数学建模竞赛论文创意平板折叠桌.doc

创意平板折叠桌摘要桌子在我们的生活中处处可见，文献中给出了桌子的相关参数及动态变化过程，根据已知条件，我们需要解决以下三个问题：问题一，要求描述折叠桌的动态过程，及折叠桌的设计加工参数。我们将桌子的动态过程分为两部分，上端桌腿的变化及桌面的变化。首先建立空间直角坐标系利用已知参数计算出桌子由直立的平板展开的过程中两条桌腿上的点的坐标的变化，（通过假设上端桌腿的角度的变化写出点的坐标），再用matlab绘出散点图从而通过拟合求出桌腿的大致变化轨迹，借此描述桌腿的动态变化过程；其次再用桌面上一点的变化描述桌面的变化符合的曲线，通过以上两部分描述折叠桌的动态变化过程。通过计算折叠桌的桌腿长度，桌腿放好之后与桌面的夹角度数，桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等设计加工参数。问题二，根据题目中的要求，本文先用字母表示参数及变量，并用关系式表示出参数及变量间的的关系，假设数据并带入求出相关参数的值，进一步确定最优的实际参数，该题中用曲线拟合将桌面圆弧上的点所在的曲线和桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线视为大致相同，进一步求出问题二中桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线，求出展开时槽长的变化范围。问题三，在第二问的基础上，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的要求，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，用matlab描述桌子的动态变化过程。关键词：MATLAB 曲线拟合 动态方程一 问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（下图中红色曲线）的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二 问题分析问题一： 1.为描述折叠桌的动态过程，我们首先将桌子的动态过程看做两部分的变化，一部分为桌子直立时上端桌腿的变化，一部分为上端桌子成形后桌面的变化，两部分都通过描述点的变化来描述折叠桌的动态变化过程。第一部分，如图1所示，将桌腿由外及内依次编号1，2,3.10,先利用桌子稳定放置时的状态，用已知最外侧桌腿的长度及桌子的高度（不包括桌面的厚度）计算出最外侧桌腿与水平面的夹角，将与看做互补，边长a可以通过已知参数计算求出，再利用余弦定理求出边长即桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度，再利用正弦定理求出第2条边与桌面的夹角，得出第2条腿的长度，以此类推，依次求出10条桌腿与桌面的夹角的度数，桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度和桌腿的长度（i=1,2,3，.），如图2建立空间直角坐标系，通过假设上端桌腿转动时角度的变化，从而得出变化后点的坐标，以第1条桌腿和第2条桌腿的底端中点的运动轨迹表示第一部分的动态变化过程，通过matlab拟合得出桌腿变化过程的大致曲线，进一步得出第一部分的变化过程；第二部分，如图2上的A点 2.为了得出折叠桌的设计加工参数，第1步求出的桌腿长度，桌腿与桌面的夹角，都可作为设计加工参数，通过计算得出的和，进一步得出桌腿木条上开槽的长度，而桌角边缘线的确定，则是通过第1步中两部分变化结束后上端桌腿的底端中点的坐标来进一步确定。问题二根据题目中的要求，本文先用字母表示参数及变量例如：平板的长度，桌腿的长度等参数，同时在已知桌面直径和桌子高度的情况下，假设桌腿的宽度仍为2.5cm，并用关系式表示出参数及变量间的的关系，假设数据并带入求出相关参数的值，进一步确定最优的实际参数，本题中将桌面圆弧上的点所在的曲线和桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线视为大致相同。问题三在第二问的基础上，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的要求，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，用matlab描述桌子的动态变化过程。 图1zxoy12310 图2二 模型假设1. 假设每条腿之间没有缝隙；2. 假设实际加工误差对设计没有影响；3. 假设桌腿顶端与桌面没有缝隙；4. 假设将动态过程表示成两部分时，第一部分变化时，桌子底端的桌腿的变化忽略不计。三 符号说明a:长方形木板的长； b：长方形木板的宽； c:长方形木板的厚度；d:每根木条的宽度； h：桌子折叠后的高度 ：桌腿与水平面的夹角； : 的补角; ：木条动态变化过程中第一部分由初始状态变为稳定状态的的过程中桌腿变化的角度； :桌腿的长度; :桌子稳定放置时铰链到桌腿顶端的长度; ：木条的开槽长度； （i=1,2,3，.10）四 模型的建立与求解问题一：1. 