实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

试验一试验一计算复变函数极限、微分、积分、计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式留数、泰勒级数展开式（一）（一）试验类型：验证性试验类型：验证性（二）（二）试验类别：基础试验试验类别：基础试验（三）（三）试验课时数：试验课时数：2课时课时第1页1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点留数求复变函数在孤立奇点留数5、MATLAB求复变函数泰勒级数展开式求复变函数泰勒级数展开式MATLAB实现内容实现内容第2页1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限用函数用函数limit求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=;limit(f,z,z0)返回极限结果返回极限结果例例1求求在在z=0极限极限 解解syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans=1MATLAB基本命令基本命令第3页.例例2 设设 求.解解【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)第4页2、MATLAB求复变函数微分求复变函数微分用函数用函数diff求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】syms z f=（）;diff(f,z)返回微分结果返回微分结果例例3设设解解symszf=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f)ans=exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z)第5页3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分(1)用函数用函数int求解非闭合路径积分求解非闭合路径积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b)返回积分结果返回积分结果例例 4 求积分解解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：结果为：x1=-1/3*ix1=-1/3*ix2=-i/exp(i)x2=-i/exp(i)第6页(2)用函数用函数int求解闭合路径积分求解闭合路径积分.例例5 计算积分值值解解【Matlab源程序】源程序】symstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为结果为inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出若只输出6位有效数值位有效数值，使用语句，使用语句vpa(inc,6)结果为结果为ans=.238258e-5+.313254e-4*i第7页4、MATLAB求复变函数在孤立奇点留数求复变函数在孤立奇点留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列都是按降幂排列多项式多项式用函数用函数residue求求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点留数在孤立奇点留数【Matlab源程序】源程序】R,P,K=residue(B,A)返回留数，极点返回留数，极点说明：向量说明：向量B为为f(z)分子系数；分子系数；向量向量A为为f(z)分母系数；分母系数；向量向量R为留数；为留数；向量向量P为极点位置；为极点位置；向量向量k为直接项为直接项:第8页解解 R,P,K=R,P,K=residueresidue(1,0,1,1,1)结果为：结果为：R=2R=2P=-1P=-1K=1 -1K=1 -1例例6 求函数在奇点处留数在奇点处留数例例7 计算积分值值，其中其中C C是正向是正向圆圆周周解解先求被积函数留数 R,P,K=residue(1,0,1,0,0,0,-1)结果为：结果为：第9页R=0.25000.2500-0.2500+0.0000i-0.2500-0.0000iP=-1.00001.00000.0000+1.0000i0.0000-1.0000iK=可可见见在在圆圆周周内有四个极点内有四个极点,所以所以积积分分值值等于等于S=2*pi*i*sum(R)S=2*pi*i*sum(R)结果为结果为S=0S=0故原故原积积分分第10页（2 2）假如已知函数奇点）假如已知函数奇点z0z0重数重数为为m,m,则则可用下面可用下面MATLABMATLAB语语句求出句求出对应对应留数留数R=limit(F*(z-z0),z,z0)%R=limit(F*(z-z0),z,z0)%单单奇点奇点R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)R=limit(diff(F*(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)%m/prod(1:m-1);z,z0)%m重奇点重奇点例例8 求函数在孤立奇点处留数在孤立奇点处留数第11页解解 分析原函数可知分析原函数可知：是三重奇点，是三重奇点，symszf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：结果为：R=-1/4*3(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)ans=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB语句分别求出这两个奇点留数语句分别求出这两个奇点留数是单奇点，所以能够直接使是单奇点，所以能够直接使 用下面用下面第12页5、MATLAB求复变函数泰勒级数展开式求复变函数泰勒级数展开式（1）用函数）用函数taylor求求f(z)泰勒级数展开式泰勒级数展开式【Matlab源程序】源程序】symszf=Taylor(f,z0)返回返回f(z)在点在点z0泰勒级数展开式泰勒级数展开式例例9求函数求函数f=1/(z-b)在点在点z=a泰勒级数展开式前泰勒级数展开式前4项项symszab;f=1/(z-b);taylor(f,z,a,4)ans=1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2-1/(a-b)4*(z-a)3第13页（2）求二元函数）求二元函数z=f(x,y)在点（在点（x0,y0）泰勒级数）泰勒级数展开式展开式.【Matlab源程序】源程序】symsxy;f=();F=maple(mtaylor,f,x,y,m)返回在返回在(0,0)点处点处泰勒级数展开式前泰勒级数展开式前m项项.F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m)返回在返回在(x0,y0)点处泰勒级数展开式前点处泰勒级数展开式前m项项.F=maple(mtaylor,f,x=a,m)返回对单变量返回对单变量在在x=a处泰勒级数展开式前处泰勒级数展开式前m项项.第14页 例例10 求函数求函数在原点在原点(0(0，0)0)，以及（，以及（1 1，a a）点）点处处TaylorTaylor展式展式【Matlab源程序】源程序】symsxy;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);maple(mtaylor,f,x,y,4)在在(0,0)点处泰勒级数展开式：点处泰勒级数展开式：ans=-2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x 第15页maple(mtaylor,f,x=a,2)在在x=a处泰勒级数展开式：处泰勒级数展开式：ans=(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2)在在(1,a)点处泰勒级数展开式：点处泰勒级数展开式：ans=-exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)第16页书本上例题每一类型各选一题，写出试验汇报书本上例题每一类型各选一题，写出试验汇报作业：作业：P51:习题二，习题二，2.1，2.3P76:习题三，习题三，3.8（1），（），（2）。）。3.11（2）P91:例例4.8（前（前4项），例项），例4.9（前（前4项）。项）。P132:5.2P132:5.7（2），），5.8（2）。）。第17页