具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究_王雅萍 (1).pdf

第40卷第2期2023年3月新疆大学学报（自然科学版）（中英文）Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English)Vol.40,No.2Mar.,2023具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究王雅萍，王生福，聂麟飞(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)摘要：基于HIV的传播特点，将易感人群分为普通易感人群和高危易感人群，提出一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型 利用下一代算子方法给出基本再生数R0的精确表达式 讨论无病平衡态和地方病平衡态的存在性与稳定性，即：当R01时地方病平衡态全局渐近稳定关键词：HIV传播；高危易感人群；潜伏期年龄；基本再生数；稳定性DOI：10.13568/ki.651094.651316.2022.04.06.0001中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：2096-7675(2023)02-0160-09引文格式：王雅萍,王生福,聂麟飞.具有高危易感年龄和潜伏期年龄的 HIV 传播模型研究J.新疆大学学报(自然科学版)(中英文),2023,40(2):160-168+174.英文引文格式：WANG Yaping,WANG Shengfu,NIE Linfei.Analysis of HIV transmission model with high-risksusceptible age and latent ageJ.Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition in Chinese and English),2023,40(2):160-168+174.Analysis of HIV Transmission Model with High-RiskSusceptible Age and Latent AgeWANG Yaping,WANG Shengfu,NIE Linfei(School of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi Xinjiang 830017,China)Abstract：Based on the transmission characteristics of HIV,the susceptible population is divided into generalsusceptible population and high-risk susceptible population,and an HIV transmission model with high-risk suscep-tible age and latent age is developed.The exact expression of the basic reproduction number R0is obtained byusing the next generation operator method.The existence and stability of disease-free steady state and endemicsteady state are discussed,that is,the disease-free steady state is globally asymptotically stable for R01.Key words：HIV transmission;high-risk susceptible population;latent age;basic reproduction number;stability0引 言艾滋病医学全名为获得性免疫缺陷综合征(Acquired Immune Deficiency Syndrome,AIDS),是一种危害性极大的传染性疾病.自1981年世界上发现第一例艾滋病病毒(Human Immunodeficiency Virus,HIV)感染者以来,AIDS便以惊人的速度向全球蔓延,现已成为全球最大的公共卫生问题之一.