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近五年高考数列试题的统计与分析 以2 0 1 82 0 2 0年全国卷和2 0 2 12 0 2 2年新高考卷为例骆仁轩 胡典顺(华中师范大学数学与统计学学院 4 3 0 0 7 9)1 问题提出数列是一类特殊的函数,是重要的数学研究对象,是研究其他函数的基本工具,在日常生活中也有 着 广 泛 的 应 用1.普 通 高 中 数 学 课 程 标准(2 0 1 7年版2 0 2 0年修订)(以下简称“2 0 1 7年课标”)将数列作为选择性必修中函数主题的一个单元,数列单元中蕴含着累加法、累乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等基本技能,很好地考查了学生的数学核心素养.数列一般概念的归纳、等差数列与一次函数以及等比数列与指数函数的联系,很好地体现了数学抽象素养;等差数列、等比数列性质的研究、递推公式的推导则是逻辑推理素养的重要体现;同时,等差数列、等比数列与实际问题联系紧密,要求学生有较高的数学建模与数学运算素养.近几年恰逢高考改革,新高考卷不仅整体的题型发生了变化,而且题目的难度也在不断变化.不少考生普遍反映2 0 2 2年的新高考卷较难,甚至有的考生认为数列解答题这种常规的“送分题”,也变成了“拦路虎”.实际上,新高考卷数列解答题并不困难,只是基本方法的灵活运用.可见如今的高考数列试题在注重基础性的同时,也注重了创新性.鉴于全国卷以及新高考卷使用地区较多,具有较强的代表性,且这两类卷子一起分析可以一定程度上反映高考改革的方向,因此本文以2 0 1 8-2 0 2 0年的全国、卷(理科)以及2 0 2 1-2 0 2 2年的新高考、卷为例对其数列试题的命题特点进行分析,有利于把握高考改革的特点,以更好地指导教学.2 研究方法本文采用定性和定量相结合的研究方法,从情境领域、知识考查、数学核心素养、综合难度四个维度对试题进行统计与分析,以便进一步体会数列试题的命题特点.2.1 情境领域对数列的研究源于现实生产、生活的需要2.教材上数列的例题往往来自一些现实情境,而一些 数 列 试 题 也 具 有 这 样 的 特 点.本 文 依 据2 0 1 7年课标中对于情境的维度划分(科学情境、数学情境、现实情境)3进行试题情境的统计与分析.2.2 知识考查对数列知识点的梳理有利于把握核心知识,明确考查要点.由于自2 0 2 0年起不再公布高考考试大 纲,本 文 基 于2 0 1 9年 高 考 考 试 大 纲 及2 0 1 7年课标对数列知识进行整理与归纳,将数列知识分为3个一级知识和1 4个二级知识,并对其进行编码,具体内容如表1所示.表1 数列知识考查编码一级知识二级知识A数列相关概念1.数列的定义2.数列的表示3.数列与函数的关系4.数列的前n项和公式B等差数列1.等差数列的定义2.等差数列的通项公式3.等差数列与一次函数的关系4.等差数列的前n项和公式5.等差数列的实际应用04数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期 教育部人文社会科学研究规划基金项目 中小学核心素养测评的模型建构与实证研究(1 9 Y J A 8 8 0 0 1 2);中央高校基本科研业务费项目 新高考分省市命题分学科质量评价指标体系研究(C C NUT E I 2 0 2 1-1 3).续表 一级知识二级知识C等比数列1.等比数列的定义2.等比数列的通项公式3.等比数列与指数函数的关系4.等比数列的前n项和公式5.等比数列的实际应用用字母表示一级知识,数字表示二级知识.如A2表示数列的表示,C4表示等比数列的前n项和公式.部分题目还涉及了其余内容领域的知识点,但由于题量较少,此处不再编码,而是直接在后续表格中列出.2.3 数学核心素养数列的“影子”在中学数学中多次出现:在用有理数逼近无理数中,在求圆的面积或球的体积中,在指数为无理数时的指数幂定义中1.可见数列中蕴含的核心素养应该较为丰富.