模型准备：（1）由题目已知，长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，假设每根木条顶端的中点均在桌面所在圆上，根据木条的宽度，可以得出圆桌两边的木条根数分别为=20根，可以看出桌子每边的木条都是对称的，且运动过程可以看做是对称的，因此本文计算出桌子一侧10根木条设计参数来描述桌子的动态变化过程，用公式（1）可以计算出木条的长度，计算结果如表1。= （i=1,2,3.10） （1）表1：木条编号i12345678910长度m（cm）52.1946.8843.464139.1237.6736.5835.7935.2835.03（注：在计算出第一根木条长度的基础上，我们利用直角三角形斜边长度大于直角边的性质得出最外侧木条长度大于桌子的高度（不包括桌面厚度时），由此证明我们利用每根木条顶端的中点在桌面所在的圆上的方法是可取的，由此我们进行了下一步计算）。（2） 计算桌腿与水平面的角度 sin=50/52.19=0.958； =（arcsin0.958）*（/）=106.62度 如图1所示，将与看做互补的角，记=，=，=，则=-（i=2,3,.10） （2）=（i=2,3，.,10） （3）=26.095;利用余弦定理计算： （4）利用正弦定理计算：= （5）利用公式（2）得出表2结果如下：i2345678910/(cm)5.313.332.461.811.450.090.790.510.22 结合公式（3）（4）得出表3结果如下：i12345678910/(cm)/26.09525.1325.0925.07525.0625.06725.06425.05225.057/(cm)26.09525.1325.0925.07525.0625.06725.06425.05225.05725.054利用公式（5）得出表4结果如下：i123456789100.9580.9970.99850.99910.99970.99940.999510.99980.9999106.6294.43593.13992.43191.40491.98591.18129088.85489.19 2.模型建立及求解： (1)动态过程描述 如图2所示建立的空间直角坐标系，此时木板所处的位置为初始位置,记录此时木条1,2的顶端中点的坐标,分别为(23.25cm,0,120cm)，（21.25cm，0,120cm），由模型准备中计算出的的参数,写出第一部分动态过程结束后即图3所示木条1,2的顶端中点的坐标,分别为（23.75cm,49.998cm,82.7764cm），（21.25cm,46,7394cm,76,7486cm），而木条1,2的角度的变化分为分别为（0，73.38）,（0，85.565）；在描述动态变化的过程时，本文通过假设木条不同时刻角度的变化进一步写出木条顶端中点的坐标，见附录1中的表5表14： 将表5表14表示的点用附录2的matlab画出散点图如下图5图15，通过matlab编程进行二次和三次的拟合（分别为图4图5中的红线和蓝线表示的曲线），通过拟合可以看出，三次的拟合效果较好（表5表14上的点基本位于三次拟合的曲线上），得出如下的关系式：第一条 木条：z（y）=-0.0004y3+0.0091y2-0.2506y+120.5071 （6）第二条 第二条木条：z（y）=-0.0008y3+0.0327y2-0.5865y+121.2163 （7）第三条木条：z（y）=-0.0010y3+0.0362y2-0.5997y+121.1561 (8)第四条 木条：z（y）=-0.0011y3+0.0397y2-0.06179y+121.1277 (9)第五条 木条：z（y）=-0.0013y3+0.0416y2-0.6179y+121.0760 (10)第六条 木条：z(y)=-0.0014y3+0.0432y2-0.6179y+121.0361 (11)第七条 木条：z(y)=-0.0014y3+0.0045y2-0.6179y+121.0062 (12)第八条 木条：z(y)= -0.0016y3+0.0496y2-0.6648y+121.0677 (13)第九条 木条：z（y）=-0.0018y3+0.0568y2-0.7382y+121.1798 (14)第十条木条：z(y)=-0.0018 y3+ 0.0579y2-0.7469 y+121.1865 (15)由公式（6）（15）可以描述第一部分桌子的动态变化过程。描述第二部分的动态变化过程，本文通过描述图2上点D的变化轨迹来描述第二部分圆形桌面的的动态变化过程，已知点E在上端桌腿变化和圆形桌面变化时始终是固定，由此建立极坐标方程描述点D的变化过程：（2）加工参数计算 木条长度m，桌子平稳放置时木条与水平桌面的夹角在模型准备时均已求出，如表1，表4所示；木条开槽长度n的计算由下面公式（16）给出： =() （i=2,3,4，.） (16)结果如表7所示：i2345678910/(cm) 4.3457.72510.1712.03513.49214.57915.35715.87216.569 描述桌角边缘线时，记录动态过程第一部分结束时木条底端中点的坐标，即记录10个点的坐标，用附录3中的matlab程序画出点的位置，如图16所示，进一步通过三维曲线拟合得出桌角边缘线的数学方程如公式（17），用matlab描点拟合如图15：z=0.03308*x2-2.203*y+162.4 （17）（桌角边缘线的曲线拟合，由matlab描点我们大致假设桌角边缘线为抛物线，由matlab计算出a，b，c的值，得出拟合曲线）。