据联合国艾滋病规划署和世界卫生组织2018年公布的数据,全球约有3 950多万人感染艾滋病病毒,因艾滋病死亡人数达290多万1.近年来各国都在加大力度预防和控制艾滋病的传播,诸多学者也从不同角度出发建立了各类动力学模型,利用数学模型刻画HIV/AIDS的流行规律和流行趋势.例如,文献2-3提出了具有治疗的HIV/AIDS模型,用下一收稿日期：2022-04-06基金项目：国家自然科学基金“多宿主传染病模型动力学分析及应用”（11961066）；新疆维吾尔自治区自然科学基金“基于异质性的艾滋病传播的数学建模与防控分析以新疆为例”（2021D01C070）作者简介：王雅萍（1998-），女，硕士生，从事微分方程理论及其应用的研究，E-mail:通讯作者：聂麟飞（1978-），男，博士，教授，主要从事微分方程理论及其应用的研究，E-mail:第2期王雅萍，等：具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究161代矩阵方法定义了基本再生数并刻画了HIV传播的全局动力学行为.文献4利用随机常微分方程建立了HIV传播模型,证明了模型全局正解的存在唯一性,给出了疾病灭绝和持续存在的充分条件.然而,上述HIV传播动力学模型在数学建模时都对易感人群采用了同质性假设,忽略了一些高危易感人群(如,血友病患者,吸毒者等)比普通易感人群更容易感染HIV,这会导致所得到的结果可能会跟实际情况有一定的偏差.因此,将易感人群分为普通易感人群和高危易感人群,考虑具有不同感染率的HIV传播模型更具有现实意义.此外,在传染病的传播过程中,仓室年龄,如感染年龄、疫苗年龄等因素对疾病的传播有着重要的影响.例如,病原体在宿主之间的传播率与其入侵宿主的时间长短密切相关.目前,已有学者关注了这一问题,如,Mccluskey5提出了具有潜伏年龄和感染年龄的传染病模型,证明了该模型解的渐近光滑性和一致持久性,并通过构造Lyapunov函数研究了地方病平衡态的全局稳定性,其建模思想和研究方法被广泛引用68.基于上述讨论,为更精准地描述HIV/AIDS的传播规律,本文将易感人群分为高危易感人群和普通易感人群,提出一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型,讨论该模型无病平衡态和地方病平衡态的存在性和稳定性以及疾病的持久性.1模型的建立和预备知识将某个特定地区的人群分为五类:普通易感类、高危易感类、潜伏类、感染类、治疗类,并分别用S1(t),S2(t,a),E(t,b),I(t),J(t)表示,这里a,b分别表示高危易感类和潜伏类的仓室年龄.基于艾滋病在不同人群间的传播规律,建立如下具有类年龄结构的HIV传播模型,该模型由微分方程组|dS1(t)dt=hpS1(t)S1(t)1S1(t)I(t)+0(a)S2(t,a)da(t+a)S2(t,a)=(a)+2(a)I(t)S2(t,a),S2(t,0)=pS1(t)(t+b)E(t,b)=(b)+)E(t,b)E(t,0)=1S1(t)I(t)+I(t)02(a)S2(t,a)dadI(t)dt=0(b)E(t,b)dbI(t)I(t)(1)和dJ(t)dt=I(t)J(t)J(t)(2)组成.这里,参数h为人群的补充率;1,2(a)分别是艾滋病感染者对普通易感者和高危易感者的感染率系数;p是普通易感者由于沾染不良行为转变成高危易感者的速率;(a)是高危易感者由于接受教育或改变自身行为等因素变为普通易感者的比率;(b)是HIV潜伏者发展为艾滋病感染者的速率;为因病死亡率;为人口的自然死亡率.由于个体感染艾滋病后无法治愈,所以表示感染个体的治疗率.注意方程(2)与模型(1)是解耦的,因此只需考虑模型(1)的动力学行为,其初始条件为:(S1(0),S2(0,a),E(0,b),I(0)=(S10,S20(a),E0(b),I0)R+L1+(0,)L1+(0,)R+,这里R+=0,+),L1+(0,)是由定义在(0,)上的非负可积函数构成的空间.定义模型(1)的状态空间为X=R+L1+(0,)L1+(0,)R+,其范数为(x1,x2,x3,x4)X=|x1|+0|x2(a)|da+0|x3(b)|db+|x4|,其中(x1,x2,x3,x4)X.对任意x()L1+(0,),定义x()1=0|x()|d.为了简化计算,引入如下记号,对任意a,b 0,(t,)=()+2()I(ta+),(t,a)=ea0(t,)d,(a)=(a)+2(a)I,(a)=ea0()d,(a)=(a)+,(a)=ea0()d,(b)=(b)+,(b)=eb0()d.