本文基于2 0 1 7年课标中对于核心素养的维度划分(数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析)3进行试题的统计与分析.2.4 综合难度试题难度是2 0 2 2年高考的热点问题,值得探讨.本文参考武小鹏的综合难度模型4对所选高考卷的数列试题进行难度评估.由于原模型是用于测评整张试卷,此处对综合难度模型进行调整以分析某道数列试题的难度系数.基础知识和认知水平维度与武小鹏模型中的知识含量和认知水平维度的等级划分一致.情境因素、数学问题和核心素养的等级划分参考2 0 1 7年课标中对问题情境的划分、数学问题的划分和核心素养的水平划分,同一道试题多个核心素养的等级取平均值作为此题核心素养维度的总体等级,具体划分见表2.表2 难度因素等级划分难度因素等级1等级2等级3情境因素数学情境现实情境科学情境数学问题简单问题较复杂问题复杂问题基础知识单个知识单元两个知识单元三个及以上知识单元基本技能单个技能两个技能三个及以上技能认知水平理解运用分析核心素养水平1水平2水平3 参考廖艺捷5的计算公式,记第i个因素(共3个等级)的等级为ai,则该题的综合难度系数为d=6i=1ai36=6i=1ai1 8.根据这个公式,某道题的综合难度系数在0-1,且越接近1,说明题目越难.下面以2 0 2 2年新高考卷第1 7题为例进行说明.案例:记Sn为数列an 的前n项和,已知a1=1,Snan 是公差为13的等差数列.(1)求an 的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+1an2.参考答案:(1)S1=a1=1,则S1a1=1,所以Snan 是首项为1,公差为13的等差数列,于是Snan=1+(n-1)13=n+23,即Sn=n+23an.当n2时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,所 以(n-1)an=(n+1)an-1,即anan-1=n+1n-1(n2).由累乘法可得an=n(n+1)2(n2),又a1=1满足该式,所以得an 的通项公式为an=n(n+1)2.142 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报(2)1a1+1a2+1an=2112+123+1n(n+1)=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2-2n+10.0 5),这进一步说明了高考改革稳中有进的特点.4 教学启示(1)丰富教学情境,激发学生学习兴趣根据全国卷和新高考卷数列试题的对比可知,数列非解答题呈现情境多元化的趋势.数列解答题虽然仍是数学情境,但在高考改革的背景下,未来的高考试卷有可能出现生活情境或科学情境的数列解答题,且2 0 1 7年课标也指出要强调数学与生活以及其他学科的联系3,因此教师在日常教学中创设丰富的教学情境十分有必要.数列作为一类特殊函数,在生活中有着广泛的应用.在数列教学中有着丰富的素材创设教学情境,既可以挖掘我国古代优秀的数列研究成果,如“杨辉三角”、四元玉鉴 等3,也可以挖掘现实中熟悉的素材,如奥运会的举办年份、各种产品尺寸的划分等;既可以以数学学科本身为情境,如与不等式、导数等结合,也可以与其他学科融合来创设情境,如细胞的分裂、天体的运行周期等.同时,创设的情境应该贴近学生的生活或者激发学生的兴趣,542 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报这样的情境才能进一步激发学生的学习兴趣.(2)灵活运用知识,增强知识本质理解苏霍姆林斯基认为学生到了中年级和高年级时,不要再让单调的运算塞满他们的头脑,而应当把尽可能多的智慧精力用到创造性劳动上去7.新高考数列试题相较全国卷更注重基础知识和基本技能的灵活运用.例如2 0 2 1年新高考卷第1 2题要求学生逆向使用等比数列前n项和公式,将2n-1转化为20+21+22+2n-1的形式;2 0 2 2年新高考卷第1 7题有一个步骤需要学生将(n-1)an=(n+1)an-1转 化 为anan-1=n+1n-1(n2)的形式,进而使用累乘法求出an的通项公式.