或控制器到执行器具有相同的长度。
* 一个控制回路的行动不会影响其他控制回路。
* 每个回路的采样周期调整为最小采样周期（）乘以2（例如，） 不应超过在相应的循环中的MADB。
* 控制器计算延迟可在或中。
引入第五个假设可简化算法。根据这个假设最小采样周期的倍数可以被用来作为采样的循环周期和所有回路采样周期的最小公倍数（LCM）可以作为最大周期。
第六假设是用于吸收控制器延迟时间到节点数据传输时间，不失一般性。
现在，让我们计算出一个基本的采样所需的时间。基本采样周期消息的利用率
由可以表示为
(13)
为了保证最小消息利用率，用表示，应满足下列不等式：
(14)
利用式（13），以上不等式可转化为
(15)
要传送在以前的周期到达的所有非周期数据，应满足下面的条件
（16）
其中，是非周期数据传输时间的最大值。在采样期间所有的非周期数据传播当中是的最大值。
一个基本的采样周期由采样延迟，周期性数据传输时间，非周期数据传输时间，信息的传输时间。考虑到一个特定的基本采样周期，它可以写为
(17)
其中，是指控制器延迟时间，是指一组循环，其中所有节点在考虑的基本采样周期内，代表一组循环，其中不包括所有节点在考虑的基本采样周期内但这些节点部分包含在考虑的基本采样周期内。代表在内的一组传感器。是最大传输所需的时间用来开始传输传感器数据，利用基本采样时期调度方法，这些数据可以在网络协议缩短。让成为在中的传感器和执行器的周期数据数据包的数目。有以下给出
（18）
其中代表中执行器的数目，代表和中传感器的数目。使
（19）
则基本采样周期由以下不等式界定
(20)
上式可变为
（21）
其中，
请注意如果不能小于或等于零，则不能调度网络控制系统。在这种情况下，应选择其他高速网络协议或应减少节点的数目。如果传感器的数据传输时间和控制器数据传输时间相等，则利用式（19）上述公式变为
（22）
在左边的是周期数据时间，由右边界定。
现在考虑调度能力。如果传感器和控制器数据传输时间和M平等，那么式（22）变为
（23）
其中是最大整数小于或等于Z的值。让式（23）右边的部分变为。
网络控制系统最大采样周期的是和最大采样周期里的第i个基本抽样采样周期为。在中的传感器和执行器的周期数据的数据包数目为。
那么它可以计算
（24）
其中。由于按顺序调整为乘以2的倍数，所以对于有整数的值。通过比较和可以检查调度能力。最大的网络控制系统采样周期取决于最大MADB()。以二分法为基础的采样周期决策算法可以决定基本采样周期。
（1）根据MADB利用定理1或2设置每个循环的MADB。
（2）重新排序控制回路，这样，循环中的MADB越小，其循环的次数越低。
（3）利用式（24）计算和上述步骤的结果。
（4）让。
（5）选择使。
（6）利用式（23）计算
（7）如果 等于，或是在给定的范围内，则，进入下一步骤，否则，如果小于，则
，拿基本的采样周期作为，并转到步骤5，否则，如果比更大，k=0,则终止算法（调度失败），否则如果比更大，，则，拿基本的采样周期作为，并转到步骤5（是最小的整数大于或等于z值）。
（8）对于每个基本的采样周期,传感器节点和执行器节点使用以下带宽调度算法分配和带宽。
图5和6，确定了采样周期算法的流程图。
使用带宽调度算法，数据包可分配如下。首先，在循环1传感器的数据数据包通过网络介质传送到相对应的控制器。当所有传感器数据包在循环1中传输，开始计算回路1控制器的控制值。这是在循环1控制器的延迟时间。在此控制器延迟中，传感器数据包使用网络媒介在下一个循环（循环2）传输。因此，控制器的延迟与循环2传感器数据传输时间重叠。在控制器的延迟时间过后，循环1的控制器传输数据到执行器。经过控制器的传输，其他节点的数据包在指定时间内的周期性数据以如上方法被调度。如果在基本数据采样周期内周期性数据时间结束，对数据包的非周期数据进行调度。如所有非周期的数据传输完后，消息传输时间结束，然后对数据包的消息进行调度。在基本抽样期限结束以前，一个同步间隔可以根据应用程序而存在。如果第一个基本抽样期间其他循环有未分配节点，其他循环的未分配节点以如上方法被调度在下一个基本采样周期。最小的时期，其中包含周期和非周期数据和消息时期，小于或等于MADB，根据采样周期决策算法被选择为循环1最小采样周期。

