不动点子群及GL_n(F)上_的自同构类型_张薇.pdf

2023 年 3 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2023第 17 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.17 No.1不动点子群及GLn(F)上的自同构类型张薇1，郭继东1，2*（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：利用群的非空子集作成子群的充要条件，得到群G的任意一个自同构下的不动点的集合构成群G的子群.作为应用，在GLn(F)上定义对应，计算其不动点子群.最后，利用反证法验证GLn(F)上定义的对应其自同构类型.关键词：子群；不动点子群；内自同构；外自同构中图分类号：O152.6文献标识码：A文章编号：2097-0552（2023）01-0018-030引言引言群G的所有自同构在映射的合成运算下构成群，称为群G的自同构群，记为Aut G.群的自同构分为2类：内自同构、外自同构.由于群的自同构也是映射，本文考虑G的任意一个自同构下的不动点的集合，得出不动点的集合构成了群G的子群.作为应用，对GLn(F)上定义的对应，得出为自同构以及其不动点子群.最后，利用反证法验证了GLn(F)上定义的对应的自同构类型.1预备知识预备知识引理 11群G的一个非空子集D作成群G的一个子群的充分必要条件是：a,b D，有ab D，a 1 D.引理 22GL2(Z2)S3.证 明：设:GL2(Z2)S3是 对 应，其 中()1001(1)，()0110(12)，()1101(13)，()1011(23)，()1110(132)，()0111(123)，易证为双射且保持运算，即为同构，从而GL2(Z2)S3.引理 32若G1 G2，则Aut G1 Aut G2且Inn G1 Inn G2.证明：设是G1到G2的同构映射，令 Aut G1，由图交换有1=1 Aut G2.令:Aut G1 Aut G2，收稿日期：2022-06-10基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目（2022D01C334）；新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学重点项目（XJEDU2020I018）.作者简介：张薇（1998），女，河南开封人，硕士研究生，研究方向：有限群理论.*通信作者：郭继东（1965），男，山东菏泽人，教授，研究方向：有限群理论.张薇，郭继东：不动点子群及GLn(F)上的自同构类型第1期 1.其中1=1.由和均为双射可知，存在逆，故为双射.又因为,Aut G1，有()=1()=1 1=()()，则为同态，从而为同构，即Aut G1 Aut G2.下证Inn G1 Inn G2，令:Inn G1 Inn G2,g.其中g Inn G1，Inn G2且=(g).下证为同构.g1,g2 Inn G1，若g1 g2，则有g1 g2，由为同构映射知，(g1)(g2).因此有(g1)(g2)，即(g1)(g2).故为单射.Inn G2，其中 G2，存在g G1，使得=(g).因此存在g Inn G1，有=(g)=(g).故为满射.g1,g2 Inn G1，有(g1g2)=(g1g2)=(g1g2)=(g1)(g2).故为同态.综上所述，为同构，即Inn G1 Inn G2.引理 43当正整数n 6时，Aut Sn=Inn Sn.2主要结果主要结果（1）设 Aut G且令H=G:=，证明H为G的子群，称H为G在下的不动点子群.证明：由1=1知，1 H，从而H为G的非空子集.由1,2 H可知：1=1，2=2.又有 Aut G，则(12)=12=12，从而12 H.由1 H可知：1=1，又有 Aut G，则(11)=(1)1=11，从而 11 H.由引理1知，H为G的子群.（2）设n为正整数且F为域，对于元素在F中的任意n n阶矩阵D，令D代表D的转置.证明对应：C GLn(F)，:GLn(F)GLn(F),C (C 1)是GLn(F)的一个自同构，并且其对应的不动点子群是由元素在F中的所有n n阶正交矩阵组成（即矩阵D使得DD=1）.证明：下证是GLn(F)的一个自同构.任取C1,C2 GLn(F)，若C1 C2，则C 11 C 12，从而(C 11)(C 12)，即(C1)(C2).故为单射.任取D GLn(F)，令C=(D)1，则(C)=(D)1)1)=D.故为满射.任取C1,C2 GLn(F)，则(C1C2)=(C1C2)1)=(C1)(C2)，从而为同态映射.由为双射，且也为同态映射.因此是GLn(F)的一个自同构.下找对应的不动点子群K.由不动点子群的定义知，K=M GLn(F):(M)=M .若M K，则(M)=(M 1)，则M 1=M，从而MM=1，即M为n n阶正交矩阵.因此对应的不动点子群是由元素在F中的所有n n阶正交矩阵组成.（3）证明如果F Z2且F Z3，则是GLn(F)的外自同构，并且，除F=Z2,n 2或F=Z3,n=1时，也是GLn(F)的外自同构.19伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年证明：假设存在n1，F1（F Z2且F Z3），是GLn1(F1)的内自同构，即存在B GLn1(F1)，有=B.对任意的A GLn1(F1)，有(A)=B(A).由(A)=(A 1)，B(A)=B 1AB，故(A 1)=B 1AB.取A=B，则有(B 1)=B.令n1=2，F1=Z5，取B=()1301，此时(B 1)=()10 31 B.故是GLn1(F1)的外自同构.同理，当F=Z2,n 2或F=Z3,n 1时，是GLn(F)的外自同构.当F=Z2,n 2时，取B=()111010001，此时(B 1)=()100 110 101 B.故是GLn(Z2)的外自同构.当F=Z3,n 1时，取B=()1201，此时(B 1)=()10 21 B.故是GLn(Z3)的外自同构.下证F=Z2,n 2或F=Z3,n=1时，是GLn(F)的内自同构.当F=Z2，n=1时，GL1(Z2)Z2，而Z2只有一个恒等同构，也是内自同构，由引理 3 可知，是GL1(Z2)的内自同构.当F=Z2，n=2时，由引理2知，GL2(Z2)S3，由引理3、引理4可知，是GL2(Z2)的内自同构.当F=Z3，n=1时，GL1(Z3)Z3，而Z3=1,2，对应Z3的恒等同构，由引理 3 可知是GL1(Z3)的内自同构.因此当F=Z2,n 2或F=Z3,n=1时，是GLn(F)的内自同构.3结束语结束语本文在群的任一自同构下的不动点的集合构成子群的基础上，对GLn(F)上定义的对应，验证其为GLn(F)上的自同构并得到其不动点子群.最后，利用反证法验证了GLn(F)上定义的对应的自同构类型.参考文献：1 张禾瑞.近似代数基础 M.修订版.北京：高等教育出版社，1978：61-65.2 ROSE J.Acourse of group theory M.Cambridge：Cambridge university press，1978：21-24.3 曾利江.n次对称群自同构的构造 J.曲阜师范大学学报（自然科学版），2009，35（1）：25-28.【责任编辑：张建国】Fixed Point Group andAutomorphism Type ofonGLn(F)Zhang Wei1,Guo Jidong1,2*(1.College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China)Abstract:The set of fixed points under any automorphism of groupGform subgroups be obtained by using necessary andsufficient condition of the non-empty subsets of a group to form subgroups.As an application,the fixed point group is calculated todefined onGLn(F).Finally,the automorphism type is comfirmed corresponding todefined onGLn(F)by using inverse proofmethod.Key words:subgroup;fixed point subgroup inner automorphism;outer automorphism20