如果对知识的理解不够深刻,一味地死记硬背,那么看到2n-1和(n-1)an=(n+1)an-1这样的式子便会束手无策.这要求教师在教学过程中注重基础知识的变式教学,教会学生灵活运用所学知识,提高学生对知识本质的理解,真正达到“双减”提质增效的要求.(3)培养理性思维,发展学生核心素养数学 育 人 的 基 本 途 径 是 对 学 生 进 行 系 统的(逻辑)思维训练,而训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算,要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确性和算法的有效性上有要求1.从近五年全国卷和新高考卷对数列试题核心素养的考查来看,逻辑推理和数学运算是重中之重,其中新高考卷尤其注重逻辑推理素养的考查,考查水平较高.例如2 0 2 1年新高考卷第1 6题,要求学生从对折一次、两次、三次等得出的图形面积之和推理出对折n次所得图形面积之和,体现了从特殊到一般的逻辑推理素养.教师在日常教学中应该注重对学生逻辑推理素养的培养,例如可以在等差数列通项公式教学中写出某个数列前几项,进而提问学生第一百项甚至第一千项是多少,引发学生思考如何推导等差数列通项公式.对于学生逻辑推理素养的培养,是扩展学生理性思维的过程,对学生其他核心素养的形成也有重要的意义.(4)提高专业水平,挖掘数学育人价值2 0 2 2年高考刚结束就有学生抱怨题目(新高考卷)太难,时间不够,数列题都没做出来等.学生这样的言论固然有学生自身以及试卷整体难度的原因,究其本质可能是部分教师对数学教学理解不到位,导致机械式刷题成为数学课堂的主旋律,以致于学生不能在考试中灵活运用所学知识.题海式的教学不仅磨灭了学生对数学的热情,也与“双减”的要求背道而驰.教师应该减少机械式刷题教学,鼓励学生灵活变通,以达到教一题通百题的教学效果,真正落实“双减”政策.教师应该努力提升自身素质,加强对数学教学的理解,注重对学生必备知识的传授以及关键能力的提升,并且能够引导学生通过数学学习中遇到的各类情境树立正确的数学学习观和人生价值观,让学生爱上数学.在倡导终身学习的时代背景下,教师也应该从教会学生知识,过渡到教会学生学习,从而水到渠成地提升学生的数学核心素养.参考文献1 章建跃,李 增沪主编.普通高中教科 书教 师 教 学 用 书 数学(选择性必修)第二册(A版)M.北京:人民教育出版社,2 0 1 9:4,1 22 章建跃,李增沪主编.普通高中教科书数学(选择性必修)第二册(A版)M.北京:人民教育出版社,2 0 1 9:13 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版2 0 2 0年修订)M.北京:人民教育出版社,2 0 2 0:2,4,4 0,8 14 武小鹏,孔企平.基于AH P理论的数学高考试题综合难度模型构建与应用J.数学教育学报,2 0 2 0,2 9(0 2):2 9-3 45 廖艺捷,朱展霖,胡典顺.近五年高考概率与统计试题的统计与分析 以 全 国卷(理 科)为 例 J.数 学 通 报,2 0 2 1,6 0(0 2):5 6-6 26 中华人民共和国教育部.教育部关于做好2 0 2 0年普通高校招生工作的通知E B/O L.(2 0 2 0-0 1-0 2)2 0 2 2-0 7-1 0.h t t p:/w w w.m o e.g o v.c n/s r c s i t e/A 1 5/m o e_7 7 6/s 3 2 5 8/2 0 2 0 0 1/t 2 0 2 0 0 1 0 9_4 1 4 8 0 8.h t m l7 瓦阿苏霍姆林斯基.给教师的建议M.杜殿坤,译.北京:教育科学出版社,1 9 8 4:1 564数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期