zy0(x)zy0(x)图3 图4图5图6图7图8图9图10图11图12图13图14 图15问题二1.模型准备设木板的长宽高依次为a,b,c,圆的半径为（=40cm），桌面的高度为（=70cm），桌腿的宽度为w（w=2.5cm）,最外侧桌腿长为t,钢筋的位置距离最外边腿的下边沿为g,具体表示如图16，约束条件考虑如下：（问题二中的符号说明另作解释，与问题一无关）要求最外侧腿长大于桌面的高度：则有，腿长桌腿的条数为：为了讨论方便，我们不妨假设圆的直径和木板的宽相等：t-ggLm根据第一问的参数计算，利用附件4中的Matlab程序进行曲线拟合，由图看出，可以将桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点连成的曲线与桌面圆弧曲率近似，（点的坐标均是在同一个坐标系下求得）如图17,图19所示：（图17表示桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线，图18为桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的三次曲线，图19为桌面圆弧上的点做出的曲线）t-ggLm 图16图17图18图19由图17和图18比较可知，图17更能准确的表示点的拟合，而图17和图19描述的点的变化更为接近，因此本文用桌面圆弧上的点所在的曲线和桌子未展开时的每根桌腿的槽的下边缘中点拟合的二次曲线视为大致相同。最中间木条的定点到圆心的距离： （18）最边中间一半的长度是 （19）最外侧腿长t= （20）为了表示出中间的腿和桌面的夹角的范围，即，列出其余弦值：l1 L t-g （21） （22） 要保证公式（22）大于0；将公式（18）（22）化简得： l1（tg）。 （23）由公式（23）我们可以假设（tg）的值与最外侧木条长度t的比值，且保证t70cm。由此条件可以求出假设情况下的参数值，对比进一步得出比较优化的模型。根据问题一中的公式可以计算出 l1=39.98cm，根据化简得出的式（23），我们对（tg）的值进行假设，同时假设铰链的位置即（tg）/t的值，从而计算出最外侧桌腿的长度，由此计算出木板的长度，通过多组假设，计算相关设计参数，通过对比，得出最优的设计参数。 例如，假设tg=39cm，且（tg）/t=1/3，则桌腿的长度为t=117，木板的长度为2*（117+）=253.84cm，最外侧桌腿与水平桌面的夹角为36.75度。根据已有参数即可求出设计参数。依次类推，在不改变（tg）/t的值得基础上，改变（tg）的长度，使t=67,即最外侧桌腿的长度要大于桌子的高度，在此范围内求出每个长度下的设计参数，并进行比较；同时，可以改变（tg）/t的值，不改变（tg）的长度的基础上求出合适的（tg）/t的值，来确定钢筋的位置。将所求参数的合理性规定在一个适合的范围，从而通过对比求出最优的设计参数。问题三由第二问的数学模型及其详尽的表达式可以得出第三问的大致范围。我们将第二问的表达式进行整理如下：（指标参数的字母表示与第二问相同）最中间木条的定点到圆心的距离： （24）最边中间一半的长度是： （25）最外侧腿长t= （26） （27） （28） 最终得出： l1（tg） （29） 由公式（29）我们可以假设（tg）的值与最外侧木条长度t的比值，且保证t70cm。由此条件可以求出假设情况下的参数值，对比进一步得出比较优化的模型。 由以上的数学模型及根据顾客的需求，再改变要求计算的的设计参数，这样可以得到理想的桌子模型，但由于该问的动态变化图由于没有计算出来，因此用问题一的已知的数据画出了桌子稳定时的状态，数据及程序见附录5，结果如图20：图20五 模型结果的分析对于问题一的求解，描述动态过程时将变化过程看做两部分进行分析，通过拟合出点的曲线来描述两部分的动态变化过程 ；问题二中，先通过所列出的表达式进行化简，从而来进一步的通过假设来表示角的变化，通过不同假设情况的对比进一步得出最优设计加工参数；问题三，是在问题二的基础上进行改进，将已知参数用字母表示，改进问题二中的条件约束，设定设计参数，从而根据顾客的需求来变化，求出设计参数。六 模型的推广与改进方向问题一和问题二中均运用了假设来计算，运算量较大，不具有普适性，可以通过假设变化的规律来找出其变化的相关规律，并且可以用函数式或者程序表示出来，简化计算过程，是模型得到更广泛的应用。而问题三是在问题二的基础上进行的改进，同样会遇到上述问题，因此模型的改进方向可以朝着简化计算过程的方向以及找出规律性变化的方向改进。七 模型的优缺点本文通过已知参数，在自己理解的基础上对题目中的问题进行了详细的求解，准确描述了题目中所求的参数值，在计算数据方面，过程较为复杂，应找出数据变化的规律利用所求变化规律进行求解，更为方便。