应用Volterra公式,对模型(1)的第二、三个方程分别沿着特征线ta=c,tb=c(c为常数)积分可得S2(t,a)=S2(ta,0)ea0(t,)d=pS1(ta)(t,a),ta0S2(0,at)eaat(t,)d=S20(at)(t,a)1(t,at),at0(3)162新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年E(t,b)=(1S1(tb)+02(a)S2(tb,a)da)I(tb)(b),tb0E0(bt)(b)1(bt),bt0(4)为讨论模型(1)解的适定性,将其改写为抽象的Cauchy问题.令X=RRL1(0,),R)RL1(0,),R)R,定义线性算子A:D(A)X X和非线性算子F:D(A)X为A=|(p+)11(0)1(+)12(0)2(+)2(+)2|,F=|h112+0(a)1(a)dap1212112+202(a)1(a)da00(b)2(b)db|,其中=(1,0,1,0,2,2)(表示向量的转置),D(A)=R0W1,1(0,),R)0W1,1(0,),R)R,D(A)=R0L1(0,),R)0L1(0,),R)R,且D(A)在X中不稠密,W1,1(0,),R)是Sobolev空间,即由定义在(0,)上所有绝对连续函数构成的空间.令u(t)=(S1(t),0,S2(t,),0,E(t,),I(t),则模型(1)可写为du(t)dt=Au(t)+F(u(t),u(0)=u0=(S1(0),0,S2(0,),0,E(0,),I(0)(5)求解系统(5)可得u(t)=u0+At0u(s)ds+t0F(u(s)ds.令X0=D(A),X0+=R+0L1+(0,),R)0L1+(0,),R)R+.由文献9中的定理3.2可知,(A,D(A)是一个Hille-Yosida算子.从而由文献9中的引理2.2,它在其定义域的闭包上生成一个C0半群.因此,关于模型(1)解的适定性,有下面的定理.定理1对任意的u0 X0+,模型(1)存在唯一的积分形式的连续解u(t).此外,由(t,u0)=u(t,u0)定义的映射:0,+)X|X是一个连续的半流,即,映射是连续的且满足(0,)=I(I是单位映射)和(t,(z,)=(t+z,).定理2对任意t0,具有非负初始条件的模型(1)的解都是非负且最终有界的.证明首先,对任意t0,S1(t)是非负的.事实上,若存在t00使得S1(t0)=0且对t 0,t0),S1(t)0,则有S1(t0)0.另一方面,由模型(1)的第一个方程和式(3)可得S1(t0)=h+t00(a)pS1(t0a)(t0,a)da+t0(a)S20(at0)(t0,a)(t0,at0)da0,这是矛盾的.因此,对任意t 0,S1(t)0.同理,对任意t 0,I(t)也是非负的.进而,由式(3)和(4),对任意t0,满足非负初始条件的S2(t,a)和E(t,a)是非负的.下证解的最终有界性.记H(t)=S1(t)+0S2(t,a)da+0E(t,b)db+I(t),则ddtH(t)h(S1(t)+0S2(t,a)da+0E(t,b)db+I(t).因此,limsupt(S1(t)+0S2(t,a)da+0E(t,b)db+I(t)h/.注 由定理2可知,区域=(S1,S2(),E(),I)X+:S1+0S2(a)da+0E(b)db+I h是模型(1)的正向不变集.2无病平衡态的存在性及稳定性显然,模型(1)存在一个无病平衡态E0=(S01,S02(a),0,0),其中S01=h+p(10(a)(a)da),S02(a)=pS01(a).第2期王雅萍，等：具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究163利用下一代算子方法定义模型(1)的基本再生数为R0=h0(b)(b)db(+)(+p(10(a)(a)da)(1+p02(a)(a)da).关于模型(1)无病平衡态E0的稳定性,有下面的结论.定理3若R01,则E0是不稳定的.