图5 采样周期算法的流程图
如果在所有循环的MADB能够传输所有数据包的带宽不能被分配，则应选择其他高速网络协议，或应减少节点数量。本文给出这两个算法的调度方法。
让我们考虑在令牌方法控制网络情况下应用调度的某些方面。最坏的运行应预留，当未作出传输响应前，令牌传递到下一个站点。在令牌控制中，运行时间占据了整个时期的很大一部分和同步是难以估计。运行时间可根据令牌传递
的不同的命令而不同。如果不调整通过令牌的命令顺序，当令牌通过对所有其他节点一个节点可能需要等待。因为每个节点的地址与令牌通过的命令有关，每个节点的地址需要调整。这可以使用以前的网络控制系统调度算法。

现在考虑在控制网络投票情况下调度法的应用，例如现场仪表协议（FIP）。由于没有必要等待令牌，传感器传输延迟时间后传输数据或信息。需要只作为同步。因此，如果不考虑同步时期，可以是零。然而，在投票控制中，如FIP，考虑运行时间需要非周期数据，因为两个或两个以上数据包的传输，如非周期要求帧及来自总线仲裁员的响应帧，是必需的。其余的过程类似于令牌控制网的案例。

图6 带宽分配算法的流程图
4 仿真结果
4.1 一个控制回路的MADB分析
分析MADB，考虑下面的被控对象的状态分析。
(25)
其中，
从引理1(Park et al., 2002)得到的MADB为53.8和从定理1得到的MADB为ms。
在Branicky et al. (2000) 和Walsh et al. (1999)中得到的MADB分别为0.27和0.45ms。在Wei Zhang et al.(2001)通过区域稳定技术得到的MADB为ms。这些结果列于表1。
表1 模型（4.1）的MADB的仿真结果

4.2 网络控制系统模型的例子
作为一个核查例子，考虑带6个直流电动机的被控对象。每个电动机有一个有两个感应器和一个驱动器的位置控制器，它是通过网络连接。这6个电动机的配置
假设为一个六轴机器人的一部分。如果电枢电感（）和粘性摩擦系数（）忽略不计，电机动态模型可以描述为
（26）
（27）
其中，，代表外加电压，和是分别转子角速度（弧度/秒）和
位移（弧度）。，，和分别代表电枢电阻，转矩恒定，背部电动势常数，惯性转子和负载。。如果一个常数增益(K)用作状态反馈控制器，系统（5）更改为
（28）
作为网络控制系统控制回路，其中.
对于模拟，每次循环电动机有标称值，例如：（V/rad/s）,和。每个循环测试发动机有相同的标称值，除了前一个。其余五个的值分别为
利用引理1（Park et al.,2002）和电机给定参数，在表2中MADB计算为
1.4，2.6，3.1，6.1，7.5和10ms。使用引理3（Park et al.,2002）和电机给定的参数，MADB计算为0.16，0.21，0.22，0.30，0.33和0.39ms。利用定理1，MADB
计算为和ms。因此最后通过定理1得到的MADB为ms。
表2 每次循环的MADB的仿真结果

4.3 使用MADB调度应用
测试一个使用MADB的调度方法，3个发动机分别有。来自
Park等人（2002）的引理1和给定的电机参数，MADB计算为3.1，6.1和7.5ms。利用定理1，MADB分别计算为和ms。
从现在开始，为计算方便每个循环的MADB可以设置为3，6，和7。这是假定传感器和执行器的数据为4个字节：
在名称中使用的符号如下：