八 参考文献【1】全国大学生数学建模竞赛组委会2014年 高教社杯全国大学生 数学建模竞赛（CUMCM）题目 B 题EB/OL（2014-09-12） 【2】张志涌，杨祖樱，Matlab教程R2012a，北京，北京航空航天大学出版社，2010年九 附录附录1表5：木条1顶端中点的坐标：木条长度m/(cm)角度坐标x/（cm）坐标y/(cm)坐标z/(cm)52.19023.75012052.19523.754.54053119.80252.191023.759.08106119.203952.191523.7513.51721118.219152.192023.7517.84898116.852952.192523.7522.07637115.100952.193023.7526.095113.007952.193523.7529.95706110.546152.194023.7533.55817107.780652.194523.7536.89833104.719552.195023.7539.97754101.359852.195523.7542.7436197.7562852.196023.7545.1965493.907352.196523.7547.2841489.9008652.197023.7549.058685.6158952.1973.3823.7549.9980282.77643 表6：木条2的顶端中点的坐标：长度l角度a坐标x坐标y坐标z46.88021.25012046.88521.254.07856119.822246.881021.258.15712119.284946.881521.2512.14192118.400346.882021.2516.03296117.173146.882521.2519.83024115.599446.883021.2523.44113.719346.883521.2526.90912111.507946.884021.2530.14384109.023846.884521.2533.14416106.274246.885021.2535.91008103.256446.885521.2538.39472100.019446.886021.2540.5980896.5620646.886521.2542.4732892.9632646.887021.2544.067289.1142646.887521.2545.2860885.2404546.888021.2546.176881.2093546.888521.2546.6924877.3088846.8885.56521.2546.7393676.74858表7：木条3的顶端中点的坐标长度(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z43.46018.75012043.46518.753.78102119.835213243.461018.757.56204119.337046143.461518.7511.25614118.517028443.462018.7514.86332117.379359943.462518.7518.38358115.92039643.463018.7521.73114.17746443.463518.7524.94604112.127451343.464018.7527.94478109.82454443.464518.7530.72622107.275500743.465018.7533.29036104.477851243.465518.7535.59374101.477066243.466018.7537.6363698.2719121643.466518.7539.3747694.9356482643.467018.7540.852491.3674412643.467518.7541.9823687.776238243.468018.7542.808184.0392115843.468518.7543.2861680.4232914543.4686.86118.7543.3730879.28727707表8：木条4的顶端中点的坐标长度4(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z41016.25012041516.253.567119.8445408411016.257.134119.3745718411516.2510.619118.6009702412016.2514.022117.527698412516.2517.343116.1513169413016.2520.5114.5070416413516.2523.534112.5730672414016.2526.363110.4005132414516.2528.987107.9957554415016.2531.404105.3564634415516.2533.579102.5255342416016.2535.50699.50180392416516.2537.14696.35438515417016.2538.5492.98815213417516.2539.60689.60022471418016.2540.38586.07472791418516.2540.83682.66348254187.56916.2540.95980.83311729表9：木条5的顶端中点的坐标长度5(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z39.12013.75012039.12513.753.40344119.851669139.121013.756.80688119.403249939.121513.7510.13208118.665