证明令S1(t)=S01+x1(t),S2(t,a)=S02(a)+x2(t,a),E(t,b)=x3(t,b),I(t)=x4(t),在无病平衡态E0处对模型(1)进行线性化可得|dx1(t)dt=px1(t)x1(t)1S01x4(t)+0(a)x2(t,a)da(t+a)x2(t,a)=2(a)S02(a)x4(t)(a)+)x2(t,a),x2(t,0)=px1(t)(t+b)x3(t,b)=(b)+)x3(t,b),x3(t,0)=1S01x4(t)+x4(t)02(a)S02(a)dadx4(t)dt=0(b)x3(t,b)dbx4(t)x4(t)(6)设系统(6)存在指数形式的解x1(t)=x1et,x2(t,a)=x2(a)et,x3(t,b)=x3(b)et,x4(t)=x4et,其中x1,x4为正常数,x2(a),x3(b)为非负函数,则有|x1=px1x11S01x4+0(a)x2(a)dadx2(a)da+x2(a)=2(a)S02(a)x4(t)(a)+)x2(a),x2(0)=px1dx3(b)db+x3(b)=(b)+)x3(b)x3(0)=1S01x4(t)+x4(t)02(a)S02(a)dax4=0(b)x3(b)dbx4(t)x4(t)(7)由方程组(7)的第三个和第五个方程得x3(b)=x3(0)(b)eb,x4=0(b)x3(b)db/(+).将其代入方程组(7)的第四个方程可得1=h0(b)(b)ebdb(+)(+p(10(a)(a)da)(1+p02(a)(a)da),标记上述方程的右端为G(),注意到G()1,则G(0)1.故存在0使得G()=1成立,从而无病平衡态E0是不稳定的.当R01时,假设方程G()=1存在非负实部的根=x+yi(x0),则|G()|=|h0(b)(b)ebdb(+)(+p(10(a)(a)da)(1+p02(a)(a)da)|h0(b)(b)exbdb(+)(+p(10(a)(a)da)(1+p02(a)(a)da)R01.这是矛盾的,因此当R01时G()=1的所有根都具有负实部,故E0是局部渐近稳定的.为讨论无病平衡态的全局稳定性,我们需要以下引理.引理110若B:R+R是有界连续可微函数,B=liminftB(t),B=limsuptB(t),则存在序列sn和tn,使得当n时,有sn,tn,且B(sn)B,B(sn)0,B(tn)B,B(tn)0几乎处处.164新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年引理211若B:R+R是有界函数并且k()L1+(0,),则limsuptt0k()B(t)dBk()1.定理4若R0 a时,S2(t,a)=pS1(t a)(t,a),根据模型(1)的第一个方程和引理1可得0 h(p+)S1+pS10(a)(a)da,因此,S1 h/(+p(10(a)(a)da)=S01,S2pS01(a)=S02(a).注意到0(b)E(t,b)dbt0(b)(1S1(tb)+02(a)S2(tb,a)da)I(tb)(b)db+ett(b)E0(bt)dbt0(b)(1S1(tb)+tb02(a)S2(tba,0)(tb,a)da+e(tb)tb2(a)S20(a+bt)da)I(tb)(b)db+ett(b)E0(bt)db,从而当t时,有(0(b)E(t,b)db)0(b)(1S1+02(a)S2da)I(b)dbI0(b)(1S01+02(a)S02(a)da)(b)db(8)进一步,由模型(1)的第五个方程可得I(t)=e(+)tI(0)+t0e(+)s0(b)E(ts,b)dbds,再根据引理1和不等式(8)得I0(b)(b)db+(1S01+02(a)S02(a)da)I=R0I.由于R01,所以I=0,从而有limtI(t)=0,limtE(t,b)=0.最后来证明limtS1(t)=S01和limtS2(t,a)=S02(a).由引理1,存在一个序列?tn使得当?tn 时,S1(?tn)(S1)且dSh(?tn)/dt0.则,由模型(1)的第一个方程有dS1(?tn)dt=hpS1(?tn)S1(?tn)1S1(?tn)I(?tn)+0(a)S2(?tn,a)da.令n,有0=hp(S1)(S1)+p(S1)0(a)(a)da,即limtS1(t)=h+p(10(a)(a)da)=S01.又由式(3),可得limtS2(t,a)=pS01(a)=S02(a).综上所述,若R01,则limt(S1(t),S2(t,),E(t,),I(t)=E0.3地方病平衡态的存在性及稳定性若模型(1)存在地方病平衡态E=(S1,S2(a),E(b),I),则其满足|hpS1S11S1I+0(a)S2(a)da=0dS2(a)da=(a)+2(a)I)S2(a),S2(0)=pS1dE(b)db=(b)+)E(b),E(0)=1S1I+I02(a)S2(a)da0(b)E(b)dbII=0(9)第2期王雅萍，等：具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究165求解方程组(9)的第二个和第三个方程可得S2(a)=pS1(a),E(b)=I(1S1+pS102(a)(a)da)(b).从而,S1=h/(+1I+p(10(a)(a)da).