注重联系 乘势而上——2023年中考“函数”专题命题分析.pdf

上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南2023年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）是开始执行义务教育课程方案（2022年版）和义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准）的首次中考.综观2023年全国各地区中考近100份试卷，发现其中的“函数”试题的命制科学地设计了试题内容，通过创设真实、合理的问题情境，强化了运用变化与对应的观点研究函数的基本方法，在构建函数模型解决实际问题的过程中进一步体现了函数的思想内涵，很好地凸显了数学课程的育人价值.坚持素养立意、注重联系、融合发展是2023年中考“函数”试题命题的显著特征.为此，结合标准要求，从命题意图和命题导向两个角度，结合典型试题，对2023年全国各地区中考“函数”试题的命题特点进行分析，并提出复习教学建议.一、考查内容分析标准 中，“数与代数”领域的课程内容分为“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题.其中，“函数”主题包括函数的概念、一次函数、二次函数、反比例函数，主要研究变量之间的关系，探索简单实例中的变化规律.函数与方程、不等式有着密切的联系，借助函数可以进一步认识方程和不等式.依据标准，“函数”专题的学业质量标准主要包括如下几点：能从生活情境、数学情境中抽象概括出函数的概念和规则，掌握相关的运算求解方法，合理解释运算结果，形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力；能从具体的生活与科技情境中抽象出函数的数学表达形式，用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题，用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题，给出数学描述和解释，运用数学的语言与思想方法，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制订解决方案；能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的实际意义作出解释；能够知道解决问题方法的多样性，具备一定的应用意识和模型意识，初步会用数学语言表达与交流，感悟数学的价值；能够从问题解决的过程中获得数学活动经验，产生对数学的好奇心和求知注重联系乘势而上2023年中考“函数”专题命题分析刘金英（天津市教育科学研究院）摘要：2023年全国各地区中考“函数”试题注重了与现实世界的密切联系，突出了变化与对应的思想内涵，并进一步关注了代数推理在解决函数问题时所发挥的作用坚持素养立意、注重联系、融合发展是“函数”试题命题的显著特征，凸显育人价值、深化课程改革、乘势而上更是数学教学与评价的应有之义关键词：函数；命题分析；变化与对应；代数推理；育人价值中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）01-0032-08引用格式：刘金英.注重联系乘势而上：2023年中考“函数”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2024（1）：32-39.基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题基于发展学生核心素养的课程资源优化与整合研究（22ZS061405ZA）.作者简介：刘金英（1965），女，正高级教师，主要从事数学课程教学与评价研究 32上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南欲，增强学习数学的兴趣，建立学习数学的自信心；能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识.因此，2023年全国各地区中考“函数”专题的考查重点体现了函数的本质特征联系和变化，反映了数形结合是研究函数的重要方法，同时关注了代数推理在解决函数问题时所发挥的作用，并在此过程中凝练了抽象能力、推理能力、模型观念等素养，集中体现了立足学生数学核心素养发展的命题导向.调研的近100份试卷中，与“函数”专题内容相关的试题大多数占全卷总分值的19%左右，达到25%及以上的有吉林卷、辽宁沈阳卷和大连卷、湖北黄冈卷和鄂州卷等.题型方面，选择题、填空题和解答题都有涉及；题量方面，大多数设计为36道题目；难度方面，基础题、中档题、难题都有涉及.有众多试卷将函数内容设计为压轴题，如天津卷，省卷中的吉林卷、山西卷、安徽卷、江西卷、广东卷、云南卷、新疆生产建设兵团卷等，以及地方卷中的浙江金华卷，江苏扬州卷、苏州卷，湖北武汉卷、荆州卷、潜江卷、十堰卷、随州卷、宜昌卷，湖南怀化卷、衡阳卷、邵阳卷、岳阳卷、永州卷、株洲卷、张家界卷，四川巴中卷、广安卷、广元卷、乐山卷、凉山州卷、泸州卷、眉山卷、南充卷、内江卷、遂宁卷、宜宾卷，山东菏泽卷、济宁卷、聊城卷、烟台卷，黑龙江绥化卷、佳木斯卷、齐齐哈尔卷，等等.二、命题特点分析函数是一种具有普遍意义的数学模型，是刻画现实世界中数量关系和变化规律的重要模型.对函数的概念及其表达方式、图象特征、思想方法的运用，以及对抽象能力、推理能力、模型观念、应用意识等核心素养的主要表现及其内涵的理解水平和程度，均是函数“专题”命题时必须考虑的基本问题.1.命题意图分析函数概念的形成，必然依托于现实世界中的问题情境，反映实际问题情境中数量之间的对应关系.当这样的对应关系具有规律可循，可以用图象或者字母、符号语言表达时，便成为了一种函数关系.初中阶段主要学习的函数类型是一次函数、二次函数、反比例函数，运用这种函数关系构建模型去解决或解释现实世界中的问题，并从中凝练出数与形、静与动、联系与变化的思维方式加以运用.