江苏省常州市高三第一学期期末检测数学试卷.doc

江苏省常州市2018届高三第一学期期末检测
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．若集合，则集合 ▲ ．
（第5题）
结束
开始
输出

2．命题“”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．
3．若复数满足，则 ▲ ．
4．若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，
则该组样本数据的方差为 ▲ ．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ▲ ．
6．函数的定义域记作集合．随机地投掷一枚质地均匀的
正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数），记骰子
向上的点数为，则事件“”的概率为 ▲ ．
7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．
8．各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为 ▲ ．
9．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率的取值范围是 ▲ ．
1
-1
（第12题）
10．已知实数满足则的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数，其中．若过原点且斜率为
的直线与曲线相切，则的值为 ▲ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数
的图象与轴的交点满足，则 ▲ ．
13．在中，，为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为 ▲ ．
14．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知中，分别为三个内角的对边，．
（1）求角；
（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）
（第16题）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点是棱上异于P，C的一点．
（1）求证：；
（2）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：．

17．（本小题满分14分）
已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．点光源从M发出，小明在地面上的影子记作．
（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；
（2）若米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段走到，，且米．秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位：米），求的表达式与最小值．
（第17题）

18．（本小题满分16分）
x
y
（第18题）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点．已知，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求椭圆的标准方程．

19．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），．数列满足．
（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，（），使得，求的公比．

20．（本小题满分16分）
已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，设函数在上的极值点为，求证：．

数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（选修4—1）
A．选修4—1：几何证明选讲
在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值．

B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵不存在逆矩阵，求：
（1）实数a的值；（2）矩阵的特征向量．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．

D．选修4—5：不等式选讲
已知，求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：
若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则；
若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求的值；
（2）求随机变量的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）
记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为．
（1）求；
（2）若，对成立，求实数的值；
（3）对（2）中的实数，用数学归纳法证明：对任意且，都成立．
数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．2．真3．14．25．7 6．7．3
8．9．10．11．12．13．14．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由正弦定理得，中，，所以，所以，，，所以；
（2）因为，由正弦定理得，

所以，．
16．（1）证明：，，所以，记交于点，平行四边形对角线互相平分，则为的中点，又中，，所以，
又，，所以，又，所以；
（2）四边形是平行四边形，所以，又，，所以，
又，，所以，
又，所以．
17．解：（1）由题意，，，所以，
小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为；
（2）经过秒，小明走到了处，身影为，由（1）知，所以，
化简得，，当时，的最小值为，
答：，当（秒）时，的最小值为（米）．
18．解：（1）由题意，消去y得，解得，
所以，，，所以；
（2）由（1），右准线方程为，
直线的方程为，所以，
，，
所以，，所以，
椭圆的标准方程为．
19．解：（1）方法一：因为①，
所以②，
由②-①得，，
即，又，
则，即．
在中令得，，即．
综上，对任意，都有，
故数列是以2为公差的等差数列．
又，则．
方法二：因为，所以，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
因此，即．
当时，，又也符合上式，
故，
故对任意，都有，即数列是以2为公差的等差数列．
（2）令，则数列是递减数列，所以．
考察函数，因为，所以在上递增．因此，从而．
因为对任意的，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显．
若，当时，有，不符合题意，舍去；
若，当时，有，不符合题意，舍去；故．
20．解：（1）当时，，定义域为．
，令，得．

＋
0
－

↗
极大值
↘
∴当时，的极大值为，无极小值．
（2），由题意对恒成立．
∵，∴，
∴对恒成立．
∴对恒成立．
令，，则，
①若，即，则对恒成立，
∴在上单调递减，
则，∴，∴与矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴单调递增，
∴当时，，
∴．综上．
（3）当时，，．
令，，
则，令，得．
①当时，，∴单调递减，，
∴恒成立，∴单调递减，且，
②当时，，∴单调递增，
其中，
又，
∴存在唯一，使得，∴，
当时，，∴单调递增，
当时，，∴单调递减，且，
由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，
∴当时，取极大值．
∵，∴，
∴，
又，∴，∴．

数学Ⅱ（附加题）参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
解：记外接圆为圆O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以，
又，所以与相似，所以，所以
，．
B．选修4—2：矩阵与变换
（2），即，所以，解得
时，，，属于的一个特征向量为；
时，，，属于的一个特征向量为．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：曲线，直线，圆心到直线的距离为，所以弦长．

D．选修4—5：不等式选讲
证明：，不妨设，则，，由排序不等式得
，所以．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到，为等腰直角三角形．的可能取值为：，共种情况，其中：
时，有2种；时，有种；时，有种；
（1）；
（2），．
再根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：

0

根据上表，．
23．解：（1）．
（2），，，
则解得．
（3）①当时，由（2）知等式成立；
②假设时，等式成立，即；
当时，由
知，
所以，
又，等式也成立；
综上可得，对任意且，都有成立．