将S1,S2(a),E(b)的表达式代入方程组(9)的最后一个方程可得(1+p02(a)(a)da)h0(b)(b)db+1I+p(10(a)(a)da)(+)=0(10)记方程(10)的左端为F(I),则有F(+)=limI+F(I)=(+)1,则有F(0)0,由连续函数零点存在定理可知,至少存在一个I 0使得F(I)=0,即当R0 1时存在地方病平衡态.综合上述讨论,关于模型(1)地方病平衡态的存在性,有下面的结论.定理5若R01,模型(1)存在地方病平衡态E=(S1,S2(a),E(b),I).为研究模型(1)地方病平衡态的全局性质,需要证明疾病的一致持久性.为此,定义b=b:0(b)db=0,02(b)db=0,?X=L1+(0,)R+,?Y=(E(t,),I(t)?X:b0E(t,b)db0或者I(t)0,Y=R+L1+(0,)?Y,Y=XY,?Y=?X?Y.根据文献12,Y和Y都是模型(1)的解半流(t,x0)的正向不变集.定理6若R01,则模型(1)的解半流(t,x0)t0关于(Y,Y)是一致持久的.即,存在一个不依赖于初值的常数0,使得对任意的x0Y,有limt(t,x0)X.证明首先证明E0在?Y上是全局渐近稳定的.设(S10,S20(),E0(),I0)Y,则(E0(),I0)?Y.考虑模型(1)的子系统|(t+b)E(t,b)=(b)+)E(t,b),dI(t)dt=0(b)E(t,b)dbI(t)I(t),E(t,0)=1S1(t)I(t)+I(t)02(a)S2(t,a)da,E(0,b)=E0(b),I(0)=I0.由于limsuptS1(t)h/,limsuptS2(t,a)h/,由微分方程比较原理,对任意t0,有E(t,b)?E(t,b),I(t)?I(t),其中(?E(t,b),?I(t)是下面系统的解|(t+b)?E(t,b)=(b)+)?E(t,b),d?I(t)dt=0(b)?E(t,b)db?I(t)?I(t),?E(t,0)=1h?I(t)+?I(t)02(a)hda,?E(0,b)=E0(b),?I(0)=I0.166新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年由特征线法解得?E(t,b)=h(1+02(a)da)?I(tb)(b),tb0E0(bt)(b)(bt),bt0(11)从而有d?I(t)dt=h(1+02(a)da)t0(b)(b)?I(tb)db+tE0(bt)(b)(bt)db?I(t)?I(t).因为(E0(),I0)?Y,所以tE0(bt)(b)1(bt)db=0恒成立.注意到微分方程d?I(t)dt=h(1+02(a)da)t0(b)(b)?I(tb)db?I(t)?I(t),?I(0)=0,有唯一的解?I(t)=0,则由式(11)可知,对任意tb0,?E(t,b)=0;当bt时,?E(t,b)1=E0(bt)(b)(bt)1E0(bt)1et.这表明?E(t,b)0,t0,从而limtE(t,b)=0,limtI(t)=0.故,?Y是正向不变集.进一步,limtS1(t)=S01,limtS2(t,a)=S02(a),因此无病平衡态E0在?Y上是全局渐近稳定的.下面证明存在T 0和0,使得对任意x0Y,有limt(t,x0)X.即Ws(E0)Y=,Ws(E0)=x0Y:limt(t,x0)=E0.用反证法,假设存在一个解y0 Y,使得当t 时,(t,y0)E0.则存在一个序列yn Y,使得对所有t 0有(t,yn)E0X0,S02(a)1/n0,对于上述的n,存在T 0,使得当tT时,S011nS1n(t)S01+1n,S02(a)1nS2n(t,)S02(a)+1n,1nIn(t)0;若un(0)0,当R01时,存在足够大的正数n,使得0(b)(b)db+1(S011n)+02(a)(S02(a)1n)da1,即0()()1(S011n)+02(a)(S02(a)1n)dad+.根据文献13中的引理3.5,un(t)是无界的,从而In(t)是无界的,这与式(12)矛盾.所以假设不成立,因此有Ws(E0)Y=.由文献12知,解半流(t,x0)t0是一致持久的.定义(x)=x1lnx和一个正函数(b)=b()eb()dd,记=0(b)(b)db.关于模型(1)地方病平衡态的全局稳定性,有下面的定理.定理7若R01,则模型(1)的地方病平衡态E是全局渐近稳定的.证明 构造函数V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),其中V1(t)=S1(S1(t)S1),V2(t)=I(I(t)I),V3(t)=0S2(a)(S2(t,a)S2(a)da,V4(t)=0(b)E(b)(E(t,b)E(b)db.