2009江苏省数学竞赛初赛试题原题详解.doc

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空题(每小题7分，共70分)
1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．
2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．
3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．
4．已知＝，则实数x＝ ．
5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．
6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．
7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．
8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．
9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．
10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．
二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)
11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．
12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．

13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．
14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空题(每小题7分，共70分)
1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ．
填0．
解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πÞα＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．
∴ cos(α＋β)＝0．
2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．
填11．
解：设公差为d，则得
55＝－5×11＋×11×10dÞ55d＝110Þd＝2．
ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)Þk＝11．
3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ．
填．
解：由(2b)2＝2c×2aÞa2－c2＝acÞe2＋e－1＝0Þe＝．
4．已知＝，则实数x＝ ．
填1．
解：即＝Þ32x－4×3x＋3＝0Þ3x＝1(舍去)，3x＝3Þx＝1．
5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．
填．
解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．
VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；
又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，
VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．
又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：
在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．
在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．
∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．
6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ．
填[3，4]．
解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范围为[3，4]．
7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．
填78000．
解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则
xy＝300，
V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)
≥30(1200＋2＋300)＝30(1500＋1200)

＝30×2700．
∴ 至少可以存水78000cm3．
8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ．
填－．
解：设||＝||＝||＝R．则
·＝(＋)·＝·＋·＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B
＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．
9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ．
填2008＋．
解：若an＋1≠0，则an＝2－，故a2008＝2－，a2007＝2－＝－，a2006＝2＋，a2005＝．
一般的，若an≠0，1，2，则an＝2－，则an－1＝，an－2＝，an－3＝an＋1，故an－4＝an．
于是，an＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋．
10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ．
填0，，－1．
解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．
于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)Þa2－2a－2＜0Þ0≤a＜1＋Þa＝0，1，2．
a＝0时，b＝0；
a＝1时，2b2＋2b－1＝0Þb＝；
a＝2时，b2＋2b－2＝0Þb＝－1．
说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]2＝2{x}x．
二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)
11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积．
解：取方程组代入得，25y2－64y＋28＝0．
此方程的解为y＝2，y＝．
即得B(0，2)，A(－，)，又左焦点F1(－，0)．
连OA把四边形AFOB分成两个三角形．
得，S＝×2×＋××＝(72＋7)．
也可以这样计算面积：
直线与x轴交于点C(－4，0)．所求面积＝×4×2－×(4－)×＝(72＋7)．
也可以这样计算面积：
所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－)×＋(－)×0－0×0)＝(＋)＝(72＋7)．
12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
解：＝Þ△ACD∽△ABCÞ∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴ cosA＝＝＝＝．
∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9ÞBC＝21．
13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．
解法一：显然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)Þ(2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0对于x，y＞0恒成立．
令t＝＞0，则得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0对一切t＞0恒成立．
当2k2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．
此时当t＝时，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝．
当2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥时，不等式恒成立，且当x＝4y＞0时等号成立．
∴ k∈[，＋∞)．
解法二：显然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，则k2≥＝(1＋)．
令u＝4t＋1＞1，则t＝．只要求s(u)＝的最大值．
s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．
∴k2≥，即k≥时，不等式恒成立(当x＝4y＞0时等号成立)．
又：令s(t)＝，则s¢(t)＝＝，t＞0时有驻点t＝．且在0＜t＜时，s¢(t)＞0，在t＞时，s¢(t)＜0，即s(t)在t＝时取得最大值2，此时有k2≥(1＋s())＝．
解法三：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)．
即(＋)≤对一切正实数x，y成立．
当k＜时，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．
而当k≥时，由于对一切正实数x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．
∴ k∈[，＋∞)．
14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．
解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．
设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．
由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．
即2，3，13是满足题意的一组自然数．
⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．
这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．
故证．

2010年全国高中数学联赛
江苏赛区·初赛
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程的实数解为 ．
2．函数R的单调减区间是 .
3．在△中，已知，，则＝ .
4．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．
5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，
其中、、，则的取值范围为 ．
6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数
在区间上至少有 个零点.
（第7题）
7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 ．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中
镀金银的概率是 ．
9．在三棱锥中，已知，
，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ．
10．设复数列满足，，且．若对任意N* 都有，
则的值是 ．