（1）依托现实世界，重在真实的情境.依托学生熟知的实际背景，在真实的情境中体会并运用变量之间的对应关系，是命制函数相关试题的基础，指向“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.例1（河南卷）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3 m，CA=2 m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y=a()x-12+3.2.图1OACBPy=a()x-12+3.2y=-0.4x+2.8xy（1）求点P的坐标和a的值.（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到点C的距离更近，试通过计算判断应选择哪种击球方式.答案：（1）点P的坐标为()0，2.8，a的值为-0.4；（2）要使球的落地点到点C的距离更近，应选择吊球的方式.考查目标：结合具体情境分析问题中的数量关系和变化规律，理解自变量、函数值的意义，理解用函数表达变量之间对应关系的实际意义.命题意图：此题设置了关于击球线路的分析，通过呈现羽毛球的飞行高度 y（m）与水平距离 x（m）33上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南之间的两种对应关系，结合它们之间对应的函数类型（一次函数、二次函数），得到关键点（点P）的坐标及确定的二次函数的关系式.再根据两种对应关系，回到实际情境之中，进而分析、判断变量的实际意义，体现了现实世界中运动变化的普遍性和规律性.命题评价：两种击球方式反映了羽毛球飞行运动变化的现象，这里是通过一次函数和二次函数进行了具体的刻画.不同的是，一次函数刻画的运动变化是“匀速”的，二次函数刻画的运动变化是“匀变速”的.此题的背景贴近学生生活实际，问题情境真实，对应关系清晰.通过对现实世界中数量关系的抽象，不仅可以对现实世界中的现象和规律进行解释，还可以运用数学的方法予以解决.类似地，陕西卷第22题设计了“树高 y（m）是其胸径 x（m）的一次函数”的情境，河北卷第23题设计了“沙包的运动路线为抛物线的一部分”的情境.（2）充满内在联系，突出变化与对应.函数的图象和性质是“函数”专题的核心内容.从数量关系和图形特征两个角度及其相互联系中，体会函数的本质特征联系和变化，是命制函数的图象和性质相关试题的关键环节，指向“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.基于对函数图象变化趋势的理解.例 2（山西卷）若点A()-3，a，B()-1，b，C()2，c都在反比例函数y=kx()k0的图象上，则a，b，c的大小关系用“”连接的结果为（）.（A）b a c（B）c b a（C）a b c（D）c a b答案：D.考查目标：了解反比例函数图象的整体特征，理解反比例函数变量间的变化规律.命题意图：与一次函数、二次函数不同，反比例函数是学生首次接触的不连续函数.反比例函数的性质可以借助画出其图象获得，观察图象上点的变化趋势，由点A，B在第二象限，点C在第四象限，结合点的横坐标之间、纵坐标之间对应的大小关系，即可得到结论.另外，根据反比例函数图象上点的横、纵坐标满足反比例关系，得a=-k3，b=-k，c=k2，由k0）.表2是它们的部分对应值.表2体积V/m3压强p/Pa0.81a1.2801.4b1.61.8c则a，b，c的大小关系为（）.（A）a b c（B）a c b（C）c b a（D）c a 0）的图象T与x轴相交于点A()-1，0和点B，与y轴相交于点C.（1）若点C的坐标为()0，-3，求二次函数的表达式；（2）若点E在图象T上，过点E作EF垂直于x轴，交直线BC于点F，当点F在线段BC上，且EF的最大值为34时，求二次函数的表达式.答案：（1）y=x2-2x-3；（2）y=13x2-23x-1.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2 史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程标准（2022年版）解读 M.北京：北京师范大学出版社，2022.3刘金英.初中数学教学与评价的研究 M.沈阳：辽宁教育出版社，2020.的取值是解题的关键.8.将7张相同的小矩形纸片（如图8所示），按如图9所示的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个矩形，面积分别为S1，S2，已知小矩形纸片的长为a、宽为b，且a b（1）当a=7，b=2，AD=30时，求矩形ABCD的面积.（2）当AD=30时，试用含a，b的式子表示S1-S2的值.（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小矩形纸片还按照同样的方式放在新的矩形ABCD内，而S1-S2的值总保持不变，则a，b满足的关系是_BACDS2S1ab图9图8答案：（1）450.（2）120b-ab-30a.（3）a=4b.【评析】此题考查了整式的混合运算、列代数式.熟练掌握运算法则是解题的关键.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2金雯雯，张宗余.关注数式通性加强代数推理提升运算能力：2022年中考“数与式”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2023（3）：14-23.3 章建跃.核心素养导向的初中数学教学变革：以“数与式”为例 J.中学数学教学参考（中旬），2023（1）：2-5，21.4张宗余.加强代数推理，寻找代数教学的理性回归：从四节“代数推理”展示课说起 J.中国数学教育（初中版），2022（11）：17-21.（上接第23页）39