第2期王雅萍，等：具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型研究167则沿着模型(1)计算全导数可得dV1(t)dt=(p+)S1(2S1S1(t)S1(t)S1)+1S1I(1S1S1(t)S1(t)I(t)S1I+I(t)I)+0(a)S2(a)(S2(t,a)S2(a)+S1S1(t)S1S2(t,a)S1(t)S2(a)1)da,dV2(t)dt=0(b)E(b)(E(t,b)E(b)I(t)IIE(t,b)I(t)E(b)+1)db,dV3(t)dt=0S2(a)(S2(t,a)S2(a)1)(S2a(t,a)S2(t,a)+(a)+2(a)I(I(t)I1)da,其中:S2a(t,a)=S2(t,a)/a.注意到a(S2(t,a)S2(a)=(S2(t,a)S2(a)1)(S2a(t,a)S2(t,a)+(a),利用分部积分可得dV3(t)dt=0(S2(a)a(S2(t,a)S2(a)2(a)S2(a)I(S2(t,a)S2(a)1)(I(t)I1)da=S2(a)(S2(t,a)S2(a)|a=+S2(0)(S2(t,0)S2(0)+0dS2(a)da(S2(t,a)S2(a)da02(a)S2(a)I(S2(t,a)I(t)S2(a)II(t)IS2(t,a)S2(a)+1)da=S2(a)(S2(t,a)S2(a)|a=0S2(a)(a)+)(S2(t,a)S2(a)da+S2(0)(S2(t,0)S2(0)02(a)S2(a)I(S2(t,a)I(t)S2(a)II(t)IlnS2(t,a)S2(a)da.由E(0)=1S1I+I02(a)S2(a)da和E(t,0)=1S1(t)I(t)+I(t)02(a)S2(t,a)da,有dV4(t)dt=(b)E(b)(E(t,b)E(b)|b=+E(t,0)E(0)(1+lnE(t,0)E(0)0(b)E(b)(E(t,b)E(b)db.合并上述式子并化简可得dV(t)dt=S2(a)(S2(t,a)S2(a)|a=(b)E(b)(E(t,b)E(b)|b=0S2(a)(S2(t,a)S2(a)da+5i=1Bi,其中,B1=(p+)S1(2S1S1(t)S1(t)S1)+S2(0)(S2(t,0)S2(0)=S1(S1S1(t)+(S1(t)S1)pS1(S1S1(t),B2=1S1I(S1S1(t)+I(t)IlnE(t,0)E(0)=1S1I(I(t)I)(S1S1(t)(S1(t)I(t)E(0)S1IE(t,0)1+S1(t)I(t)E(0)S1IE(t,0),B3=02(a)S2(a)I(lnS2(t,a)S2(a)+I(t)I1lnE(t,0)E(0)da=02(a)S2(a)I(I(t)I)(S2(t,a)I(t)E(0)S2(a)IE(t,0)1+S2(t,a)I(t)E(0)S2(a)IE(t,0)da,168新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年B4=0(a)S2(a)(S1S1(t)S1S2(t,a)S1(t)S2(a)+lnS2(t,a)S2(a)da=0(a)S2(a)(S1S1(t)(S1S2(t,a)S1(t)S2(a)da,B5=0(b)E(b)(E(t,b)E(b)I(t)IIE(t,b)I(t)E(b)+1(E(t,b)E(b)db=I(I(t)I)(1S102(a)S2(a)da)0(b)E(b)(IE(t,b)I(t)E(b)db.又注意到(S1S1(t)(S1+pS1+1S1I0(a)S2(a)da)=h(S1S1(t),1S1I(1+S1(t)I(t)E(0)S1IE(t,0)+02(a)S2(a)I(1+S2(t,a)I(t)E(0)S2(a)IE(t,0)da=0,则有dV(t)dt=S2(a)(S2(t,a)S2(a)|a=(b)E(b)(E(t,b)E(b)|b=0S2(a)(S2(t,a)S2(a)dah(S1S1(t)S1(S1(t)S1)1S1I(S1(t)I(t)E(0)S1IE(t,0)02(a)S2(a)I(S2(t,a)I(t)E(0)S2(a)IE(t,0)da0(a)S2(a)(S1S2(t,a)S1(t)S2(a)da0(b)E(b)(IE(t,b)I(t)E(b)db.因此,dV(t)/dt 0,此外,当且仅当S1=S1(t),S2(a)=S2(t,a),E(b)=E(t,b),I=I(t)时等号严格成立.