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：的中点在椭圆上．
12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次
成等比数列．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求出所有的正整数，使得．
13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.
过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．
证明： (1) 点、、、共圆；
(2) 四边形是矩形．
14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

参考答案
1、 x＜0无解; 当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2、 与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z．
3、 ，得．
4、极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
5、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
6、f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的
一个零点恰为，k∈Z. 所以至少有50个零点.
7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．
8、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．
9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
10、由，
恒成立，即. 因为或，故，所以
．
11、解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 ＋y12＝1，＋y22＝1．
由，得 M(x1＋x2，y1＋y2)．
因为M是椭圆C上一点，所以
＋(y1＋y2)2＝1， …………………6分
即 (＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，
得 ()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故
＋y1y2＝0． …………………14分
又线段AB的中点的坐标为 (，)，
所以 ＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上． ………………20分
12、解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.
又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，
即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………6分
当n≤6时，an =n－4，
由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，an =2n-5.
故 an = …………………10分
(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立； …………………15分
当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，
7×2m-5≠23m-12，
所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
故所求 m= 1，或m=3． …………………20分
A
B
C
D
E
F
H
G
13、证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC，
∴ ∠BAF=∠BHF，
∴ 点 A、B、F、H共圆；
…………………8分
(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，
∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC，
又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC， …………………14分
由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，
∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆.
∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC，
∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分

14、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，
∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1. ………………5分
若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.
∵ x2+3y是完全平方数，
∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，
∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，
得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数 ．
2． 已知直线是圆的一条对称轴，则实数
.

3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．

4． 已知，则 ．

5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．

6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前
n项和等于 ．

7． 设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，
则 ．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值
是 ．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．

12．设．若时，，且在区间上的最大值为
1，求的最大值和最小值．

13．如图，P是内一点．
（1）若P是的内心，证明：；
（2）若且，证明：P是的内心．
A
B
C
P

14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数 ．
答案：－8
基础题，送分题，高考难度
2． 已知直线是圆的一条对称轴，则实数
.
答案：
基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
答案：
基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错
4． 已知，则 ．
答案：
计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度
5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
答案：
可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案
6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前
n项和等于 ．
答案：
高考难度级别，基础好的同学可以做出来
7． 设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
答案：(0,2)
这是一道高考题
8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，
则 ．
答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
答案：4
还是一道高考题
10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值
是 ．
答案：3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．
解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，
得
因为，所以
简单，很简单
12．设．若时，，且在区间上的最大值为
1，求的最大值和最小值．
解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，
故有，从而且．
若有实根，则，
在区间有即消去c，解出
即，这时，且．
若无实根，则，将代入解得．
综上．
所以，单调递减
故．
注重分类讨论
13．如图，P是内一点．
（1）若P是的内心，证明：；
（2）若且，证明：P是的内心．
A
B
C
P
证明：（1）

这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有
14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．
证明：设，其中p，q为互质的正整数，则．
设k为任意的正整数，构造，
则．
非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识
总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。
尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有分的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当时，函数的最大值为____________.
2、在中，已知则____________.
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为____________.
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为____________.
6、已知是正实数，的取值范围是____________.
7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________.
8、已知等差数列和等比数列满足：则____________.（）
9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有____________种.
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为____________.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在中，角对应的边分别为，证明：
（1）
（2）

12、已知为实数，,函数.若.
（1）求实数； （2）求函数的单调区间；
（3）若实数满足，求证：

13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.

14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）
1、当时，函数的最大值为__18___.
2、在中，已知则___4____.
3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________.
5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______.
6、已知是正实数，的取值范围是________.
7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________.
8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（）
9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在中，角对应的边分别为，证明：
（1）
（2）

12、已知为实数，,函数.若.
（1）求实数；
（2）求函数的单调区间；
（3）若实数满足，求证：

13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.

14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.