其中，是不参与控制回路额外的节点总数，是第j循环第i次传感器延迟。
假设执行器节点正常运作不发送任何数据，所有的执行器节点传输不需考虑。根据不同的特定的网络协议传输速度是不同的。但是在这个例子中不管给定的网络协议，为使投票控制和令牌控制网络是平等的，传输速度为每秒1兆字节。传感器和控制器数据长度被假定为4字节，而非周期的数据被假定为2字节。为了简化分析，假设该缓冲延迟和数据打包延误被忽视的。
首先，让我们考虑现场总线。如果普遍异步接收器和发送器（UART）由11位或字节组成，用于令牌控制中，那么参数可以给出如下：
bytes × 11 bits/byte×1 µs/bit = 44µs,for.
=2 bytes × 11 bits/byte×1 µs/bit = 22µs.
周期和非周期的数据运行：
bytes × 11 bits/byte×1 µs/bit = 22µs.
通过一个令牌旋转时间周期数据运行可以是有界和按以下给定
bytes (token) × 11 bits/byte×1 µs/bit = 330µs.
非周期数据运行计算公式为
bytes (token) × 11 bits/byte×1 µs/bit = 330µs,
,
µs, = 0.16 × 3 ms.
接下来，让我们考虑国际FIP,参数可以参考如下：
bytes × 8 bits/byte×1 µs/bit = 32µs,for
bits (RP–DAT) × 1µs/bits =45µs,
bits (ID–DAT) × 1µs/bits =60µs,
=2 bytes × 8 bits/byte×1 µs/bit = 16µs,
=45 bits (RP–DAT) × 1µs/bits =45µs,
bit × 1µs/bits =183µs,
,
= 0.16 × 3 = 0.48µs.
运用采样期间的决定算法第1-6步到例子中，通过计算为2，为2。而在令牌控制网络中为2，在投票控制网络中为14。因此，一个基本的采样周期内,2节点和14节点可以分别安排在令牌控制和控制网络投票。从这个计算，它可以证明所有节点不能计划使用令牌控制，但可以利用投票控制。然后，经过了重复采样期间的决定算法的步骤，在投票控制网络中可以减少采样周期。
作为一个网络控制系统调度方法的最后一步，使用带宽调度算法分配带宽。在令牌控制情况下，采样循环第3次时，传输结束的时间超过。因此，在这种情况下调度是不可能的。
在投票控制的情况下，作为每个节点的运行时间由一个常数为界值，在最后一节的计算结果与实际值是类似的。
计算结果与分配相适应。如果1.77s MADB被选中，带宽分配如图所示7。在图7中，和分别是指在第j次循环第i个节点传感器的数据和控制器数据。
从这些结果，可以证明，带有许多节点的扩大范围的网络控制系统使用令牌
控制或投票控制权。
在投票控制个案模拟结果如图8所示。在图8中，我们显示了电机的位置控制系统的输出，其中一个控制器，传感器及执行器是一个直接连接或通过网络连接。该网络控制系统的输出行为与直接连接的系统是相似的。网络控制系统的阶跃响应仿真结果如图9所示。

图7利用选举控制的带宽分配结果（分别指第j次
循环第i个节点的传感器和控制器数据）

图8 电动机1的位置控制输出（）

图9 循环1的网络控制的阶跃响应

5 结论
在本文中，利用LMI获得稳定的网络控制系统的MADB，并把它作为一个调度方法的基本参数。此外，网络控制系统调度方法可以调整尽可能地小的采样周期，分配三种数据类型的网络的带宽，交换传感器与执行器的数据的传输命令。除了这些，提出的方法可以保证实时传输非周期性和周期性的数据，非实时信息的利用最小率。
在一个网络控制系统，该方法是有用的，因为它提供了一个解决方案，以确定每个控制回路的采样周期，它可以指明先前决定的网络协议对于给定控制系统是否是可能的。一个例子来说明该方法的作用。
由于该方法的采样周期中使用倍数乘以二，基于最小采样周期倍数的简化算法有必要进行研究。至于，以后的工作，抖动会研究的网络控制系统的分析。
鸣谢
作者感谢来自Brain Korea 21的经济支持。他们还感谢编辑和匿名评审付出的时间和努力。
附录A
定理1的证明。选择一个作为李雅普诺夫函数如下：