定义=(S1(t),S2(t,),E(t,),I(t)X|dV(t)/dt=0,则单点集E是模型(1)在上的最大不变集.由Lyapunov-LaSalle不变原理,当R01时,地方病平衡态E是全局渐近稳定的.4结论与展望基于HIV的传播规律,建立了一类具有高危易感年龄和潜伏期年龄的HIV传播模型,利用下一代算子方法得到了基本再生数R0的精确表达式,并通过线性近似方法得到了当R01时无病平衡态是局部渐近稳定的.进一步,利用波动引理证明了当R0 1时模型解的一致持久性,并通过构造合适的Lyapunov函数证明了地方病平衡态是全局渐近稳定的,这也保证了地方病平衡态是唯一的.临床数据表明,HIV感染者的传染性与其病毒载量有关.病毒载量在感染HIV后和艾滋病发展期这两个时期被认为是较高的,而在感染的潜伏期通常较低14.本文为了进行必要的理论分析,忽略了潜伏期HIV感染者的传染性,这可能会造成一些误差.因此,建立并讨论潜伏期具有感染能力的HIV传播模型是一个值得深入讨论的问题.参考文献：1董晨,张欢,莫兴波.传染病流行病学M.苏州:苏州大学出版社,2018.2CAI L M,GUO S L,WANG S P.Analysis of an extended HIV/AIDS epidemic model with treatmentJ.Applied Mathematicsand Computation,2014,236:621-627.3ZOHRAGUL O,XAMXINUR A.Stability analysis of an HIV/AIDS model with vertical transmissionJ.Journal of XinjiangUniversity(Natural Science Edition),2015,32(3):297-303.4何楠,王稳地,周爱蓉,等.基于饱和发生率的随机HIV模型的动力学研究J.西南大学学报(自然科学版),2018,40(3):109-114.5MCCLUSKEY C C.Global stability for an SEI epidemiological model with continuous age-structure in the exposed and infectiousclassesJ.Mathematical Biosciences and Engineering,2012,9(4):819-841.(下转第174页)174新疆大学学报（自然科学版）（中英文）2023年由(2)式和(3)式得(Y)(s)d(s)=2/1s2ds,又因为2/1s2ds的支撑是整个1,1，则(Y)在整个1,1上取值为1.因此(Y)=1,1.所以x(a(l)=(X)=1,1,y(a(l)=(Y)=1,1,且进一步有a(l)x(a(l)iy(a(l)=1,1i,i,结论得证.参考文献：1FOCK V.Konfigurationsraum und zweite quantelungJ.Zeitschrift F ur Physik,1932,75(9):622-647.2SEGAL I E.Tensor algebras over hilbert spaces.IJ.Annals of Mathematics,1956,81(1):106.3VOICULESCU D V,DYKEMA K J,NICA A.Free random variablesM.Providence Rhode Island:American MathematicalSociety,1992.4NICA A,SPEICHER R.Lectures on the combinatorics of free probabilityM.New York:Cambridge University Press,2006.5BIKRAM P,MUKHERJEE K,RICARDE,et al.On the factoriality of q-deformed Araki-Woods von Neumann algebrasJ.Communications in Mathematical Physics,2022,398(2):797-821.6ZHU K H.Analysis on Fock spacesM.New York:Springer,2012.7CUNTZ J.Simple C-algebra generated by isometriesJ.Communications in 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