2009江苏省数学竞赛初赛试题原题详解.doc

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 2已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 4已知，则实数x 5如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 6设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 7右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 10设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC13若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 填0解：由于|sin|1，|cos|1，现sincos1，故sin1，cos1或sin1，cos1， 2k，2l或2k，2l2(kl)(k，lZ) cos()02已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 填11解：设公差为d，则得 555111110d55d110d2 ak554101552(k1)k113设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 填解：由(2b)22c2aa2c2ace2e10e4已知，则实数x 填1解：即32x43x303x1(舍去)，3x3x15如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 填解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高故其比值等于这两个三棱锥的体积比VAPQRVAPQDVAPCDVABCDVABCD；又，SBPQSBCDSBDQSCPQ(1)SBCDSBCD，VRBPQVRBCDVABCDVABCD A、B到平面PQR的距离的比14又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点由Menelaus定理知，1，而，故4在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点由Menelaus定理知，1，而4，1，故 A、B到平面PQR的距离的比146设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 填3，4解：定义域(0，4在定义域内f(x)单调增，且f(3)0故f(x)0的x的取值范围为3，47右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3填78000解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy300，V30(20x)(60y)30(120060x20yxy)30(12002300)30(15001200)302700 至少可以存水78000cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 填解：设|R则()R2cos(2C)R2cos2BR2(2sin2C2sin2B)(2RsinB)2(2RsinC)2(122132)9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 填2008解：若an10，则an2，故a20082，a20072，a20062，a2005一般的，若an0，1，2，则an2，则an1，an2，an3an1，故an4an于是，an502(a1a2a3a4)a2009502(a2005a2006a2007a2008)a2009200810设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 填0，1解：若a为负整数，则a20，2b(ab)0，不可能，故a0于是a22b(ab)2(a1)a22a200a1a0，1，2a0时，b0；a1时，2b22b10b；a2时，b22b20b1说明：本题也可以这样说：求实数x，使x22xx二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积解：取方程组代入得，25y264y280 此方程的解为y2，y即得B(0，2)，A(，)，又左焦点F1(，0)连OA把四边形AFOB分成两个三角形得，S2(727)也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(4，0)所求面积42(4)(727)也可以这样计算面积：所求面积(02000()2()0()()000)()(727)12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC解：ACDABCABCACDBCE CEBE12AEABBE16 cosA BC2AC2AB22ACABcosA14228221428729BC2113若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围解法一：显然k0()2k2(2xy)(2k21)x2(k21)y0对于x，y0恒成立令t0，则得f(t)(2k21)t22t(k21)0对一切t0恒成立当2k210时，不等式不能恒成立，故2k210此时当t时，f(t)取得最小值k21当2k210且2k230，即k时，不等式恒成立，且当x4y0时等号成立 k，)解法二：显然k0，故k2令t0，则k2(1)令u4t11，则t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k时，不等式恒成立(当x4y0时等号成立)又：令s(t)，则s(t)，t0时有驻点t且在0t时，s(t)0，在t时，s(t)0，即s(t)在t时取得最大值2，此时有k2(1s()解法三：由Cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()对一切正实数x，y成立当k时，取x，y1，有，而kk即不等式不能恒成立而当k时，由于对一切正实数x，y，都有k，故不等式恒成立 k，)14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论解：对于任意nN*，n20，1(mod 4)设a，b是两个不同的自然数，若a0(mod 4)或b0(mod 4)，或ab2(mod 4)，均有ab0(mod 4)，此时，ab102(mod 4)，故ab10不是完全平方数； 若ab1(mod 4)，或ab3(mod 4)，则ab1(mod 4)，此时ab103(mod 4)，故ab10不是完全平方数由此知，ab10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a2，b3，c13，则231042，2131062，3131072即2，3，13是满足题意的一组自然数 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数故证2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1方程的实数解为 2函数R的单调减区间是 .3在中，已知，则 .4函数在区间上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与的边有公共点，其中、，则的取值范围为 6设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. （第7题）7从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为 8圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 9在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 10设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11直角坐标系中，设、是椭圆上的三点若，证明：的中点在椭圆上12已知整数列满足，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列 (1) 求数列的通项公式； (2) 求出所有的正整数，使得13如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，垂足. 过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、 证明： (1) 点、共圆； (2) 四边形是矩形14求所有正整数，使得与都是完全平方数参考答案1、 x0无解; 当时，原方程变形为32x+3x6=0，解得3x=2，x=log322、 与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z 3、 ，得4、极小值4，端点函数值f(2)=0，f(0)=2，最小值4，最大值05、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B，106、f(2k-1)=0，kZ. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，kZ. 所以至少有50个零点. 7、不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以8、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 9、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 10、由，恒成立，即. 因为或，故，所以11、解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 y121，y221 由，得 M(x1x2，y1y2) 因为M是椭圆C上一点，所以 (y1y2)21， 6分 即 (y12)()2(y22)()2+2()()(y1y2)=1， 得 ()2()2+2()()(y1y2)1，故 y1y20 14分 又线段AB的中点的坐标为 (，)， 所以 2()2(y12)+(y22)+y1y21，从而线段AB的中点(，)在椭圆2y21上 20分 12、解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=1+2d，a6=1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 6分 当n6时，an =n4， 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n5时，an =2n-5. 故 an = 10分(2) 由（1）知，数列为：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 当m=1时等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 当m=3时等式成立，即 1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； 15分 当m5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=72m-5， 72m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3 20分ABCDEFHG13、证明：(1) 由HGCE，得BHF=BEC， 又同弧的圆周角 BAF=BEC， BAF=BHF， 点 A、B、F、H共圆； 8分 (2) 由(1)的结论，得 BHA=BFA， BEAD， BFAC， 又AD是圆的直径， CGAC， 14分 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，BFG =DAB =BCG， B、G、C、F共圆. BGC=AFB=900, BGGC， 所以四边形BFCG 是矩形 20分14、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数. x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 5分 若xy，则x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方数， x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+16k+16= (2k+4)2， y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11. 15分 若xy，同xy情形可求得 x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11) 20分2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1 复数 2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .3 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）4 已知，则 5 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 6 设数列an的前n项和为Sn若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 7 设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 8 设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值13如图，P是内一点（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心ABCP14已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1 复数 答案：8基础题，送分题，高考难度2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .答案：基础题，送分题，高考难度3 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）答案：基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4 已知，则 答案：计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6 设数列an的前n项和为Sn若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 答案：高考难度级别，基础好的同学可以做出来7 设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 答案：(0,2)这是一道高考题8 设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 答案：6这也是一道高考题9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 答案：4还是一道高考题10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围解：设公共点（cos，sin），代入抛物线方程，得因为，所以简单，很简单12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故注重分类讨论13如图，P是内一点（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心ABCP证明：（1）这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数证明：设，其中p，q为互质的正整数，则设k为任意的正整数，构造，则非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有分的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_.2、在中，已知则_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，,函数.若.（1）求实数； （2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_18_.2、在中，已知则_4_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_144_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_24_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，,函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.