专题-椭圆中的定点定值问题.doc

. 椭圆中的定点定值问题1已知椭圆C：（）的右焦点为F（1，0），且（，）在椭圆C上。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意知c=1由椭圆定义得，即 -3分 ，椭圆C方程为（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立。当直线l的斜率不存在时，A（1，），B（1，），由于（）（）=，所以， 下面证明时，恒成立。当直线l的斜率为0时，A（，0）B（，0）则（，0）（，0）=，符合题意。 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A，B，由x=ty+1及得有；，=， 综上所述：在x轴上存在点Q（，0）使得恒成立。2如图，中心在坐标原点，焦点分别在轴和轴上的椭圆，都过点，且椭圆与的离心率均为（）求椭圆与椭圆的标准方程；（）过点引两条斜率分别为的直线分别交，于点P，Q，当时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：（）；（）直线MP的方程为，联立椭圆方程得： ，消去y得，则，则点P的坐标为，同理可得点Q的坐标为：，又，则点Q为：，则直线PQ的方程为：，即,化简得，即当时，故直线PQ过定点3已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为（2）设直线AE方程为：，代入得，设E（xE，yE），F（xF，yF），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，所以，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得，所以直线EF的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为4已知椭圆E：+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点（）求椭圆E的标准方程；（）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点（i）求的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上解：（）由题意可得b=，e=，又a2b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（）（i）F（2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=2，可得P（2，），Q（2，），=4=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k26=0，x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）+2k2（）+4k2=，由k20，3k2+11，可得6，综上可得，的取值范围是6，；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为kOM=，直线OM：y=x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为3，则点N在一条定直线x=3上5椭圆C：+=1（ab0）（1）若椭圆C过点（3，0）和（2，）求椭圆C的方程；若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值解：（1）椭圆C：+=1（ab0）过点（3，0）和（2，），解得a=3，b=1，椭圆C的方程证明：由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx1，由，得P（，），用代k，得M（，），=，直线PM：y=，即y=，直线PM经过定点T（0，）解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由=1，得，=，令t=a25，t0，则=t+92+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为6已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由解：（1）由题设可知：右焦点到直线的距离为： ， 又，椭圆标准方程为（2）设则由得由得，当且仅当时取等号（3）设，则由，得，即因为点、在椭圆上，所以所以即，所以点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由椭圆的定义得，7已知椭圆的右焦点为F2（1，0），点在椭圆上（1）求椭圆方程；（2）点在圆上，M在第一象限，过M作圆的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由解：（1）右焦点为，左焦点为，点在椭圆上，所以椭圆方程为（2）设 ，连接OM，OP，由相切条件知，同理可求所以为定值8分别过椭圆E：=1（ab0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=k4，l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，椭圆E的方程为（2）焦点F1、F2坐标分别为（1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，=，同理k3+k4=，k1+k2=k3+k4，即（m1m2+2）（m2m1）=0，由题意知m1m2，m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（1，0）或（1，0）也满足，点P（x，y）点在椭圆上，存在点M，N其坐标分别为（0，1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值29如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，又点R在椭圆C上，所以，联立，解得所以所求圆R的方程为（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0同理，所以k1，k2是方程（x028）k22x0y0k+y028=0的两个不相等的实数根，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得所以，同理，得，由，所以=36（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36 （ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=3610已知椭圆C：，左焦点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）若直线：（）与椭圆交于不同的两点，（，不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解：（1）由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为 （2）由方程组 得， 整理得， 设，则， 由已知，即，又椭圆的右顶点为，所以， ， 即整理得， 解得或均满足当时，直线的方程为，过定点，与题意矛盾，舍去；当时，直线的方程为，过定点，故直线过定点，且定点的坐标为11已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点（）求椭圆的方程；（）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C，使得与圆C相交于不在坐标轴上的两点，记直线， 的斜率分别为，满足为定值，若存在，求出定圆的方程并求出的值，若不存在，请说明理由.解：（）由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆C上，所以，解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r0）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m由方程组得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2r2=0，则设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以，将m2=4k2+1代入上式，得要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值12已知椭圆，经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点，试问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由解：（1）根据题意当的斜率存在时，设，（舍）直线过定点(0,0)，当斜率不存在时也符合，即直线恒过定点(0,0)14已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切（1）求椭圆标准方程；（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由解：（1）由得，即 又以原点O为圆心，椭圆C的长轴长为半径的圆为且与直线相切，所以代入得c=2，所以所以椭圆C的标准方程为 （2）由得设，所以根据题意，假设轴上存在定点E（m，0），使得为定值则=要使上式为定值，即与k无关，得此时，所以在轴上存在定点E（，0）使得为定值，且定值为15已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆和椭圆（为常数）（1）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（2）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为，当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）设，则椭圆在点处的切线方程为令，令，所以又点在椭圆的第一象限上，所以，当且仅当所以当时，三角形的面积的最小值为（2）设，则椭圆在点处的切线为：又过点，所以，同理点也满足所以都在上，即直线的方程为，又在上，故原点到直线的距离为：，所以直线始终与圆相切16已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率（）求椭圆的方程；（）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。解：（）由题设可求得，又，则，所以椭圆的方程是（）若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，由，解得，由此可知所求点T如果存在，只能是事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得，设点的坐标为，则，因为，所以有，所以，即以为直径的圆恒定过点，综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件17已知直线l：yx，圆O：x2y24，椭圆E：1（ab0）的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆E交于P，Q两个不同点，且OPQ的面积SOPQ1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由解：（1）设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d，则l被圆O截得的弦长为2，所以b1，由题意得e，b1，a24，b21椭圆E的方程为1（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l1的方程为：ykxm则消去y得（14k2）x28kmx4m240x1x2，x1x2|PQ|x1x2|原点O到直线l1的距离d，则SOPQ|PQ|d1，2|m|14k2，令14k2n，2|m|n，n2m2，14k22m2N为PQ中点，xN，yN，14k22m2，xN，yN2y1 假设x轴上存在两定点A（s，0），B（t，0）（st），则直线NA的斜率k1，直线NB的斜率k2，k1k2当且仅当st0，st2时，k1k2，则s，t综上所述，存在两定点A（，0），B（，0），使得直线NA与NB的斜率之积为定值18在平角坐标系中，椭圆的离心率，且过点，椭圆的长轴的两端点为，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由解：（1），椭圆的方程为；设，的斜率分别为，则，由：知，由：知，的中点，以为直径的圆的方程为，令，即，解得或，存在定点，经过以为直径的圆19如图，在平面直角坐标系中，已知、分别是椭圆的左、右焦点，分别是椭圆的左、右顶点，为线段的中点，且（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点，连接，设直线、的斜率存在且分别为、试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1），化简得，点为线段的中点，从而，左焦点，故椭圆的方程为；（2）存在满足条件的常数，设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，从而，故点， 同理，点，三点共线，从而，从而，故，从而存在满足条件的常数，20如图，在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点xOy BPEA （1）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为，所以点到直线的距离， （2）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得综上所述，存在点，使得为定值221已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆C的方程；（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线与轴相交于定点解：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：4分由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为， 令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点22已知椭圆的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合（1）求椭圆的方程；（2）已知过定点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问在轴上是否存在一个定点使得始终平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）设椭圆的标准方程为椭圆的短轴长为4，又抛物线的焦点为，则所求椭圆方程为；（2）设代入椭圆方程整理得：，则假设存在定点使得平分，则要使得对于恒成立，则，故存在定点使得平分，坐标为23已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解：（1）由题意得，故椭圆的方程为（2）设，直线的方程为，由，由三点共线可知同理可得，所以10 / 10