资源描述
训练10 基本不等式及其应用
(参考时间：80分钟)
一、填空题
1．(2012·泰州期末)已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝________.
2．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．
3．若不等式x2－2ax－b2＋4≤0恰有一个解，则ab的最大值为________．
4．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________．
5．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km，则这批物资全部运送到灾区最少需________h.
6．(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
7．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．
8．已知实数x，s，t满足：8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．
9．若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是________．
10．(2012·苏北四市调研)已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2＋b2＋c2＝84，则实数b的取值范围是________．
二、解答题
11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数均为整数，若α，β∈(1,2)，且α，β是方程f(x)＝0两个不等的实数根，求最小正整数a的值．
12．某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．
(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；
(2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？
13．已知函数f(x)＝(x＞0)，
(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；
(2)若x＞0时，不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
14．(2012·南通、泰州、扬州调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD，DA和AB上的P2，P3，P4处．
(1)若P4与P0重合，求tan θ的值；
(2)若P4落在A，P0两点之间，且AP0＝2.设tan θ＝t，将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
参考答案
训练10 基本不等式及其应用
1．解析 由基本不等式得ab≤2＝＝2，t＞0，解得t＝2.
答案 2
2．解析 要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，主要(x＋2y)min＞m2＋2m，而x＞0，y＞0，x＋2y＝(x＋2y)·1＝(x＋2y)·＝4＋＋≥8，所以(x＋2y)min＝8，m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2.
答案 (－4,2)
3．解析 因为不等式x2－2ax－b2＋4≤0恰有一个解，所以抛物线与x轴相切，即(2a)2－4(－b2＋4)＝0，化简得a2＋b2＝4，所以ab≤＝2，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，取等号，即ab的最大值为2.
答案 2
4．解析 a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．
答案 4
5．解析 时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，则时间t＝＝＋≥2＝10，当且仅当v＝80时等号成立．
答案 10
6．解析 ∵≤a恒成立，∴a≥max，而＝≤＝(x＞0)，当且仅当x＝时，等号成立，∴a≥.
答案 a≥
7．解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 4
8．解析 由x＞－s和8x＋9t＝s得9x＋9t＝x＋s＞0，所以＝＝(x＋s)＋＝9(x＋t)＋≥6.
答案 6
9．解析 因为4x＋4y＝(2x)2＋(2y)2＝t2－2×2x×2y，所以t2－2×2x×2y＝2t，即2×2x×2y＝t2－2t，又0＜2×2x×2y≤22＝t2，所以0＜t2－2t≤t2，解不等式组得2＜t≤4.
答案 2＜t≤4
10．解析 因为三边长a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，a2＋b2＋c2＝84⇒a2＋c2＝84－b2，
所以2ac＝4b2－(84－b2)＝5b2－84，由基本不等式可得2ac≤a2＋c2，即5b2－84≤84－b2⇒b2≤28，又a，b，c为△ABC的三边长，所以b2＞(a－c)2＝84－b2－(5b2－84)＝168－6b2⇒b2＞24，所以24＜b2≤28，故实数b的取值范围是(2，2]．
答案 (2，2]
11．解 根据条件进行等价转化，再利用二次函数图象直观求解．因为α，β∈(1,2)，且α，β是方程f(x)＝0的两个不等的实数根，所以f(1)＞0，f(2)＞0，又二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数均为整数，且a＞0，所以f(1)≥1，f(2)≥1，当a最小时，必有f(1)＝1，f(2)＝1，即得代入Δ＝b2－4ac＞0中解得a＞4.又当a＝5时，满足题意，故最小正整数a的值为5.
12．解 (1)由g(n)＝，由已知得g(0)＝8，所以k＝8，
所以f(n)＝(100＋10n)－100n，(n∈N)．
(2)由f(n)＝(100＋10n)－100n
＝1 000－80＝1 000－80≤1 000－80×2＝520.
当且仅当＝，即n＝8时取等号．
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．
13．解 (1)f(x)＝＝x＋－a(x＞0)，
f(x)在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．
设0＜x1＜x2≤，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝.
因为0＜x1＜x2≤，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜2，
所以f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(0，]上为减函数．
同理可证，f(x)在[，＋∞)上为增函数．
(2)由f(x)≥x，有x＋－a≥x，
x＋－a≥0，因为x＞0，所以x＋≥2＝2(当且仅当x＝2时取等号)．
要使不等式f(x)≥x对x＞0恒成立，
只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．
所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
14．解 (1)设P0B＝x0，则P1B＝x0tan θ，P1C＝2－x0tan θ.
P2C＝＝＝－x0，P2D＝3＋x0－.
P3D＝(3＋x0)tan θ－2，P3A＝4－(3＋x0)tan θ，AP4＝－(3＋x0)．由于P4与P0重合，AP4＋P0B＝3，所以＝6，即tan θ＝.
(2)由(1)，可知AP4＝－4.因为P4落在A，P0两点之间，所以＜tan θ＜1，即＜t＜1.
S＝S四边形ABCD－S△P0BP1－S△P1CP2－S△P2DP3－S△P3AP4
＝6－tan θ－(2－tan θ)－·
(4tan θ－2)－(4－4tan θ)
＝32－＝32－.由于＜t＜1，
所以32－≤32－2＝32－4.故S的最大值为32－4.
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