其中
（30）
（31）
（32）
因，系统（6）可写为（Hale & Lunle ,1993）。满足关系。在式（8）中定义，和N为，，，其中。利用引理1，得

由于、有关系式

我们得到

其中，
，
，
因此，如果，根据Lyapunov- Krasovskii稳定性定理，系统（6）是渐近稳定（Hale & Lunel, 1993）。式（33）可改写为
(34)
其中，,
,

根据Schur补充(Boyd, Ghaouli, feron, & Balakrishnan, 1994)，式（34）与第一个不等式式（9）是等价的。证明完毕。

参考文献
(1 ) Asok, R., & Yoram, H. (1988). Integrated communication and control systems: Part ii—Design consideration. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 110, 374–381.
(2 ) Beauvais, J. P., & Deplanche, A.-M. (1995). Heuristics for scheduling periodic complex real-time tasks in a distributed system. Proceedings of the IECON’95 (pp. 55–60).
(3 ) Boyd, S., Ghaoui, L. E., Feron, E., & Balakrishnan, V. (1994). Linear matrixin equalities in system and control theory. Philadelphia, PA: SIAM.
(4 ) Branicky, M. S., Phillips, S. R., & Zhang, W. (2000). Stability of networked control systems: Explicit analysis of delay. Proceedings of the American control conference, vol. 4 (pp. 2352–2357).
(5 ) Cavalieri, S., Stefano, A., & Mirabella, O. (1995). Pre-run-time scheduling to reduce schedule length in the fieldbus environment. IEEE Transactions on Software Engineering, 21, 865–880.
(6 ) Feng-Li Lian, Moyne, J., & Tilbury, D. (2002). Network design consideration for distributed control systems. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 10, 297–307.
(7 ) Hale, J. K., & Lunel, S. M. V. (1993). Introduction to functional differential equations. New York: Springer.
(8 ) Hong, S. H. (1995). Scheduling algorithm of data sampling times in the integrated communication and control systems. IEEE Transactions on Control System Technology, 3, 225–231.
(9 ) Hong Ye, Walsh, G. C., & Bushnell, L. G. (2001). Real-time mixedtraffic wireless networks. IEEE Transactions on Industrial Electronics,48, 883–890.
(10) Krtolica, R., O. zgu.ner, U. ., Chan, H., Go.ktas, H., Winkelman, J., & Liubakka, M. (1994). Stability of linear feedback systems with random communication delays. International Journal of Control,59, 925–953.
(11) Li, X., & de Souza, C. E. (1997a). Criteria for robust stability and stabilization of uncertain linear systems with state delays. Automatica,33, 1657–1662.
(12) Li, X., & de Souza, C. E. (1997b). Delay-dependent robust stability and stabilization of uncertain linear delay systems: A linear matrix inequality approach. IEEE Transactions on Automatic Control, 42,1144–1148.
(13) Moon, Y. S., Park, P. G., Kwon, W. H., & Lee, Y. S. (2001). Delaydependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems. International Journal of Control, 74, 1447–1455.
(14) Mori, T., Fukuma, N., & Kuwahara, M. (1981). Simple stability criteria for single and composite linear systems with time delays. International Journal of Control, 34, 1175–1184.
(15) Nilson, J. (1998). Real time control systems with delays. Ph.D. dissertation, Department of Automatic control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden.
Park, P. G. (1999). A delay-dependent stability criterion for systems with uncertain time-invariant delays. IEEE Transactions on Automatic Control, 44, 876–877.
(16) Park, H. S., Kim, Y. H., Kim, D. S., & Kwon, W. H. (2002). A scheduling method for network based control systems. IEEE Transactions on Control System Technology, 10, 318–330.
(17) Su, T.-J., & Huang, C.-G. (1992). Robust stab