120839.122013.7513.37904117.641062139.122513.7516.54776116.327793139.123013.7519.56114.758913839.123513.7522.45488112.913619339.124013.7525.15416110.840684839.124513.7527.65784108.546193939.125013.7529.96592106.027923139.125513.7532.03928103.326802439.126013.7533.87792100.441721239.126513.7535.4427297.438623139.127013.7536.772894.2267441839.127513.7537.7899290.9941656339.128013.7538.533287.6303257539.128513.7538.9635284.3754984239.1288.59613.7539.0808882.62906216表10：木条6的顶端中点的坐标长度6(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z37.67011.25012037.67511.253.27729119.857167137.671011.256.55458119.425368737.671511.259.75653118.714598737.672011.2512.88314117.728497237.672511.2515.93441116.463905137.673011.2518.835114.95317737.673511.2521.62258113.176279137.674011.2524.22181111.180178937.674511.2526.63269108.970734337.675011.2528.85522106.545804337.675511.2530.85173103.944801837.676011.2532.62222101.166657437.676511.2534.1290298.2748704637.677011.2535.409895.1820412437.677511.2536.3892292.0692796337.678011.2537.1049588.8301219637.678511.2537.5193285.6959362337.6788.01511.2537.6323384.0142324表11:木条7的顶端中点的坐标长度7(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z36.5808.75012036.5858.753.18246119.861336.58108.756.36492119.44199636.58158.759.47422118.751792436.58208.7512.51036117.794224236.58258.7515.47334116.566223836.58308.7518.29115.099209336.58358.7520.99692113.373726836.58408.7523.52094111.435384736.58458.7525.86206109.289871536.58508.7528.02028106.935108136.58558.7529.95902104.409366836.58608.7531.67828101.711609436.58658.7533.1414898.9034977836.58708.7534.385295.900161136.58758.7535.3362892.8774687836.58808.7536.031389.7320377336.58858.7536.4336886.6885412136.5888.1888.7536.5434285.0554983表12：木条8的顶端中点的坐标长度8(cm)角度a(度)坐标x坐标y坐标z35.7906.25012035.7956.253.11373119.864295535.79106.256.22746119.454046935.79156.259.26961118.778749335.79206.2512.24018117.841861335.79256.2515.13917116.640381335.79306.2517.895115.205049235.79356.2520.54346113.516831135.79406.2523.01297111.620350435.79456.2525.30353109.521172835.79506.2527.41514107.21726435.79556.2529.31201104.7460735.79606.2530.99414102.106574735.79656.2532.4257499.359108435.79706.2533.642696.4206332935.79756.2534.5731493.4632205535.79806.2535.2531590.385719835.79856.2535.6468487.4079521635.79906.2535.79