初一几何证明典型例题.doc

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初一典型几何证明题
1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3
∴AD=2

A
D
B
C

2、 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A
B
C
D
E
F
2
1

证明：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴△BCF≌△EDF (S.A.S)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在△BEF中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF。
∵ ∠ABC=∠AED。
∴ ∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在△ABF和△AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴△ABF≌△AEF。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
B
A
C
D
F
2
1
E

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形，
AC＝CG
又 EF＝CG
∴EF＝AC
A
4、 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C
∵AC＝AB+BD
∴AE＝AB+BD
∵AE＝AB+BE
∴BD＝BE
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
5、 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求
证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD

7. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB

在AC上取点E，
使AE＝AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。
P
D
A
C
B

8. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE

9. 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
解：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
10. 如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM （AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
11. 如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
证明：
在AB上取F，使AF＝AD，连接EF
∵AE平分∠DAB
∴∠DAE=∠FAE
在⊿ADE和⊿AFE中

AD＝AF
∠DAE=∠FAE
AE = AE
∴⊿ADE≌⊿AFE（SAS）
∴∠ADE=∠AFE
∵AB//CD
∴∠ADE+∠C=180º
∵∠AFE+∠BFE=180º
∴∠C=∠BFE
∵ BE平分∠ABC
∠CBE=∠FBE
在⊿BFE和⊿BCE中
∠C=∠BFE
∠CBE=∠FBE
CE=CE
∴⊿BFE≌⊿BCE（AAS）
∴CB=BF
∴AB=AF+FB=AD+BC
12. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

(1)证：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）
∴DE=BF．
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM(AAS)
∴MB=MD，ME=MF
(2) 证：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）
∴DE=BF．
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM(AAS)
∴MB=MD，ME=MF
13如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
证：∵∠CEB=∠CAB=90°
∠ADB=∠CDE
在△ABD中，∠ABD = 180°-∠CAB-∠ADB
在△CED中，∠DCE = 180°-∠CEB-∠CDE
∴∠ABD =∠DCE
在△ABD和△ACF中

∠DAB=∠CAF

AB=AC
∠ABD =∠DCF
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠FBE =∠CBE
在△FBE和△CBE中
∠FBE =∠CBE
BE=BE
∠BEF =∠BEC
∴△FBE≌△CBE(ASA)
∴CE=FE CF=2CE
∴BD=2CE
14. 如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。

证明：∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）

15. 如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。

证明：∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线

16.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

证：在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF

∴△FBD≌△FCD(SAS)
∴BF=FC

17. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

证：∵CF=CE+EF
EB=EF+FB
又∵CE=FB
∴CF=EB
在△CDF与△ABE中
AB=CD
AE=DF
BE=CF
∴△CDF≌△ABE(SSS)
∴∠DCB=∠ABF
在△ABF与△CDE中

AB=CD
∠ABF =∠DCE
BF=CE
∴△ABF≌△CDE (SAS)
∴AF=ED

18. 公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C

∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE

BM=CM
19. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

证：连接AC
∵在△ADC和△ABC中
AD=AB
DC=BC
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠B=∠D
∵E、F分别是DC、BC的中点
又∵BC＝DC
∴DE=BF
∵在△ADE和△ABF中
AD=AB
∠D=∠B
DE=BF
∴△ADE≌△ABF（SAS）
∴AE=AF

D
B
Cc
A
F
E

20. 如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

证明：∵在△ADC和△ABC中
∠BAC=∠DAC
∠BCA=∠DCA
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（AAS）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
CE=CE
∠BCA=∠DCA
∴△DEC≌△BEC（SAS）
∴∠DEC=∠BEC

BC=CD
21.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．

证明：∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
A
E
B
D
C
F

22. 如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．

23. 在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
24. 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

A
E
B
M
C
F

（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
25. 如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

证明：
（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
26. 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：．

证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD

A
D
E
C
B

F